管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——数据分析—

文章目录

考点
- 记忆/考点汇总——按大纲
整体
- 目录大纲法
- 记忆宫殿法
- 绘图记忆法
局部
- 数字编码法
- - 对号不对号
- 归类记忆法
- 重点记忆法
- 歌决记忆法
- - 口诀：加法分类，类类相加；乘法分步，步步相乘。
- 谐音记忆法
- - 涂色
- 理解记忆法
- 比较记忆法
- 转图像记忆法

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——加减乘除原理——
＋加法原理：分类计数原理：如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事。若第一类办法中有 $m_1$ 种不同的方法，第二类办法中有 $m_2$ 种不同的方法…第n类办法中有 $m_n$ 种不同的办法，那么完成这件事共用 $N=m_1+m_2+...+m_n$ 种不同的方法。
×乘法原理：分步计数原理：如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成。若完成第一个步骤有 $m_1$ 种不同的方法，完成第二个步骤有 $m_2$ 种不同的方法……完成第n个步骤有 $m_n$ 种不同的方法，那么完成这件事共有 $N= m_1*m_2*......*m_n$ 种不同的方法。——【不同类的方法（其中每一种方法都能把事情从头至尾做完）数之间做加法，不同步的方法（其中每一种方法都只能完成这件事的一部分）数之间做乘法】

-减法原理：正面难则反着做(“ $-$ ”号)：当出现“至少、至多”、“否定用语"等正面较难分类的题目，可以采用反面进行求解，注意部分反面的技巧以及“且、或"的反面用法。

÷除法原理：看到相同，定序用除法消序( $“ \div "$ 号)： $\div$ 号的用法就在于消序，当题目需要消除顺序的时候，就是 $\div$ 号登场的时候。
（1）部分相同、定序；（2）环排；（3）分组；
（1）定序问题：当把某n个元素进行排序时，其中m个元素不计顺序或者顺序已定，要把这m个元素的顺序除掉，有多少除多少，定序公式： $\frac{n!}{m!}$
（3）分组问题：
①均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘，即除法处理。
②非均匀分组：分步取，得组合数相乘，即组合处理。
③混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

——排列组合——
1.排列与组合的推导：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素做排列为 $A_n^m$ ，事实上可以分为两个步骤：
第一步：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素做组合为 $C_n^m$ ；
第二步：将这m个元素做全排列为 $m!$ ，从而我们有 $A_n^m=C_n^m·m!=C_n^m·A_m^m$ ，即 $C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$
2. 排列是先组合再排列：
$A_n^m=C_n^m·A_m^m=C_n^m·m!$ ，故 $A_n^m$ 可由组合 $C_n^m$ 与阶乘 $m!$ 代替。
3. 排列与组合的区别：
口诀：与序无关是组合，要求有序是排列。——【】
4. 解题准则：
（1）排列 $A_n^m=C_n^m·A_m^m=C_n^m·m!$ ，故排列是先组合再排列，即 $A_n^m$ 可由组合 $C_n^m$ 与阶乘 $m!$ 代替，为思路清晰，采用 $C_n^m$ 与 $m!$ 表达。
（2）选取元素或位置，用组合 $C_n^m$ 。
（3）排序用阶乘 $m!$ 。
（4）将所有的题目拆解为“选取”和“排序”的过程，然后再对应写表达式。
5. 排列问题与组合问题对比：
若从n个元素中取m个，需要考虑m的顺序，则为排列问题，用 $A_n^m$ 表示；
若从n个元素中取m个，无须考虑m的顺序，则为组合问题，用 $C_n^m$ 表示。
6. 排列数与组合数的含义对比：
（1）排列数A的含义：先挑选再排列，有序（元素之间互换位置，结果不同）。
（2）组合数C的含义：挑选、组合，无序（元素之间互换位置，结果不变）。

排列
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 $\Longrightarrow$ 排列
从n个不同元素中，取出m个元素(m≤n)的所有排列的种数，称为从n个元素中取出m个元素的排列数，记作 $A_n^m$ 。 $\Longrightarrow$ $A_n^m$ 称为排列数
当m=n时，即从n个不同元素中取出n个元素的排列，称为n个元素的全排列，记作 $A_n^n$ ，也称为n的阶乘，用符号 $n!$ 表示。 $\Longrightarrow$ $n!$ 称为n的阶乘
$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$ $\Longrightarrow$ $A_n^m$ 称为排列数
$A_n^n=n(n-1)(n-2)...2·1=n!$ $\Longrightarrow$ $n!$ 称为n的阶乘/全排列
$A_n^{n-1}=A_n^n=n!$
$A_n^m≠A_n^{n-m}$
$A_n^1=n$
$A_n^0=1$
$0! = 1$ 、 $1! = 1$ 、 $2! = 2$ 、 $3! = 6$ 、 $4! = 24$ 、 $5! = 120$ $\Longrightarrow$ 常用数值——【】

