1049.最后一块石头的重量II

力扣题目链接(opens new window)

题目难度：中等

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；

如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例：

输入：[2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：

组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
提示：

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 1000

思路
如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集 (opens new window)非常像了。

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲：

确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i]，看着有点晕乎。

大家可以再去看 dp[j]的含义。

dp数组如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。

我这里就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为：

vector dp(15001, 0);
确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

代码如下：

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}
}

举例推导dp数组
举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，dp数组状态图如下：

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {vector<int> dp(15001, 0);int sum = 0;for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];int target = sum / 2;for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[target] - dp[target];}
};

时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
空间复杂度：O(m)

总结

本题其实和416. 分割等和子集 (opens new window)几乎是一样的，只是最后对dp[target]的处理方式不同。

416. 分割等和子集 (opens new window)相当于是求背包是否正好装满，而本题是求背包最多能装多少。

Python：

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:dp = [0] * 15001total_sum = sum(stones)target = total_sum // 2for stone in stones:  # 遍历物品for j in range(target, stone - 1, -1):  # 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stone] + stone)return total_sum - dp[target] - dp[target]

（简化版）

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones):total_sum = sum(stones)target = total_sum // 2dp = [0] * (target + 1)for stone in stones:for j in range(target, stone - 1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j - stone] + stone)return total_sum - 2* dp[-1]

二维DP版

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:total_sum = sum(stones)target = total_sum // 2# 创建二维dp数组，行数为石头的数量加1，列数为target加1# dp[i][j]表示前i个石头能否组成总重量为jdp = [[False] * (target + 1) for _ in range(len(stones) + 1)]# 初始化第一列，表示总重量为0时，前i个石头都能组成for i in range(len(stones) + 1):dp[i][0] = Truefor i in range(1, len(stones) + 1):for j in range(1, target + 1):# 如果当前石头重量大于当前目标重量j，则无法选择该石头if stones[i - 1] > j:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:# 可选择该石头或不选择该石头dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - stones[i - 1]]# 找到最大的重量i，使得dp[len(stones)][i]为True# 返回总重量减去两倍的最接近总重量一半的重量for i in range(target, -1, -1):if dp[len(stones)][i]:return total_sum - 2 * ireturn 0

一维DP版

class Solution:def lastStoneWeightII(self, stones):total_sum = sum(stones)target = total_sum // 2dp = [False] * (target + 1)dp[0] = Truefor stone in stones:for j in range(target, stone - 1, -1):# 判断当前重量是否可以通过选择之前的石头得到或选择当前石头和之前的石头得到dp[j] = dp[j] or dp[j - stone]for i in range(target, -1, -1):if dp[i]:# 返回剩余石头的重量，即总重量减去两倍的最接近总重量一半的重量return total_sum - 2 * ireturn 0

494.目标和

力扣题目链接(opens new window)

难度：中等

给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3 输出：5 解释：

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

数组非空，且长度不会超过 20 。
初始的数组的和不会超过 1000 。
保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。
思路
如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
如果跟着「代码随想录」一起学过回溯算法系列 (opens new window)的录友，看到这道题，应该有一种直觉，就是感觉好像回溯法可以爆搜出来。

事实确实如此，下面我也会给出相应的代码，只不过会超时。

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left

公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

回溯算法

在回溯算法系列中，一起学过这道题目回溯算法：39. 组合总和 (opens new window)的录友应该感觉很熟悉，这不就是组合总和问题么？

此时可以套组合总和的回溯法代码，几乎不用改动。

当然，也可以转变成序列区间选+ 或者 -，使用回溯法，那就是另一个解法。

我也把代码给出来吧，大家可以了解一下，回溯的解法，以下是本题转变为组合总和问题的回溯法代码：

class Solution {
private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {if (sum == target) {result.push_back(path);}// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {sum += candidates[i];path.push_back(candidates[i]);backtracking(candidates, target, sum, i + 1);sum -= candidates[i];path.pop_back();}}
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];if (S > sum) return 0; // 此时没有方案if ((S + sum) % 2) return 0; // 此时没有方案，两个int相加的时候要各位小心数值溢出的问题int bagSize = (S + sum) / 2; // 转变为组合总和问题，bagsize就是要求的和// 以下为回溯法代码result.clear();path.clear();sort(nums.begin(), nums.end()); // 需要排序backtracking(nums, bagSize, 0, 0);return result.size();}
};

当然以上代码超时了。

也可以使用记忆化回溯，但这里我就不在回溯上下功夫了，直接看动规吧

#动态规划
如何转化为01背包问题呢。

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：

（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

（C++代码中，输入的S 就是题目描述的 target）
if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？

