【现代密码学】笔记3.4-3.7--构造安全加密方案、CPA安全、CCA安全 《introduction to modern cryphtography》

【现代密码学】笔记3.4-3.7--构造安全加密方案、CPA安全、CCA安全 《introduction to modern cryphtography》

  • 写在最前面
  • 私钥加密与伪随机性 第二部分
    • 流加密与CPA
      • 多重加密
    • CPA安全加密方案
      • CPA安全实验、预言机访问(oracle access)
    • 操作模式
      • 伪随机函数PRF
      • 伪随机排列PRP
    • CCA安全加密方案
      • 补充
      • 填充预言机Padding-Oracle攻击真实案例

写在最前面

主要在 哈工大密码学课程 张宇老师课件 的基础上学习记录笔记。

内容补充:骆婷老师的PPT
《introduction to modern cryphtography》–Jonathan Katz, Yehuda Lindell(现代密码学——原理与协议)中相关章节
密码学复习笔记 这个博主好有意思

初步笔记,如有错误请指正

快速补充一些密码相关的背景知识


请添加图片描述

私钥加密与伪随机性 第二部分

  1. 本节课学习另外两种私钥加密安全理论:选择明文攻击(CPA)下不可区分性、选择密文攻击(CCA)下不可区分性以及相关的密码学原语、假设、构造和证明。这些攻击更好的刻画了现实世界中敌手的能力,相应的密码学方案也是目前真正在实际使用的。

  2. 目录:流加密与CPA,CPA安全加密方案,操作模式,CCA安全加密方案

流加密与CPA

  1. 流加密方案(Stream Cipher)

    • 首先介绍当有多个消息需要被传递时,如何利用之前学习的基于PRG的加密方案来保护消息。
    • 思路:受一次一密方案的启发,通过将变长消息与密钥的异或来加密
    • 流加密方案:通过将多个消息“拼成”一个消息,与伪随机的比特流(密钥流)异或来加密
    • 密钥流:由一个变长的伪随机生成器产生
    • 优点:逻辑简单,比分组密码更快
    • 缺点:难以做到安全
  2. 采用流加密方案的安全多重加密

    • 同步模式:用一个流中不同部分分别加密各个消息;
    • 异步模式:以密钥和初始向量一起作为输入来产生流,每个明文的加密采用相同的密钥和不同的初始向量
      • 初始向量(Initial Vector) I V IV IV是随机选取的并且是公开的;其生成是随机的并不受控制,但生成后并不保密;密钥的生成是随机的并不受控制,但生成后也要保密。
    • 两种模式差异:
      • 同步模式适合持续通信场景,例如语音;异步模式适合间断通信场景,例如即时消息。
  3. 流密码的安全性

    1. 现状:没有标准化和流行的方案,安全性仍有疑问,例如在802.11中WEP协议的RC4,线性反馈移位寄存器(Linear Feedback Shift Registers);
    2. 警告:不要使用任何流加密方案,如果一定需要的话,采用由分组加密方案构造的。
    3. eStream项目致力于设计安全的流密码
  4. 相关密钥:真实世界例子

    • 用于多重加密的密钥(初始向量和密钥对)必须是独立的。否则,前面的攻击就会生效;
    • 对于802.11b WEP的若干攻击:
      • WEP为异步模式, E n c ( m i ) : = < I V i , G ( I V i ∥ k ) ⊕ m i > \mathsf{Enc}(m_i) := \left< IV_i, G(IV_i\|k) \oplus m_i\right> Enc(mi):=IVi,G(IVik)mi
      • I V IV IV长度为24比特,在 2 24 ≈ 2^{24} \approx 224 16M 帧后 I V IV IV会产生重复;
      • 在一些WiFi网卡上,在电源重启后 I V IV IV重置为0;
      • I V i = I V i − 1 + 1 IV_i = IV_{i-1} + 1 IVi=IVi1+1. 对于RC4,在40,000帧后可以恢复 k k k

多重加密

  1. 多重加密(Multiple Encryptions)

