AVL树介绍以及代码实现

        二叉搜索树的查找和删除虽然最优情况下能够做到 O(logN) 的级别，但是在一些特殊情况下，它的查找速度只能到达 O(N)级别，比如数据按顺序插入，那么就一定是一棵单边树。

        为了针对这种情况，俄罗斯的两位数学家：G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉树中插入数据，需要保证树的左右高度之差的绝对值不超过1，通过这种方法能够有效的减少平均搜索长度，这种树就是AVL树。

AVL树的概念

  • 它的左右子树都是AVL树。
  • 左右子树的高度差的绝对值不超过1.

若一个二叉搜索树能够保持高度平衡，他就是AVL树，有n个节点，它的高度为 O(logN)，搜索时间为 O(logN)。

了解了AVL树的概念，就来看看它的实现代码吧。

AVL树节点的实现

template<class K,class V>
class AVLNode {
public:pair<K, V> _kv;AVLNode<K, V>* _left;AVLNode<K, V>* _right;AVLNode<K, V>* _parent;int _bf;AVLNode(pair<K, V> kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}
};

AVL树相比于普通的二叉搜索树，还多出了一个指向父节点的指针，以及平衡因子 _bf 。

平衡因子:本博客中的平衡因子的值等于右子树的高度-左子树的高度。

刚创建的节点的平衡因子为0.

AVL树节点的插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){pNode cur = new Node(kv);_root = cur;return true;}pNode cur = _root;pNode parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//这个时候cur应该到空了，parent指向下一个cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//需要自旋if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//左右双旋RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){//右左双旋RotateRL(parent);}break;}else{assert(-1);}}
}

 AVL树的插入刚开始和二叉搜索树类似，首先找到插入节点的位置，然后再插入到该节点的位置。

不过不同的是，根据cur插入位置的不同，需要更新cur的父节点的平衡因子。

如果插入在左子树位置，父节点的平衡因子就减减，否则就加加。

而且根据父节点平衡因子的变化，有可能需要一直更新父节点的平衡因子直到根节点。

比如这样的：

假设我们插入新节点到e节点下(左右子树中任意一个)

我们发现其父节点的平衡因子都需要更新，一直到根节点。

而这是有规律的。

  • 当父节点的平衡因子变为 1/-1，说明子树的高度变更，需要向上更新平衡因子
  • 当父节点的平衡因子变为0，则说明子树的高度不变，只需要更新父节点的平衡因子
  • 当父节点的平衡因子变为2/-2，则说明子树的高度过高，需要父节点自旋。 

节点的自旋

节点的共四种情况：右单旋，左单旋，左右双旋，右左双旋。

右单旋

 当节点插入在较高左子树的左侧时，就会出现左子树高度-右子树高度 = -2，导致左右不平衡，此时需要使平衡因子=-2的节点进行左旋，变成下面的样子。

  • 将a节点连接到b节点的右指针（a肯定大于b节点）
  • 将b节点的右子树连接到a节点的左指针（b的右子树肯定都小于a）
  • 再更新平衡因子

我们发现通过右单旋，a节点和b节点的平衡因子都变为0了。

通过这个思路，可以得到代码。

void RotateR(pNode parent)
{pNode pleft = parent->_left;pNode pleft_R = pleft->_right;pNode P_parent = parent->_parent;//将左子树的右指针指向parentpleft->_right = parent;//将parnet 的左指针指向左子树的右节点parent->_left = pleft_R;if (pleft_R){//若左子树的右节点不为空，就将它的父节点设置为parentpleft_R->_parent = parent;}//将左子树设置为parent的父节点parent->_parent = pleft;pleft->_parent = P_parent;if (P_parent == nullptr){_root = pleft;pleft->_parent = nullptr;}else{if (parent == P_parent->_left){P_parent->_left = pleft;}else if (parent == P_parent->_right){P_parent->_right = pleft;}}parent->_bf = pleft->_bf = 0;
}

