第四章 机器学习
十五、朴素贝叶斯
朴素贝叶斯是一组功能强大且易于训练的分类器,它使用贝叶斯定理来确定给定一组条件的结果的概率,“朴素”的含义是指所给定的条件都能独立存在和发生。朴素贝叶斯是多用途分类器,能在很多不同的情景下找到它的应用,例如垃圾邮件过滤、自然语言处理等。
1. 概率
1.1 定义
概率是反映随机事件出现的可能性大小。随机事件是指在相同条件下,可能出现也可能不出现的事件。例如:
(1)抛一枚硬币,可能正面朝上,可能反面朝上,这是随机事件。正/反面朝上的可能性称为概率;
(2)掷骰子,掷出的点数为随机事件。每个点数出现的可能性称为概率;
(3)一批商品包含良品、次品,随机抽取一件,抽得良品/次品为随机事件。经过大量反复试验,抽得次品率越来越接近于某个常数,则该常数为概率。
我们可以将随机事件记为 A 或 B,则 P(A), P(B)表示事件 A 或 B 的概率。
1.2 联合概率与条件概率
1.2.1 联合概率
指包含多个条件且所有条件同时成立的概率,记作 P ( A , B ) P ( A , B ) P(A,B) ,或 P ( A B ) P(AB) P(AB),或 P ( A ⋂ B ) P(A \bigcap B) P(A⋂B)
1.2.2 条件概率
已知事件 B 发生的条件下,另一个事件 A 发生的概率称为条件概率,记为: P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B) p(下雨|阴天)
1.2.3 事件的独立性
事件 A 不影响事件 B 的发生,称这两个事件独立,记为:
P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
因为 A 和 B 不相互影响,则有:
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A|B) = P(A) P(A∣B)=P(A)
可以理解为,给定或不给定 B 的条件下,A 的概率都一样大。
1.3 先验概率与后验概率
1.3.1 先验概率
先验概率也是根据以往经验和分析得到的概率,例如:在没有任何信息前提的情况下,猜测对面来的陌生人姓氏,姓李的概率最大(因为全国李姓为占比最高的姓氏),这便是先验概率。
1.3.2 后验概率
后验概率是指在接收了一定条件或信息的情况下的修正概率,例如:在知道对面的人来自“牛家村”的情况下,猜测他姓牛的概率最大,但不排除姓杨、李等等,这便是后验概率。
1.3.3 两者的关系
事情还没有发生,求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率(可以理解为由因求果)。事情已经发生,求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验概率(由果求因)。先验概率与后验概率有不可分割的联系,后验概率的计算要以先验概率为基础。
2. 贝叶斯定理
2.1 定义
贝叶斯定理由英国数学家托马斯.贝叶斯 (Thomas Bayes)提出,用来描述两个条件概率之间的关系,定理描述为:
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( B ) P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A)P(B∣A)
其中, P ( A ) P(A) P(A)和 P ( B ) P(B) P(B)是 A 事件和 B 事件发生的概率。 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)称为条件概率,表示 B 事件发生条件下,A 事件发生的概率。推导过程:
P ( A , B ) = P ( B ) P ( A ∣ B ) P ( B , A ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(A,B) =P(B)P(A|B)\\ P(B,A) =P(A)P(B|A) P(A,B)=P(B)P(A∣B)P(B,A)=P(A)P(B∣A)
其中 P ( A , B ) P(A,B) P(A,B)称为联合概率,指事件 B 发生的概率,乘以事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率。因为 P ( A , B ) = P ( B , A ) P(A,B)=P(B,A) P(A,B)=P(B,A), 所以有:
P ( B ) P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A) P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)
两边同时除以 P(B),则得到贝叶斯定理的表达式。其中, P ( A ) P(A) P(A)是先验概率, P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)是已知 B 发生后 A 的条件概率,也被称作后验概率。
2.2 贝叶斯定理示例
【示例一】计算诈骗短信的概率
事件 | 概率 | 表达式 |
---|---|---|
所有短信中,诈骗短信 | 5% | P(A)= 0.05 |
所有短信中,含有“中奖”两个字 | 4% | P(B)= 0.04 |
所有短信中,是诈骗短信,并且含有“中奖”两个字 | 50% | P(B|A) = 0.5 |
求:收到一条新信息,含有“中奖”两个字,是诈骗短信的概率?
