本文重点

在前面的课程中，我们学习了线性空间，本文我们我们在此基础上学习线性子空间。在应用中，线性子空间的概念被广泛应用于信号处理、机器学习、图像处理等领域。

子空间的性质

子空间是线性空间的一部分，它需要满足下面的性质：

设V是数域F上的线性空间，W是V的一个非空子集。如果W对于V中的加法运算和数乘运算也构成F上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或称向量子空间）。

具体来说，设 V 是一个线性空间，W 是 V 的一个非空子集，如果 W 满足以下条件，则称 W 是 V 的一个线性子空间：

加法封闭性：对于 W 中的任意两个元素 α 和 β，它们的和 α+β 仍然在 W 中。

数乘封闭性：对于 W 中的任意元素 α 和任意标量 k，它们的数乘 kα 仍然在 W 中。

子空间W一定是线性空间，W对Vn(F)的线性运算是封闭的，也就是说W的运算一定还会存在于这个线性空间中。

平凡子空间和非平凡子空间

设V(F)是线性空间，则{0}以及V(F)本身也是V(F)的子空间，则称{0}为V(F)的零子空间，这两个子空间称为V(F)的平凡子空间，而其它