因为每个物品（题目中的1）只用一次！

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。

下面我都是统一使用一维数组进行讲解， 二维降为一维（滚动数组），其实就是上一层拷贝下来，这个我在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)也有介绍。

确定递推公式
有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]
这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

dp数组如何初始化
从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。

其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。

如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。

可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。

其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

C++代码如下：

class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {int sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];if (abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案int bagSize = (S + sum) / 2;vector<int> dp(bagSize + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {dp[j] += dp[j - nums[i]];}}return dp[bagSize];}
};

Python
回溯版

class Solution:def backtracking(self, candidates, target, total, startIndex, path, result):if total == target:result.append(path[:])  # 将当前路径的副本添加到结果中# 如果 sum + candidates[i] > target，则停止遍历for i in range(startIndex, len(candidates)):if total + candidates[i] > target:breaktotal += candidates[i]path.append(candidates[i])self.backtracking(candidates, target, total, i + 1, path, result)total -= candidates[i]path.pop()def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total = sum(nums)if target > total:return 0  # 此时没有方案if (target + total) % 2 != 0:return 0  # 此时没有方案，两个整数相加时要注意数值溢出的问题bagSize = (target + total) // 2  # 转化为组合总和问题，bagSize就是目标和# 以下是回溯法代码result = []nums.sort()  # 需要对nums进行排序self.backtracking(nums, bagSize, 0, 0, [], result)return len(result)

二维DP

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和if abs(target) > total_sum:return 0  # 此时没有方案if (target + total_sum) % 2 == 1:return 0  # 此时没有方案target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和# 创建二维动态规划数组，行表示选取的元素数量，列表示累加和dp = [[0] * (target_sum + 1) for _ in range(len(nums) + 1)]# 初始化状态dp[0][0] = 1# 动态规划过程for i in range(1, len(nums) + 1):for j in range(target_sum + 1):dp[i][j] = dp[i - 1][j]  # 不选取当前元素if j >= nums[i - 1]:dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]]  # 选取当前元素return dp[len(nums)][target_sum]  # 返回达到目标和的方案数

一维DP

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和if abs(target) > total_sum:return 0  # 此时没有方案if (target + total_sum) % 2 == 1:return 0  # 此时没有方案target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和dp = [0] * (target_sum + 1)  # 创建动态规划数组，初始化为0dp[0] = 1  # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选for num in nums:for j in range(target_sum, num - 1, -1):dp[j] += dp[j - num]  # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量return dp[target_sum]  # 返回达到目标和的方案数

474.一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3

输出：4

解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。 其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。
提示：

1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成
1 <= m, n <= 100

思路
如果对背包问题不都熟悉先看这两篇：

动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)
动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)
这道题目，还是比较难的，也有点像程序员自己给自己出个脑筋急转弯，程序员何苦为难程序员呢。

来说题，本题不少同学会认为是多重背包，一些题解也是这么写的。

其实本题并不是多重背包，再来看一下这个图，捋清几种背包的关系

416.分割等和子集1

多重背包是每个物品，数量不同的情况。

本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！

而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。

理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。

但本题其实是01背包问题！

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

开始动规五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

dp数组如何初始化
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中已经讲解了，01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

代码如下：

for (string str : strs) { // 遍历物品int oneNum = 0, zeroNum = 0;for (char c : str) {if (c == '0') zeroNum++;else oneNum++;}for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！for (int j = n; j >= oneNum; j--) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);}}
}

有同学可能想，那个遍历背包容量的两层for循环先后循序有没有什么讲究？

没讲究，都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都行！

举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：

474.一和零

以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0for (string str : strs) { // 遍历物品int oneNum = 0, zeroNum = 0;for (char c : str) {if (c == '0') zeroNum++;else oneNum++;}for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！for (int j = n; j >= oneNum; j--) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);}}}return dp[m][n];}
};

python

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]  # 创建二维动态规划数组，初始化为0for s in strs:  # 遍历物品zeroNum = s.count('0')  # 统计0的个数oneNum = len(s) - zeroNum  # 统计1的个数for i in range(m, zeroNum - 1, -1):  # 遍历背包容量且从后向前遍历for j in range(n, oneNum - 1, -1):dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)  # 状态转移方程return dp[m][n]

DP（版本二）

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]  # 创建二维动态规划数组，初始化为0# 遍历物品for s in strs:ones = s.count('1')  # 统计字符串中1的个数zeros = s.count('0')  # 统计字符串中0的个数# 遍历背包容量且从后向前遍历for i in range(m, zeros - 1, -1):for j in range(n, ones - 1, -1):dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1)  # 状态转移方程return dp[m][n]