    • 在一次一密中,一个密钥不可以用于对多个消息的加密;否则,就是不安全的。如果敌手能够获得用同一个密钥加密后的多个密文,则之前的方案都是不安全的;为此,我们需要新的加密方案来防御这样的攻击。
    • 多个明文的加密实验 P r i v K A , Π m u l t ( n ) \mathsf{PrivK}^{\mathsf{mult}}_{\mathcal{A},\Pi}(n) PrivKA,Πmult(n),当一次加密多个明文时,窃听者敌手能够区分出两组明文吗?
    • 一个敌手 A \mathcal{A} A与一个挑战者 C \mathcal{C} C进行3轮交互:
      1. A \mathcal{A} A选择两个长度相同、内容不同明文向量 M ⃗ 0 = ( m 0 1 , … , m 0 t ) \vec{M}_0=(m_0^1,\dots,m_0^t) M 0=(m01,,m0t), M ⃗ 1 = ( m 1 1 , … , m 1 t ) \vec{M}_1=(m_1^1,\dots,m_1^t) M 1=(m11,,m1t),其中两个向量中同一位置的明文长度相同 ∀ i , ∣ m 0 i ∣ = ∣ m 1 i ∣ \forall i, |m_0^i| = |m_1^i| i,m0i=m1i,发送给 C \mathcal{C} C
      2. C \mathcal{C} C根据密钥生成算法生成一个新密钥 k ← G e n ( 1 n ) k \gets \mathsf{Gen}(1^n) kGen(1n),一个随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\} b{0,1}。对向量 M ⃗ b \vec{M}_b M b中每个明文加密 c i ← E n c k ( m b i ) c^i \gets \mathsf{Enc}_k(m_b^i) ciEnck(mbi) 得到一个密文向量 C ⃗ = ( c 1 , … , c t ) \vec{C}=(c^1,\dots,c^t) C =(c1,,ct) ,并发送给 A \mathcal{A} A
      3. A \mathcal{A} A输出对所加密明文向量的猜测 b ′ b' b,若 b = b ′ b=b' b=b,则 A \mathcal{A} A成功;否则,失败;
    • 这与之前的单个消息不可区分实验类似的,区别在于用同一个密钥加密的多个消息。敌手可以获得多个明文的密文,比单个明文不可区分实验中的敌手有更强的能力。
  2. 多重加密安全定义

    • Π \Pi Π窃听者出现时不可区分的多重加密方案,如果任意PPT的敌手 A \mathcal{A} A, 存在可忽略的函数 n e g l \mathsf{negl} negl 使得

      Pr ⁡ [ P r i v K A , Π m u l t ( n ) = 1 ] ≤ 1 2 + n e g l ( n ) . \Pr\left[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{mult}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)=1\right] \le \frac{1}{2} + \mathsf{negl}(n). Pr[PrivKA,Πmult(n)=1]21+negl(n).

    • 根据这个定义,来分析迄今学习的密码学方案是否是多重加密不可区分的?

  3. 攻击确定性加密方案

    • 问题:如果一个加密方案中加密算法是确定性的,即同一个明文会被同一个密钥加密成同一个密文,那么该加密方案是多重加密安全的吗?
    • 攻击:对于确定性加密方案,敌手可以构造 m 0 1 = m 0 2 m_0^1 = m_0^2 m01=m02 并且 m 1 1 ≠ m 1 2 m_1^1 \neq m_1^2 m11=m12,然后当 c 1 = c 2 c^1 = c^2 c1=c2,输出 b ′ = 0 b'=0 b=0,否则 b ′ = 1 b'=1 b=1
    • 因此,确定性加密方案不是多重加密安全的,我们需要新的密码学原语来防御多重加密攻击。接下来,我们介绍一种更强的攻击,其涵盖了多重加密攻击。只要防御了这个新定义的攻击,也就同时防御了多重加密攻击。

CPA安全加密方案

  1. 选择明文攻击(Chosen-Plaintext Attacks (CPA))(思考)

    • 敌手具有获得其所选择明文对应的密文的能力。

    • 第二次世界大战中的例子:美国海军密码分析学家相信密文“AF”表示日语中的“中途岛”;但美国将军不认为中途岛会遭到攻击(?这里没看懂);美国海军密码分析学家发送了一个明文,中途岛淡水供给不足;日本军队截获的明文,并发送了一段密文,“AF”淡水不足;美国军队派出三艘航空母舰并且取胜。

    • 这里例子里,美国海军密码分析学家选择了明文并得到了密文。

CPA安全实验、预言机访问(oracle access)