组合
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 $\Longrightarrow$ 组合
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数、称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作 $C_n^m$ $\Longrightarrow$ $C_n^m$ 称为组合数
$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)...·2·1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{A_n^m}{m!}$ ，则 $A_n^m=C_n^m·m!$ $\Longrightarrow$ $C_n^m$ 称为组合数
$C_n^m=C_n^{n-m}$ $\Longrightarrow$ 组合数性质：对称性
等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标：如 $C_9^6=C_9^3=\frac{9×8×7}{3!}=84$ ，此性质作用：当 $m＞\frac{n}{2}$ 时，计算 $C_n^m$ 可变为计算 $C_n^{n-m}$ ，能够使运算简化。
$C_n^m=C_n^{n-m}$ ，可得： $C_n^x=C_n^y$ $\Longrightarrow$ $x = y 或 x + y = n$ (易遗忘此种情况)，其中，x，y均为非负整数
$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}$ $\Longrightarrow$ 组合数性质：递推公式

$\frac{C_{n-1}^{m-1}}{C_n^m}=\frac{m}{m}$
$n! = n \times (n - 1)!$
$(n + 1) \times n! = (n ＋ 1)!$
$n \times n! = [(n ＋ 1) - 1] \times n! = (n + 1) \times n! - n! = (n + 1)! - n!$
$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$ $\Longrightarrow$ 组合数性质

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$
$C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=2^{n-1}$
$C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n-1}$ $\Longrightarrow$ 组合恒等式

$C_n^0=C_n^n=1$
$C_n^1=C_n^{n-1}=n-1$
$C_3^2=C_3^1=3$
$C_5^2=C_5^3=10$
$C_6^2=C_6^4=15$ $\Longrightarrow$ 常用组合数

——奇技——
一个位置一个元素
（1）先特殊后一般
先处理特殊元素或位置，再处理一般元素或位置。
（2）相邻、不相邻问题
相邻用捆绑打包法；不相邻用插空法；当相邻问题与不相邻问题同时出现在题干
中，需要按照先解决相邻再解决不相邻问题的顺序来求解。

一个位置多个元素（观察元素与对象采用不同策略）
分房问题特征：
（1）1个房间可容纳多个人；（2）每个人都只能去一间房。
①元素不同，对象不同，对元素无限定，则可重复使用——用方幂法；
②元素不同，对象不同，对元素有限定，元素与对象有对应关系——用对号不对号；
③元素不同，对象不同，对元素有限定，分组中有同样的数量——先分堆后分配；
④元素不同，对象相同——只分堆，不分配；
⑤元素相同，对象不同——先满足后隔板；
⑥元素相同，对象相同———穷举，列举法。

相邻与不相邻
相邻问题采用捆绑法：将相邻的几个元素捆绑看成一个大元素，再与其余普通元素进行排列，注意不要忘记这个捆绑后的大元素内部需要排序。
不相邻问题采用插空法：先排好其余元素，再将不相邻的元素插入空位。

分房问题
适用条件：元素不同，对象不同，对元素无限定，则可重复使用。
表现形式：不同的元素无限制地进入到不同的位置。
前提条件：每个元素只能进人一个位置，但是每个位置可以容纳多个元素。
注意事项：解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“人”，能重复的元素看作“房”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“分房法”。一般地n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为 $m^n$ 种。
解决办法：n个不同的元素无限制地进入m个不同的位置有 $m^n$ 种方法。一共有“ $可重复元素^{不可重复元素}$ ”种情况，即“可重复元素”为底数，“不可重复元素”为指数。
方法应用：n个人/不同的球/不同的信去m个不同房间/不同盒子/不同邮筒，有 $m^n$ 种方法。