左单旋

当节点插入在较高右子树的右节点，就需要进行左单旋。

左单旋的过程和右单旋一样，只是方向是不同的。

  • 将a节点连接到b节点的左指针（a肯定小于b节点）
  • 将b节点的左子树连接到a节点的右指针（b的左子树肯定都大于a）
  • 再更新平衡因子
	void RotateL(pNode parent){pNode pright = parent->_right;pNode pright_L = pright->_left;pNode P_parent = parent->_parent;//将右子树的左指针指向parentpright->_left = parent;//将parnet 的右指针指向左子树的右节点parent->_right = pright_L;if (pright_L){//若左子树的右节点不为空，就将它的父节点设置为parentpright_L->_parent = parent;}//将左子树设置为parent的父节点parent->_parent = pright;pright->_parent = P_parent;if (P_parent == nullptr){_root = pright;pright->_parent = nullptr;}else{if (parent == P_parent->_left){P_parent->_left = pright;}else if (parent == P_parent->_right){P_parent->_right = pright;}}parent->_bf = pright->_bf = 0;}

左右双旋

这种情况可以看做右单旋的另一种节点插入情况。

右单旋是插入较高左子树的左侧，而当新节点插入较高左子树的右侧时就会出现新的情况。

此处新节点可以插在c节点的左子树或者右子树，都一样，只是最后平衡因子更新不同。 

这种情况下无论是单纯的左单旋还是右单旋都没有用，需要两个一起来。

  • 先以b节点作为父节点来进行一次左单旋。
  • 然后再以a节点作为父节点来进行一次右单旋。
  • 最后查看新节点是在c节点的左子树还是右子树来进行平衡节点的更新。

通过左右双旋能够使AVL树平衡，不过根据新节点的位置，a和b的平衡因子会不同。

比如新节点在c节点的左子树上，那么b的平衡因子为0，a的平衡因子为1。

新节点在c节点的右子树上，b的平衡因子为-1，a的平衡因子为0。

void RotateLR(pNode parent)
{pNode subL = parent->_left;pNode subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 1)//新增节点在右边{subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1)//新增节点在左边{subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0)//本身是新增节点{subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

右左双旋

右左双旋就是左旋的另一种情况：新节点在较高右子树的左节点，情况和左右双旋一样，需要两个单旋合作来实现平衡。

void RotateRL(pNode parent)
{pNode subR = parent->_right;pNode subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 1)//新增节点在右边{subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1)//新增节点在左边{subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0)//本身是新增节点{subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

通过这四种方式能够保证AVL树的平衡。

AVL树的验证

验证AVL树是否是AVL树，有两个条件：

  • 左右子树的高度差是否等于平衡因子
  • 节点的左右子树都是AVL树

因此我们通过递归来检查AVL树是否是AVL树。

	bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}bool _IsBalance(pNode root){if (root == nullptr){return true;}int left = Height(root->_left);int right = Height(root->_right);int dff = right - left;if (dff != root->_bf){cout << "平衡因子异常" << endl;return false;}return abs(dff) != 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);}int Height(pNode root){if (root == nullptr){return 0;}int left = Height(root->_left);int right = Height(root->_right);return left > right ? left + 1 : right + 1;}

通过递归遍历检查，可以检查是否是AVL树。

AVL树的删除

AVL树的删除大致和二叉搜索树类似，不过不同的是，AVL树需要更新平衡因子，当删除节点后，有节点的平衡因子变为-2/2时，就需要进行自旋。

平衡因子的更新

删除节点时的平衡因子的更新和插入节点时平衡因子的更新正好相反。

  • 当左节点被删除时，父节点的平衡因子需要++
  • 当右节点被删除时，父节点的平衡因子需要--
  • 当父节点的平衡因子变为1/-1时，说明原本的平衡因子为0，删除后节点的高度不变，不用向上更新节点
  • 当父节点的平衡因子变为0时，说明原本的平衡因子为1/-1，删除后节点的高度变化，需要向上更新节点
  • 当父节点的平衡因子变为2/-2时，说明高度过高，需要自旋
父节点的平衡因子为-2时