  1. CPA安全实验

    • CPA不可区分实验 P r i v K A , Π c p a ( n ) \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}(n) PrivKA,Πcpa(n):
      1. 挑战者生成密钥 k ← G e n ( 1 n ) k \gets \mathsf{Gen}(1^n) kGen(1n);(这里与窃听者不可区分实验相比,密钥的生成提前了,这是为了下一步提供加密预言机)
      2. A \mathcal{A} A 被给予输入 1 n 1^n 1n 和对加密函数 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot) Enck()预言机访问(oracle access) A E n c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)} AEnck() ,输出相同长度 m 0 , m 1 m_0, m_1 m0,m1
      3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\} b{0,1},将挑战密文 c ← E n c k ( m b ) c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b) cEnck(mb) 发送给 A \mathcal{A} A
      4. A \mathcal{A} A 继续对 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot) Enck()的预言机的访问,输出 b ′ b' b;如果 b ′ = b b' = b b=b,则 A \mathcal{A} A成功 P r i v K A , Π c p a = 1 \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}=1 PrivKA,Πcpa=1,否则 0。
    • 敌手对加密函数预言机访问是指,敌手以任意明文作为输入,可以从预言机得到对应密文。此处,密钥是已经提前生成的,因此才能通过加密函数预研机得到密文,但仍对敌手保密。预言机是一个形象的比喻,它是一个黑盒,只接收输入并返回输出;访问者不需要了解其内部构造。
    • 该实验与窃听者不可区分实验的区别在于,敌手可访问加密预言机,在实验过程中始终可以,包括在产生两个明文阶段,以及在收到挑战密文后猜测被加密明文阶段,获得任意明文被同一密钥加密的密文;而且密文是逐个获得,可以根据之前的明文和密文对来“适应性地”构造新的查询。
    • CPA敌手比多重加密的敌手更“强大”,因为多重加密敌手是可以一次性地获得一组密文,而CPA敌手可以根据已经获得的明文和密文“多次适应性地”再次获得密文。
  2. CPA安全

    • Π \Pi Π 是CPA不可区分加密方案 (CPA安全的),如果任意概率多项式时间算法 A \mathcal{A} A,存在可忽略的函数 n e g l \mathsf{negl} negl使得,

      Pr ⁡ [ P r i v K A , Π c p a ( n ) = 1 ] ≤ 1 2 + n e g l ( n ) \Pr\left[\mathsf{PrivK}^{\mathsf{cpa}}_{\mathcal{A},\Pi}(n)=1\right] \le \frac{1}{2} + \mathsf{negl}(n) Pr[PrivKA,Πcpa(n)=1]21+negl(n)

    • 定理:CPA安全也是多重加密安全的。证明略。直觉上,CPA敌手比多重加密敌手更强大。

    • 之前的方案也难以实现CPA安全;

    • 多重加密安全意味着CPA安全?(作业)显然是否定的。那么,思考两种安全定义的区别成为解题的关键。

操作模式

伪随机函数PRF

  1. 伪随机函数(Pseudorandom Function)概念

    • 为了实现CPA安全,之前的PRG提供的随机性不够用了,需要新的数学工具为加密提供额外的随机性。为此引入伪随机函数(PRF),是对伪PRG的泛化:PRG从一个种子生成一个随机串,PRF从一个key生成一个函数;
    • 带密钥的函数Keyed function F : { 0 , 1 } ∗ × { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ F : \{0,1\}^* \times \{0,1\}^* \to \{0,1\}^* F:{0,1}×{0,1}{0,1}
      • F k : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ F_k : \{0,1\}^* \to \{0,1\}^* Fk:{0,1}{0,1}, F k ( x ) = def F ( k , x ) F_k(x) \overset{\text{def}}{=} F(k,x) Fk(x)=defF(k,x)
      • 两个输入到一个输出,看上去像,但不是加密函数;输入key,得到一个一输入到一输出的函数;
    • 查表Look-up table f f f: { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n {0,1}n{0,1}n 需要多少比特信息存储?
      • 查表是一个直接描述输入与输出间映射的表格,一个条目对应一个输入与一个输出;当该映射是随机产生的,是一个真随机函数;
    • 函数族Function family F u n c n \mathsf{Func}_n Funcn: 包含所有函数 { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n {0,1}n{0,1}n. ∣ F u n c n ∣ = 2 n ⋅ 2 n |\mathsf{Func}_n| = 2^{n\cdot2^n} Funcn=2n2n
      • 一个PRF是函数族中一个子集,key确定下的PRF是函数族中一个元素,一个查表是函数族中一个元素;
    • 长度保留Length Preserving: ℓ k e y ( n ) = ℓ i n ( n ) = ℓ o u t ( n ) = n \ell_{key}(n) = \ell_{in}(n) = \ell_{out}(n) = n key(n)=in(n)=out(n)=n;密钥长度与函数输入、输出长度相同为 n n n;没有特殊说明时,只讨论长度保留的函数;
  2. 伪随机函数定义