广义的分房问题
要求：n个不同元素分给m个不同对象且所有元素全部分完
模型1：无限制条件的分房问题：任意分（容许有对象没分到）：方幂法，共有 $m^n$ 种
模型2：有限制条件的分房问题：有限制条件分（每个对象至少分1个）：先分堆再分配

对号与不对号：无论几个元素，只要对号安排，都只有1种方法。
不对号安排记答案：2个不对号有1种方法；3个不对号有2种方法；4个不对号有9种方法；5个不对号有44种方法。

隔板法
适用条件：（1）元素相同；（2）对象不同；（3）每个对象至少分到1个。
方法原理：由于物品相同，每个对象仅以分到的数量来进行区分，所以通过隔板调整分配的数量，故隔板有几种放法就表示有几种分法。
使用要求：①n个元素要相同；②m个分配对象不同。
公式公式：如果分配对象非空，即每个对象至少分一个，则有 $C_{n-1}^{m-1}$ 种；如果分配对象允许空，则有 $C_{n+m-1}^{m-1}$ 种。——【理解记忆法：将n个相同元素摆成一排，它们之间有 $n - 1$ 个空位，插入 $m - 1$ 块隔板就可以分成m份，所以公式为 $C_{n-1}^{m-1}$ 。如果分配对象允许空，此时将元素看成 $m + n$ 个，再用隔板法，则有 $C_{n+m-1}^{m-1}$ 种。】——【理解记忆法：将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分1个。：把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组，所以分法一共有 $C_{n-1}^{m-1}$ 种；将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分0个元素（即可以为空）。：增加m个元素（m为对象的个数），此时一共有n+m个元素，中间形成n+m-1个空，选出m-1个空放上挡板即可，共有 $C_{n+m-1}^{m-1}$ 种方法。】

n个不同元素作圆形排列，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，共有 $(n - 1)!$ 种排法。如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 $\frac{1}{m}C_n^m$ 。

分组分配
（1）不同元素分组问题：
① 解题方法：如果出现m个小组没有任何区别，则需要消序，除以 $A_m^m$ ，其他情况的分组不需要消序。
② 技巧总结：1）小组无名称，分组之后需要考虑消序，其中小组人数相同，则需要消序；小组人数不同，不需要消序。2）小组有名称，按要求分组之后不需要考虑消序。
（2）不同元素分配问题：
① 解题方法：先分组（注意消序），再分配（排列）
② 技巧总结：按“先分组，再分配”的顺序求解，分组时注意人数相同的小组需要消序。
（3）相同元素分配问题：
①相同元素分配不同对象至少分1个：
解题方法：挡板法：把n个相同元素排成一排，中间只有 $n - 1$ 个空，从中放 $m - 1$ 个挡板，故一共有 $C_{n-1}^{m-1}$ 种分法。
②可以为0型：
解题方法：增加元素法：增加m个元素（m为对象的个数），使每个对象至少分得1个元素，满足了挡板法使用的条件，分法共 $C_{n+m-1}^{m-1}$ 种。
④可以为多型：
解题方法：减少元素法：使每个对象至少分得1个元素，再使用挡板法。

分堆
指定数量的分堆：按照所给每堆的数量要求进行分堆，注意有几堆数量相同，就要除以几的阶乘，来进行消序。
未指定数量的分堆：如果数量没有指定，则需要先根据数量分类，然后再按照每堆的数量要求进行分堆，注意有几堆数量相同，就要除以几的阶乘，来进行消序。
指定元素的分堆：如果在分堆时，有特殊要求元素，则先安排特殊要求的元素，再选其他没有要求的元素．注意特殊要求元素所在的组不用考虑消序。
分配问题：当出现不同的归属对象时，转化为分配问题。分配问题包括两个过程：先分堆，再配送。也就是先按照数量分好堆，再排序。

特殊元素分配
元素定序：先将n个元素进行全排列有 $n!$ 种，m个元素的全排列有 $m!$ 种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去掉排序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有 $\frac{n!}{m!}$ 种排列方法。或者用组合法，对于定序元素，只需选位置即可，无需排序。
位置定序：在所给位置中，某些位置有大小顺序要求，直接用组合法，选好元素放位置时无需排序。
部分元素相同：在对元素排列时，出现部分元素相同（没有区别），要除以相同元素数量的阶乘，以消除排序。比如n个元素中，有k个元素相同，其他元素不同，则排序的方法数为 $\frac{n!}{k!}$ 。或者对于相同元素，采用组合选取位置，无需考虑顺序。

