目录

一、树概念及结构(了解) 

1.1树的概念 

1.2树的表示 

二、二叉树概念及结构 

2.1概念 

2.2现实中的二叉树：

2.3数据结构中的二叉树：

2.4特殊的二叉树： 

2.5 二叉树的存储结构 

2.51 顺序存储： 

2.5.2 链式存储：

三、二叉树性质相关选择题练习 

四、二叉树的实现

4.1头文件：

4.2Test.c

4.3前序，中序，后序(深度优先遍历)

 4.4二叉树所有节点的个数

​编辑

4.5叶节点的个数

4.6层序遍历(广度优先遍历，使用队列)

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一、树概念及结构(了解) 

1.1树的概念 

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它
叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此，树是递归定义的。

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如下图：A的为6

• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B 的父节点

• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节 点

• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

关于树的高度，还有一种看法，就是把高度从0开始看，此时树的高度为3。

• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

• 森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是 一个森林）

1.2树的表示 

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，
如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子
兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               // 结点中的数据域
};

另一种方式：顺序表存孩子的指针（不推荐使用）

struct TreeNode

{

        int data;

        vector<struct TreeNode*> childs;

}

还有一种表示方式，双亲表示法:

双亲表示法采用顺序表（数组）存储普通树，其实现的核心思想是：顺序存储各个节点的同时，给各节点附加一个记录其父节点位置的变量

#define MAX_SIZE 100  // 宏定义树中结点的最大数量
 
typedef struct Snode{
    char data;
    int parent;
} PTNode;
 
typedef struct{
    PTNode tnode[MAX_SIZE];  // 存放树中所有结点
    int n;  // 结点数
} PTree;

1.3树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构） 

二、二叉树概念及结构 

2.1概念 

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子
树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.2现实中的二叉树：

2.3数据结构中的二叉树：

2.4特殊的二叉树： 

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉
树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对
于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号
从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉
树。

2.5 二叉树的存储结构 

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
二叉树的性质 
1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2
＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=logN + 1

2.51 顺序存储： 

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树
会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲
解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.5.2 链式存储：

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的
方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩
子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都
是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

三、二叉树性质相关选择题练习 

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ 
）
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为
（）
A E
B F
C G
D H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
 

四、二叉树的实现

4.1头文件：

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;BTDataType data;
}BTNode;

4.2Test.c

int main()
{BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));A->data = 'A';A->left = NULL;A->right = NULL;BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));B->data = 'B';B->left = NULL;B->right = NULL;BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));C->data = 'C';C->left = NULL;C->right = NULL;BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));D->data = 'D';D->left = NULL;D->right = NULL;BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));E->data = 'E';E->left = NULL;E->right = NULL;A->left = B;A->right = C;B->left = D;B->right = E;return 0;
}

4.3前序，中序，后序(深度优先遍历)

void PrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%c ", root->data);InOrder(root->right);
}void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);}

 4.4二叉树所有节点的个数

 

//方法一:定义全局变量(不推荐)
int size = 0;
void TreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return;}else {++size;}TreeSize(root->left);TreeSize(root->right);return size;
}

方法二:传址调用

int TreeSize(BTNode* root,int* psize)
{if (root == NULL){return;}else {++(*psize);}TreeSize(root->left, psize);TreeSize(root->right, psize);return psize;
}

方法三:递归、分治思想:
否则，返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 1（当前节点）

int TreeSize(BTNode* root)
{// 如果树为空（即根节点为NULL），则返回0  // 否则，返回左子树节点数 + 右子树节点数 + 1（当前节点）return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

4.5叶节点的个数

int LeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right);}

4.6层序遍历(广度优先遍历，使用队列)

void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", front->data);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}QueueDestory(&q);
}

新年第一篇！！！

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