    • 直觉上,一个PRF生成的带密钥的函数与从函数族中随机选择的真随机函数(查表)之间是不可区分的;然而,一个真随机函数具有指数长度,无法“预先生成”,只能“on-the-fly”(边运行、边生成)的使用,引入一个对函数 O \mathcal{O} O的确定性的预言机访问(oracle access) D O D^\mathcal{O} DO
    • 这里的预言机是一个抽象的函数。访问预言机,就是给出任意输入,得到该函数的输出。访问预言机的能力不包括了解正在访问的预言机具体内部构造。
    • 一个带密钥的函数是一个伪随机函数(PRF),对任意PPT区分器 D D D ∣ Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] ∣ ≤ n e g l ( n ) \left|\Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1]\right| \le \mathsf{negl}(n) Pr[DFk()(1n)=1]Pr[Df()(1n)=1] negl(n),其中 f f f F u n c n \mathsf{Func}_n Funcn中随机函数。
      • 这里区分器 D D D是一个算法,可以访问预言机,但并不知道预言机背后是什么。
      • 这里不可区分性关键是,对真随机查表和伪随机函数,区分器输出相同结果概率的差异。区分器输出1或0本身没有,也无需,有特定语义。
    • PRF和PRG的关系在后面会学习,可以由PRG来构造PRF。
  3. PRF例题

    • 问题一个固定长度的一次一密方案是一个PRF吗?
    • 对于一个PRF,在密钥保密和没有预言机访问时,给指定输入,能以不可忽略的概率猜测输出相关信息吗?
    • 如果是PRF,则给出该函数与查表的相似性;否则,给出一个区分器可以区分出该函数不是随机的。
  4. 以PRF实现CPA安全

    • 新随机串 r r r,每次新生成一个随机串;
    • F k ( r ) F_k(r) Fk(r): ∣ k ∣ = ∣ m ∣ = ∣ r ∣ = n |k| = |m| = |r| = n k=m=r=n. 长度保留;
    • G e n \mathsf{Gen} Gen: k ∈ { 0 , 1 } n k \in \{0,1\}^n k{0,1}n.
    • E n c \mathsf{Enc} Enc: s : = F k ( r ) ⊕ m s := F_k(r)\oplus m s:=Fk(r)m, c : = < r , s > c := \left<r, s\right> c:=r,s. 密文包括两部分新随机串,以及异或输出;
    • D e c \mathsf{Dec} Dec: m : = F k ( r ) ⊕ s m := F_k(r)\oplus s m:=Fk(r)s.
    • 定理:上述方案是CPA安全的。
  5. 从PRF到CPA安全的证明

    • 思路:从PRF的区分器算法 D \mathcal{D} D规约到加密方案敌手算法 A \mathcal{A} A,区分器 D \mathcal{D} D作为敌手 A \mathcal{A} A的挑战者,敌手 A \mathcal{A} A实验成功时区分器 D \mathcal{D} D输出1。分两种情况,当输入真随机函数 f f f时,相当于一次一密;当输入伪随机函数 F k F_k Fk时,为加密方案。
    • 规约: D \mathcal{D} D输入预言机,输出一个比特; A \mathcal{A} A的加密预言机访问通过 D \mathcal{D} D的预言机 O \mathcal{O} O来提供, c : = < r , O ( r ) ⊕ m > c := \left<r, \mathcal{O}(r) \oplus m \right> c:=r,O(r)m D \mathcal{D} D输出1,当 A \mathcal{A} A在实验中成功。
      • 这里有两个预言机: D \mathcal{D} D访问的预言机 O \mathcal{O} O A \mathcal{A} A访问的加密预言机 E n c k \mathsf{Enc}_k Enck,后者不能直接访问前者的预言机。
  6. 从PRF到CPA安全的证明(续)

    • 考虑真随机函数 f f f的情况,分析不可区分实验成功概率 Pr ⁡ [ P r i v K A , Π ~ c p a ( n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ B r e a k ] \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \Pr[\mathsf{Break}] Pr[PrivKA,Π~cpa(n)=1]=Pr[Break]。敌手 A \mathcal{A} A访问加密预言机可以获得多项式 q ( n ) q(n) q(n)个明文与密文对的查询结果并得到随机串和pad { < r i , f ( r i ) > } \{ \left< r_i, f(r_i) \right> \} {ri,f(ri)};当收到挑战密文 c = < r c , s : = f ( r c ) ⊕ m b > c=\left<r_c, s:=f(r_c)\oplus m_b\right> c=rc,s:=f(rc)mb时,根据之前查询结果中随机串是否与挑战密文中随机串相同,分为两种情况:

      • 当有相同随机串时,根据 r r r可以得到 f ( r c ) f(r_c) f(rc) m b = f ( r c ) ⊕ s m_b=f(r_c)\oplus s mb=f(rc)s,但这种情况发生的概率 q ( n ) / 2 n q(n)/2^n q(n)/2n是可忽略的;
      • 当没有相同随机串时,输出是随机串,相当于一次一密,成功概率=1/2;
    • Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ P r i v K A , Π c p a ( n ) = 1 ] = 1 2 + ε ( n ) . \Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\Pi}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \frac{1}{2} + \varepsilon(n). Pr[DFk()(1n)=1]=Pr[PrivKA,Πcpa(n)=1]=21+ε(n).

    • Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ P r i v K A , Π ~ c p a ( n ) = 1 ] = Pr ⁡ [ B r e a k ] ≤ 1 2 + q ( n ) 2 n . \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1] = \Pr[\mathsf{PrivK}_{\mathcal{A},\tilde{\Pi}}^{\mathsf{cpa}}(n) = 1] = \Pr[\mathsf{Break}] \le \frac{1}{2} + \frac{q(n)}{2^n}. Pr[Df()(1n)=1]=Pr[PrivKA,Π~cpa(n)=1]=Pr[Break]21+2nq(n).

    • Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] ≥ ε ( n ) − q ( n ) 2 n . \Pr[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot)}(1^n)=1] \ge \varepsilon(n) - \frac{q(n)}{2^n}. Pr[DFk()(1n)=1]Pr[Df()(1n)=1]ε(n)2nq(n). 根据伪随机函数定义, ε ( n ) \varepsilon(n) ε(n) 是可忽略的.

    • 小结:通过规约将 A \mathcal{A} A的不可区分实验成功的概率与 D D D的区分器实验输出1的概率建立等式;分析输入真随机函数预言机时 D D D输出1的概率(即不可区分实验成功概率)是1/2+一个可忽略函数;根据PRF的定义,输入伪随机函数预言机时 D D D输出1的概率(1/2+ ε ( n ) \varepsilon(n) ε(n))与输入真随机函数预言机时 D D D输出1的概率(1/2)的差异时可忽略的。

  7. CPA安全例题

    • E n c k ( m ) = P R G ( k ∥ r ) ⊕ m \mathsf{Enc}_k(m) = PRG(k\|r) \oplus m Enck(m)=PRG(kr)m, r r r 是新的随机串。这是CPA安全的吗?
    • 从PRF到CPA安全:变长消息
    • 对于任意长度消息 m = m 1 , … , m ℓ m = m_1, \dots , m_{\ell} m=m1,,m c : = < r 1 , F k ( r 1 ) ⊕ m 1 , r 2 , F k ( r 2 ) ⊕ m 2 , … , r ℓ , F k ( r ℓ ) ⊕ m ℓ > c := \left< r_1, F_k(r_1) \oplus m_1, r_2, F_k(r_2) \oplus m_2, \dots, r_\ell, F_k(r_\ell) \oplus m_\ell\right> c:=r1,Fk(r1)m1,r2,Fk(r2)m2,,r,Fk(r)m
    • 推论:如果 F F F是一个 PRF,那么 Π \Pi Π 对任意长度消息是 CPA 安全的。
    • 问题:这个方案有什么缺点?
    • 有效性: ∣ c ∣ = 2 ∣ m ∣ |c| = 2|m| c=2∣m. 密文长度是明文长度的二倍,并且需要大量的真随机串。

伪随机排列PRP

  1. 伪随机排列(Pseudorandom Permutations

    • 为了提高对任意长度消息加密的效率,以及更高级的加密基础工具,学习伪随机排列PRP的概念;

    • 双射 Bijection: F F F 是一到一的(一个输入对应一个唯一输出)且满射(覆盖输出集中每个元素);

    • 排列 Permutation: 一个从一个集合到自身的双射函数;

    • 带密钥的排列 Keyed permutation: ∀ k , F k ( ⋅ ) \forall k, F_k(\cdot) k,Fk()是排列;类似带密钥的函数;

    • F F F 是一个双射 ⟺ F − 1 \iff F^{-1} F1 是一个双射;函数和逆函数都是双射;

    • 定义:一个有效的带密钥的排列 F F F 是PRP,如果对于任意PPT的区分器 D D D

      ∣ Pr ⁡ [ D F k ( ⋅ ) , F k − 1 ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] − Pr ⁡ [ D f ( ⋅ ) , f − 1 ( ⋅ ) ( 1 n ) = 1 ] ∣ ≤ n e g l ( n ) \left|\Pr[D^{F_k(\cdot),F_k^{-1}(\cdot)}(1^n)=1] - \Pr[D^{f(\cdot),f^{-1}(\cdot)}(1^n)=1]\right| \le \mathsf{negl}(n) Pr[DFk(),Fk1()(1n)=1]Pr[Df(),f1()(1n)=1] negl(n)

    • 问题:一个PRP也是一个PRF吗?