全能元素
全能元素：全能元素是指一个元素可以同时具备多个属性，在选取时，注意全能元素的归宿问题。
全能卡片：遇到全能卡片，要根据全能卡片的选中情况来分类讨论，当全能卡片选中时，要注意乘以倍数。
解题方法：对全能（特殊）元素要/不要，以及要几个进行分类讨论即可

单排环排
单排问题：
① 是且是 → 确定元素不用管，剩余元素直接排序即可；
② 是或是 → $A \cup B = A + B - A \cap B$ ；
③ 否且否 → 反面分析法：总情况数 $-$ 是或是；
④ 否或否 → 反面分析法：总情况数 $-$ 是且是。
环排公式：（1）若n个人围着一张圆桌坐下，共有 $(n —1)!$ 种坐法；（2）若从n个人中选出m个人围着一张圆桌坐下，共有 $C_n^m$ · $(m - 1)!$ = $\frac{1}{m} ·A_n^m$ 种坐法。

——XX——
古典概型： $P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数k}{样本空间中基本事件总数n}$
独立事件： $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则称两事件A和B是相互独立的
伯努利公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为 $P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}$ ，（ $k = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ， n$ ），其中 $q = 1 - p$ 。
$k = n$ 时，即在n次独立重复试验中事件A全部发生，概率为 $P_n(n)=C_n^np^n(1-p)^0=p^n$ 。
$k = 0$ 时，即在n次独立重复试验中事件A没有发生，概率为 $P_n(0)=C_n^0p^0(1-p)^n=(1-p)^n$ 。
独立地做一系列的伯努利试验，直到第k次试验时，事件A才首次发生的概率为 $P_k=(1-P)^{k-1}$ （ $k = 1, 2, ..., n$ ）。
n次独立重复试验的特征：
①试验的次数不止一次，而是多次，次数 $n \geq 1$ ；
②每次试验的条件是一样的，是重复性的试验序列；
③每次试验的结果只有A与 $\overline{A}$ 两种（即事件A要么发生，要么不发生），每次试验相互独立，试验的结果互不影响，即各次试验中发生的概率保持不变。

方差： $S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2]$ ，意义：方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。——【先平均，再求差，然后平方，最后再平均。】
简化方差： $S^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-n\overline{x}^2]$
拓展公式： $S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2]=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}-(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})^2$
标准差： $\sqrt{方差}$ = $\sqrt{S^2}$ ，意义：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同。

如果一组数据 $x_1,x_2,...,x_n$ 的平均数是 $\overline{x}$ ，方差为 $S^2$ ，那么
（1）新数据 $ax_1,ax_2,...,ax_n$ 的平均数是 $a\overline{x}$ ，方差为 $a^2S^2$ ；
（2）新数据 $x_1+b,x_2+b,…,x_n+b$ 的平均数是 $\overline{x}+b$ ，方差为 $S^2$ ；
（3）新数据 $ax_1+b,ax_2+b,…,ax_n+b$ 的平均数是 $α\overline{x}+b$ ，方差为 $a^2S^2$ 。

整体

整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆

目录大纲法

计数原理
加乘原理
排列组合
一个位置一个元素
一个位置多个元素
数据描述
平均值
方差与标准差
概率
事件及其简单运算
加法公式
乘法公式
古典概型
伯努利概型

记忆宫殿法

绘图记忆法

局部

学习记忆——数学篇——汇总——顺口溜记忆法+谐音记忆法+理解记忆法+归类记忆法+重点记忆法+比较记忆法+转图像记忆法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

对号不对号

【思路】“不对号”问题可以这样记住答案：2个元素不对号，1种方法；3个元素不对号，2种方法；4个元素不对号，9种方法；5个元素不对号，44 种方法。

21鳄鱼、32上颚、49死狗、544武器妻

鳄鱼用上颚咬死了狗，妻子用武器打死了它。

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

歌决记忆法

口诀：加法分类，类类相加；乘法分步，步步相乘。

谐音记忆法

涂色

（1）直线涂色：简单的乘法原理。
（2）环形涂色公式：把一个环形区域分为k块，每块之间首尾相连，用s种颜色去涂，要求相邻两块颜色不同，则不同的涂色方法有
$N=(s—1)^k＋(s—1)(-1)^k$ ，
式中，s为颜色数（记忆方法：se色），k为环形被分成的块数（记忆方法：kuai 块）。