概率密度函数（PDF）是一个描述连续随机变量取特定值的相对可能性的函数。对于正态分布的情况，其PDF有一个特定的形式，这个形式中包括了一个常数乘以一个指数函数，它假设误差项服从均值为0的正态分布：

$$p({ϵ}^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{({ϵ}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
各名词解释：
$p({ϵ}^{(i)})$：这部分表示给定误差${ϵ}^{(i)}$的概率密度。

${\sigma }^2$：正态分布的形状完全由两个参数决定：均值（$\mu$）和方差（${\sigma }^2$）。均值决定了分布的中心位置，而方差（标准差的平方）决定了分布的离散程度。这里均值（$\mu$）都假设为0因此不讨论。详细解释一下${\sigma }^2$：

1. ${\sigma }^2$是分布宽度的度量，${\sigma }^2$的数值表示数据分布的离散程度：${\sigma }^2$越大，数据分布越分散；${\sigma }^2$越小，数据分布越集中(如上图中的钟形越瘦)。
2. ${\sigma }^2$的计算过程：
   a.假设你有一组数据 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} X={x1​,x2​,...,xn​}，且已知均值$\mu$为0。
   b.计算每个数据点的平方：$x_i^2$计算了每个数据点距离均值（0）的距离的平方。
   c.计算这些平方的平均值（即方差${\sigma }^2$）：${\sigma }^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$（即$x_i^2$求和后平均）

$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}$：这是正态分布概率密度函数的前缀，其中 ${\sigma }^2$是方差。它的作用是确保概率密度函数（PDF）的积分——也就是函数下整个面积等于1。在数学上，这意味着对于连续概率分布，确保所有概率值的总和为1。

exp：$e$是一个重要的数学常数（自然对数的底数），约等于2.71828，而exp是$e$的幂。exp用于计算概率的指数部分，确保了大多数数据点都集中在平均值附近，而远离均值的数据点则呈指数级减少，就是让曲线呈“钟形曲线（高斯分布）”。

$-\frac{({ϵ}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}$：这是exp指数函数内的幂，代表了${ϵ}^{(i)}$偏离均值0的程度。

1. 由于我们假设误差项 $ϵ$均值为0，所以这里直接用${ϵ}^{(i)}$。这个比例的平方表示了误差项的值距离均值（0）的距离的平方，然后除以$2{\sigma }^2$来“标准化”这个距离。在正态分布中，这个距离的平方越大，观测到该误差的概率就越低。
2. 这个过程与误差项${ϵ}^{(i)}$的值(第$i$个数据点的误差项)的平方成正比，这里的平方是必要的，因为我们对误差的大小感兴趣，而不管它是正的还是负的。平方确保了所有的误差值都是非负的，且更大的误差（无论正负）都会产生更大的平方值。
3. 与方差${\sigma }^2$的两倍成反比，这里${\sigma }^2$表示整个数据集中的误差项的分布宽度。方差的两倍是概率密度函数的标准组成部分，用于“标准化”误差项的平方，这样不同的分布（具有不同的方差）就可以使用相同的函数形式。这里的乘以$\frac{1}{2{\sigma }^2}$类似于计算出“相对”值而不是“绝对”值，在不改变误差项的方向的情况下，调整它的相对重要性。主要作用是：由于不同的数据集可能有不同的方差（即不同的误差分布宽度），我们需要有一种方式来标准化这些误差，使它们可以在统一的尺度上比较。
4. $-\frac{1}{2{\sigma }^2}$：这个负号和分母$2{\sigma }^2$一起工作，形成一个比例因子，表示一个衰减的过程，它反映了误差项 ${ϵ}^{(i)}$相对于方差的大小。由于是负指数，误差项的平方越大，$e$的幂就越小，从而降低了该误差值的概率密度。