  2. PRP例题

    • 对1比特的PRP、PRF的分析;
    • 交换引理:如果 F F F 是一个 PRP 并且 ℓ i n ( n ) ≥ n \ell_{in} (n) \ge n in(n)n,那么 F F F 也是一个 PRF。
      • 一个随机排列和一个查表是不可取分的,PRP和随机排列不可取分,因此,PRP和查表是不可取分的。
  3. 操作模式概念(Modes of Operation

    • 操作模式是使用PRP或PRF来加密任意长度消息的方法;
    • 操作模式是从PRP或PRF来构造一个PRG的方法;
    • 将一个消息分成若干等长的块(分组,block),每个块以相似方式处理;
  4. Electronic Code Book (ECB) 模式

    • 在窃听者出现时,是否是不可区分的?
    • F F F 可以是任意PRF吗?
  5. 对ECB的攻击

    • 为什么仍然可以识别企鹅?
  6. Cipher Block Chaining (CBC) 模式

    • I V IV IV初始向量,一个新的随机串;
    • 是CPA的吗?可并行化吗?F可以是任意PRF吗?
  7. Output Feedback (OFB) Mode模式

    • 是CPA安全吗?可并行化吗?F可以是任意PRF吗?
  8. Counter (CTR) Mode模式

    • c t r ctr ctr是一个初始向量,并且逐一增加;
    • 是CPA安全吗?可并行化吗?F可以是任意PRF吗?
  9. CTR模式是CPA安全
    在这里插入图片描述

    • 定理:如果 F F F是一个PRF,那么随机CTR模式是CPA安全的。

    • 证明:其安全性与之前基于PRF的CPA安全证明类似,从PRF的伪随机假设规约到CPA安全加密方案。其中,对 c t r ctr ctr的安全性直觉在于, c t r ctr ctr也是在加密前不可预测的,且每个块所用 c t r ctr ctr都是不同的;

    • 当加密预言机是由真随机查表构成时,敌手多次访问加密预言机得到的 c t r ctr ctr序列与挑战密文的 c t r ctr ctr序列之间有重叠的概率 2 q ( n ) 2 2 n \frac{2q(n)^2}{2^n} 2n2q(n)2是可以忽略的;若没有重叠,则相当于一次一密;

    • 规约与之前证明基于PRF的CPA安全加密方案一样,证明过程也类似。

  10. 初始向量不应该可预测

    • 如果 I V IV IV是可预测的,那么CBC/OFB/CTR模式不是CPA安全的。
    • 为什么?(作业)
    • 在SSL/TLS 1.0中的漏洞:记录 # i \#i #i I V IV IV是上一个记录 # ( i − 1 ) \#(i-1) #(i1)的密文块。
    • OpenSSL中API:需要用户输入 I V IV IV,但 I V IV IV应在函数内实现。当 I V IV IV不充分随机时不安全。
  11. 非确定性加密

    • 有三种通用的实现CPA安全的非确定性加密方法:
    • 随机化的: r r r随机生成,如构造5;需要更多熵,长密文
    • 有状态的: r r r为计数器,如CTR模式;需要通信双方同步计数器
    • 基于Nonce的: r r r只用一次;需要保证只用一次,长密文

CCA安全加密方案

  1. 选择密文攻击 Chosen-Ciphertext Attacks (CCA)

    • CCA不可区分实验 P r i v K A , Π c c a ( n ) \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}(n) PrivKA,Πcca(n):

      1. 挑战者生成密钥 k ← G e n ( 1 n ) k \gets \mathsf{Gen}(1^n) kGen(1n);(为了下一步的预言机)
      2. A \mathcal{A} A 被给予输入 1 n 1^n 1n 和对加密函数 E n c k ( ⋅ ) \mathsf{Enc}_k(\cdot) Enck()和解密函数 D e c k ( ⋅ ) \mathsf{Dec}_k(\cdot) Deck()预言机访问(oracle access) A E n c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Enc}_k(\cdot)} AEnck() A D e c k ( ⋅ ) \mathcal{A}^{\mathsf{Dec}_k(\cdot)} ADeck(),输出相同长度 m 0 , m 1 m_0, m_1 m0,m1
      3. 挑战者生成随机比特 b ← { 0 , 1 } b \gets \{0,1\} b{0,1},将挑战密文 c ← E n c k ( m b ) c \gets \mathsf{Enc}_k(m_b) cEnck(mb) 发送给 A \mathcal{A} A
      4. A \mathcal{A} A 继续对除了挑战密文 c c c之外的预言机的访问,输出 b ′ b' b;如果 b ′ = b b' = b b=b,则 A \mathcal{A} A成功 P r i v K A , Π c c a = 1 \mathsf{PrivK}^{\mathsf{cca}}_{\mathcal{A},\Pi}=1 PrivKA,Πcca=1,否则 0。