这种情况下有三种情况：父节点的左子树的平衡因子为 0/1/-1。

左子树平衡因子为0时

 如图，删除c节点后，a节点的平衡因子变为-2，而b的平衡因子为0。

这种情况我们可以直接看做是插入的右单旋或者左右单旋的情况，此处我们可以直接用右单旋。

左子树平衡因子为1时

这种情况下就是左右双旋的情况，需要先对b节点进行左单旋，再对a节点进行右单旋。

左子树的平衡因子为-1时

这种情况下就是单纯的右单旋了。 

父节点的平衡因子为2时

右子树的平衡因子为0时

这种情况下可以单纯采用左单旋

右子树的平衡因子为-1时

这种情况下需要采用右左单旋

 平衡因子为1时

这种情况下就可以直接采用左单旋。 

删除的更新代码
void DelUpdate(pNode cur, pNode parent)
{while (parent){//删除左节点就需要++if (cur == parent->_left){parent->_bf++;}else if (cur == parent->_right){parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){break;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2){if (parent->_right->_bf == 0){pNode p_right = parent->_right;RotateL(parent);parent->_bf = 1;p_right->_bf = -1;break;}else if (parent->_right->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_right->_bf == -1){RotateRL(parent);}cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2){if (parent->_left->_bf == 0){pNode p_left = parent->_left;RotateR(parent);parent->_bf = -1;p_left->_bf = 1;break;}else if(parent->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_left->_bf == -1){RotateL(parent);}cur = parent;parent = parent->_parent;}}}
}

删除时的更新并未直接删除节点，删除节点的操作应该在平衡因子更新后再进行操作。

节点的删除

节点的删除有三种情况：左右为空，有一边不为空，左右都不为空。

左右为空

当节点的左右都为空时，就在更新平衡因子后直接删除该节点，然后根据节点的位置来使父节点的指针指向空。

如图，删除的d节点是b节点的左节点，那么需要使b节点的左节点指向空。 

右一边不为空

这个时候还需要把d节点连接到a节点的左指针，把d节点的父指针指向a节点后再删除b节点。

左一边不为空

 这个时候需要把d节点连接到a节点的左指针上，再更新d节点的父指针。

左右不为空

这个情况下，我们需要找到cur（被删除节点）的右子树中的最小节点，也就是右子树的最左节点，然后交换最左节点和cur的值，再删除最左节点即可。

注意：minright是最左节点，但不一定没有右子树，因此需要检查是否有右子树，将右子树连接到minright的父节点的左指针上。 

代码实现
bool Erase(const pair<K, V>& kv)
{pNode cur = Find(kv);pNode parent = cur->_parent;pNode delnode = cur;if (cur == nullptr){return false;}//若左右都是空树else if (cur->_left == nullptr && cur->_right == nullptr){//若是根还需要将_root 置空if (_root == cur){_root = nullptr;delete cur;}//若不是根还需要向上调整else{//更新后cur和parent都会改变，因此需要重新赋值DelUpdate(cur, parent);parent = delnode->_parent;if (delnode == parent->_left){parent->_left = nullptr;}else{parent->_right = nullptr;}delete delnode;}}else if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr){//左为空右不为空if (cur == _root){//若是根节点_root = cur->_right;_root->_parent = nullptr;delete cur;}else{pNode delnode = cur;//更新平衡因子DelUpdate(cur, parent);parent = delnode->_parent;pNode cur_R = delnode->_right;cur_R->_parent = parent;if (delnode == parent->_left){parent->_left = cur_R;}else if (delnode == parent->_right){parent->_right = cur_R;}delete delnode;}}else if (cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr){if (cur == _root){//若是根节点_root = cur->_left;_root->_parent = nullptr;delete cur;}else{pNode delnode = cur;//更新平衡因子DelUpdate(cur, parent);parent = delnode->_parent;pNode cur_L = delnode->_left;cur_L->_parent = parent;if (delnode == parent->_left){parent->_left = cur_L;}else if (delnode == parent->_right){parent->_right = cur_L;}delete delnode;}}//左右都不空else{pNode minRight = cur->_right;pNode minRight_P = cur;//找到右子树的最左节点while (minRight->_left){minRight_P = minRight;minRight = minRight->_left;}//交换它们的值cur->_kv.first = minRight->_kv.first;cur->_kv.second = minRight->_kv.second;//记录下最左节点的右子树,由于更新平衡因子会改变minRight的指向，因此记录下minRightpNode minRight_R = minRight->_right;pNode tmp = minRight;//更新平衡因子DelUpdate(minRight, minRight_P);minRight = tmp;minRight_P = minRight->_parent;if (minRight == minRight_P->_left){if (minRight_R != nullptr){minRight_R->_parent = minRight_P;}minRight_P->_left = minRight_R;}else if (minRight == minRight_P->_right){if (minRight_R != nullptr){minRight_R->_parent = minRight_P;}minRight_P->_right = minRight_R;}delete minRight;}return true;
}

 总结

        这就是AVL树的总结和实现了，作为map和set的底层结构，AVL树的结构十分重要，需要各位同学好好学习。

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