      定义:一个加密方案是CCA安全的,如果实验成功的概率与1/2的差异是可忽略的。

  2. 理解CCA安全

    • 在现实世界中,敌手可以通过影响被解密的内容来实施CCA。如果通信没有认证,那么敌手可以以通信参与方的身份来发送特定密文。下一页有具体真实案例。

    • CCA安全性意味着“non-malleability”(不可锻造性,即改变但不毁坏),不能修改密文来获得新的有效密文。

    • 之前的方案中没有CCA安全,因为都不是不可锻造。

    • 对基于PRF的CPA安全加密方案的CCA攻击:

      • A \mathcal{A} A 获得挑战密文 c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right> c=r,Fk(r)mb,并且查询与 c c c只相差了一个翻转的比特的密文 c ′ c' c,那么

        m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r) m=cFk(r) 应该与 m b m_{b} mb 除了什么之外都相同?(见下方的补充)

    • 问题:上述操作模式也不是CCA安全的(作业)

    • 由此,可以总结出CCA下敌手的常用策略:

      • 修改挑战密文 c c c c ′ c' c,并查询解密预言机得到 m ′ m' m
      • 根据关系,由 m ′ m' m来猜测被加密明文 m b m_b mb

补充

在这个情况下, A \mathcal{A} A 获得了挑战密文 c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right> c=r,Fk(r)mb 并查询了一个只在一个比特上与 c c c 不同的密文 c ′ c' c。我们来分析一下 m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r) m=cFk(r) m b m_{b} mb 的关系。

首先,我们明确 c c c 的构成:

  • c c c 包含两个部分:一个随机数 r r r 和使用密钥 k k k 的函数 F k ( r ) F_k(r) Fk(r) 与明文 m b m_{b} mb 的异或结果。
  • 因此, c = < r , F k ( r ) ⊕ m b > c = \left<r, F_k(r)\oplus m_{b}\right> c=r,Fk(r)mb

现在,如果 A \mathcal{A} A 查询了一个与 c c c 只在一个比特上不同的密文 c ′ c' c,那么 c ′ c' c 也可以写成两部分,但其中一部分与 c c c 有一个比特的差异。这个差异可以在 r r r 部分,也可以在 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b} Fk(r)mb 部分。

A \mathcal{A} A 计算 m ′ = c ′ ⊕ F k ( r ) m' = c' \oplus F_k(r) m=cFk(r) 时,他们实际上是在解开 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b} Fk(r)mb 的异或操作。这是因为异或操作是可逆的,且当两次使用相同的值时会取消彼此的效果(即 A ⊕ B ⊕ B = A A \oplus B \oplus B = A ABB=A)。

因此,如果 c ′ c' c 的变化发生在 F k ( r ) F_k(r) Fk(r) 部分,则 m ′ m' m 将与 m b m_{b} mb 完全相同,因为 F k ( r ) F_k(r) Fk(r) 部分的变化被异或操作取消了。但如果变化发生在 r r r 部分,则这个变化不会影响到 F k ( r ) ⊕ m b F_k(r)\oplus m_{b} Fk(r)mb 部分,因此 m ′ m' m 将与 m b m_{b} mb 在一个比特上不同。

综上所述, m ′ m' m m b m_{b} mb 将在以下方面相同:

  • 如果变化发生在 F k ( r ) F_k(r) Fk(r) 部分,那么 m ′ m' m m b m_{b} mb 完全相同。
  • 如果变化发生在 r r r 部分,那么 m ′ m' m m b m_{b} mb 除了那个翻转的比特之外都相同。

填充预言机Padding-Oracle攻击真实案例

  1. Padding-Oracle(填充预言机)攻击真实案例

    • CAPTCHA服务商为Web网站提供验证用户是否为人类的服务。为此,一个CAPTCHA服务器与Web服务器间事先共享一个密钥 k k k,服务工作原理如下:
      1. 当Web服务器验证用户是否为人类时,生成一个消息 w w w并以 k k k加密,向用户发送一个密文 E n c k ( w ) Enc_k(w) Enck(w)
      2. 用户将密文 E n c k ( w ) Enc_k(w) Enck(w)转发给CAPTCHA服务器;(可实施填充预言机攻击)
      3. CAPTCHA服务器用密钥 k k k将密文解密,根据解密结果返回给用户信息:一个由 w w w生成的图像,或者坏填充错误;
      4. 用户根据图像获得 w w w 并将 w w w 发送给Web服务器。
    • 在第2步,当恶意用户可以利用CAPTCHA服务器会返回给用户坏填充错误这一漏洞,来实施填充错误攻击。
  2. Padding-Oracle(填充预言机)攻击

    • 在PKCS #5 padding(填充)标准中,为了将一个消息的长度“填充”到块长度的整数倍,在最后一个块中填充 b b b个字节的 b b b;必要时,添加一个哑块(dummy block,不包含消息的一个填充块)。存在一种攻击手段:当填充错误时,解密服务器返回一个“坏填充错误”,这相当于提供了一个解密预言机,最终可以获得整个明文;
    • 具体攻击原理:
      • 更改密文(包含 I V IV IV部分)并发送给解密服务器;
      • 一旦触发了“坏填充错误”,则说明对密文的更改导致了填充部分内容的更改;否则,对密文的更改导致了原明文部分的更改;
      • 通过仔细修改密文来控制填充部分,从而获得消息长度和内容。
  3. 填充预言机攻击:获得消息长度

    • 攻击的第一步判断消息是否为空:在单个块的CBC中,通过更改 I V IV IV的首个字节,攻击者能够获知是否 m m m是否为空。因为如果 m m m是空的话,更改 I V IV IV首个字节将更改解密出的填充内容,解密服务器就会返回坏填充错误(1比特信息),具体分析如下:
      • 如果 m m m是空的,那么明文会添加一个哑块 { b } b \{b\}^b {b}b
      • PRP的输入为 I V ⊕ { b } b IV\oplus \{b\}^b IV{b}b;设 I V IV IV的首个字节为 x x x,则PRP的输入为 ( x ⊕ b ) ∥ ( { ⋅ } b − 1 ⊕ { b } b − 1 ) (x \oplus b) \| (\{\cdot\}^{b-1} \oplus \{b\}^{b-1}) (xb)({}b1{b}b1)
      • I V IV IV的首个字节从 x x x改成 y y y变为 y ∥ ( { ⋅ } b − 1 ) y \| (\{\cdot\}^{b-1}) y({}b1),不改变 c 1 c_1 c1解密得到的PRP的输入不会变,而解密出的明文会改变为 ( x ⊕ y ⊕ b ) ∥ { b } b − 1 (x \oplus y \oplus b) \| \{b\}^{b-1} (xyb){b}b1
      • 上述明文首个字节一定不是 b b b,这是填充格式错误,会触发服务器返回错误;
      • 如果上面的尝试没有触发错误,那么说明消息非空;下一步,发现消息长度是否为1字节,方法与上一步一样,区别在于只改变 I V IV IV的第2个字节;如此继续,获得消息的长度;(作业)
  4. 填充预言机攻击:获得消息内容

    • 一旦获得消息的长度,也就知道了填充的长度 b b b,采用下面的方法来获得消息的最后一个字节内容,进而获得整个消息;
    • 更改密文中倒数第二块,来获得消息的最后一个字节 s s s
    • 明文的最后一个块 m l a s t = ⋯ s ∥ { b } b m_{last} = \cdots s \| \{b\}^{b} mlast=s{b}b,密文的倒数第二个块 c l a s t − 1 = ⋯ t ∥ { ⋅ } b c_{last-1} = \cdots t \| \{\cdot \}^{b} clast1=t{}b
    • 最后一块的PRP输入为 c l a s t − 1 ⊕ m l a s t = ⋯ ( s ⊕ t ) ∥ ( { b } b ⊕ { ⋅ } b ) c_{last-1} \oplus m_{last} = \cdots (s \oplus t) \| (\{b\}^b \oplus \{\cdot \}^{b}) clast1mlast=(st)({b}b{}b)
    • 敌手更改 c l a s t − 1 c_{last-1} clast1 c l a s t − 1 ′ = ⋯ u ∥ ( { ⋅ } b ⊕ { b } b ⊕ { b + 1 } b ) c_{last-1}' = \cdots u \| (\{\cdot \}^{b} \oplus \{b\}^{b} \oplus \{b+1\}^{b}) clast1=u({}b{b}b{b+1}b);其中, u u u是敌手猜测的某个字节;
    • 解密获得最后一块明文 m l a s t ′ = c l a s t − 1 ⊕ m l a s t ⊕ c l a s t − 1 ′ = ⋯ ( s ⊕ t ⊕ u ) ∥ { b + 1 } b m'_{last} = c_{last-1} \oplus m_{last} \oplus c_{last-1}' = \cdots (s \oplus t \oplus u)\| \{ b+1 \}^b mlast=clast1mlastclast1=(stu){b+1}b
    • 如果没有返回坏填充错误,那么意味着填充了 b + 1 b+1 b+1个字节的 b + 1 b+1 b+1,所以 s ⊕ t ⊕ u = ( b + 1 ) s \oplus t \oplus u = (b+1) stu=(b+1) ,而 s = t ⊕ u ⊕ ( b + 1 ) s = t \oplus u \oplus (b+1) s=tu(b+1)
  5. 总结

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