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) / P ( B ) = 0.05 ∗ 0.5 / 0.04 = 0.625 P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B) = 0.05 * 0.5 / 0.04 = 0.625 P(A∣B)=P(A)P(B∣A)/P(B)=0.05∗0.5/0.04=0.625
【示例二】计算喝酒驾车的概率
事件 | 概率 | 表达式 |
---|---|---|
所有客人中,驾车 | 20% | P(A)= 0.2 |
所有客人中,喝酒 | 10% | P(B)= 0.1 |
所有客人中,开车并且喝酒 | 5% | P(B|A)= 0.05 |
求:喝过酒仍然会开车的人的比例是多少?
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) / P ( B ) = 0.2 ∗ 0.05 / 0.1 = 0.1 P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B) = 0.2 * 0.05 / 0.1 = 0.1 P(A∣B)=P(A)P(B∣A)/P(B)=0.2∗0.05/0.1=0.1
【示例三】
假设一个学校中 60%的男生 和 40%的女生
女生穿裤子的人数和穿裙子的人数相等
所有的男生都穿裤子,一个人随机在远处眺望,看一个穿裤子的学生。
请问这个学生是女生的概率:
p(女) = 0.4
p(裤子|女) = 0.5
p(裤子) = 0.8
P(女|裤子) = 0.4 * 0.5 / 0.8 = 0.25
P ( A ∣ B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( B ) P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A)P(B∣A)
3. 朴素贝叶斯分类器
3.1 分类原理
朴素贝叶斯分类器就是根据贝叶斯公式计算结果进行分类的模型,“朴素”指事件之间相互独立无影响。例如:有如下数据集:
Text | Category |
---|---|
A great game(一个伟大的比赛) | Sports(体育运动) |
The election was over(选举结束) | Not sports(不是体育运动) |
Very clean match(没内幕的比赛) | Sports(体育运动) |
A clean but forgettable game(一场难以忘记的比赛) | Sports(体育运动) |
It was a close election(这是一场势均力敌的选举) | Not sports(不是体育运动) |
求:”A very close game“ 是体育运动的概率?数学上表示为 P(Sports | a very close game)。根据贝叶斯定理,是运动的概率可以表示为:
P ( S p o r t s ∣ a v e r y c l o s e g a m e ) = P ( a v e r y c l o s e g a m e ∣ s p o r t s ) ∗ P ( s p o r t s ) P ( a v e r y c l o s e g a m e ) P(Sports | a \ very \ close \ game) = \frac{P(a \ very \ close \ game | sports) * P(sports)}{P(a \ very \ close \ game)} P(Sports∣a very close game)=P(a very close game)P(a very close game∣sports)∗P(sports)
不是运动概率可以表示为:
P ( N o t S p o r t s ∣ a v e r y c l o s e g a m e ) = P ( a v e r y c l o s e g a m e ∣ N o t s p o r t s ) ∗ P ( N o t s p o r t s ) P ( a v e r y c l o s e g a m e ) P(Not \ Sports | a \ very \ close \ game) = \frac{P(a \ very \ close \ game | Not \ sports) * P(Not \ sports)}{P(a \ very \ close \ game)} P(Not Sports∣a very close game)=P(a very close game)P(a very close game∣Not sports)∗P(Not sports)
概率更大者即为分类结果。由于分母相同,即比较分子谁更大即可。我们只需统计”A very close game“ 多少次出现在 Sports 类别中,就可以计算出上述两个概率。但是”A very close game“ 并没有出现在数据集中,所以这个概率为 0,要解决这个问题,就假设每个句子的单词出现都与其它单词无关(事件独立即朴素的含义),所以,P(a very close game)可以写成:
P ( a v e r y c l o s e g a m e ) = P ( a ) ∗ P ( v e r y ) ∗ P ( c l o s e ) ∗ P ( g a m e ) P(a \ very \ close \ game) = P(a) * P(very) * P(close) * P(game) P(a very close game)=P(a)∗P(very)∗P(close)∗P(game)
P ( a v e r y c l o s e g a m e ∣ S p o r t s ) = P ( a ∣ S p o r t s ) ∗ P ( v e r y ∣ S p o r t s ) ∗ P ( c l o s e ∣ S p o r t s ) ∗ P ( g a m e ∣ S p o r t s ) P(a \ very \ close \ game|Sports)= \\ P(a|Sports)*P(very|Sports)*P(close|Sports)*P(game|Sports) P(a very close game∣Sports)=P(a∣Sports)∗P(very∣Sports)∗P(close∣Sports)∗P(game∣Sports)
统计出“a", “very”, “close”, "game"出现在"Sports"类别中的概率,就能算出其所属的类别。
具体计算过程如下:
-
第一步:计算总词频:Sports 类别词语总数 11,Not Sports 类别词语总数 9
-
第二步:计算每个类别的先验概率
# Sports和Not Sports概率 P(Sports) = 3 / 5 = 0.6 P(Not Sports) = 2 / 5 = 0.4# Sports条件下各个词语概率 P(a | Sports) = (2 + 1) / (11 + 14) = 0.12 P(very | Sports) = (1 + 1) / (11 + 14) = 0.08 P(close | Sports) = (0 + 1) / (11 + 14) = 0.04 P(game | Sports) = (2 + 1) / (11 + 14) = 0.12# Not Sports条件下各个词语概率 P(a | Not Sports) = (1 + 1) / (9 + 14) = 0.087 P(very | Not Sports) = (0 + 1) / (9 + 14) = 0.043 P(close | Not Sports) = (1 + 1) / (9 + 14) = = 0.087 P(game | Not Sports) = (0 + 1) / (9 + 14) = 0.043
其中,分子部分加 1,是为了避免分子为 0 的情况;分母部分都加了词语总数 14,是为了避免分子增大的情况下计算结果超过 1 的可能。
-
第三步:将先验概率带入贝叶斯定理,计算概率:
-
是体育运动的概率:
P ( a v e r y c l o s e g a m e ∣ S p o r t s ) = P ( a ∣ S p o r t s ) ∗ P ( v e r y ∣ S p o r t s ) ∗ P ( c l o s e ∣ S p o r t s ) ∗ P ( g a m e ∣ S p o r t s ) = 0.12 ∗ 0.08 ∗ 0.04 ∗ 0.12 = 0.00004608 P(a \ very \ close \ game|Sports)= \\ P(a|Sports)*P(very|Sports)*P(close|Sports)*P(game|Sports)= \\ 0.12 * 0.08 * 0.04 * 0.12 = 0.00004608 P(a very close game∣Sports)=P(a∣Sports)∗P(very∣Sports)∗P(close∣Sports)∗P(game∣Sports)=0.12∗0.08∗0.04∗0.12=0.00004608
- 不是体育运动的概率:
P ( a v e r y c l o s e g a m e ∣ N o t S p o r t s ) = P ( a ∣ N o t S p o r t s ) ∗ P ( v e r y ∣ N o t S p o r t s ) ∗ P ( c l o s e ∣ N o t S p o r t s ) ∗ P ( g a m e ∣ N o t S p o r t s ) = 0.087 ∗ 0.043 ∗ 0.087 ∗ 0.043 = 0.000013996 P(a \ very \ close \ game|Not \ Sports)= \\ P(a|Not \ Sports)*P(very|Not \ Sports)*P(close|Not \ Sports)*P(game|Not \ Sports)= \\ 0.087 * 0.043 * 0.087 * 0.043 = 0.000013996 P(a very close game∣Not Sports)=P(a∣Not Sports)∗P(very∣Not Sports)∗P(close∣Not Sports)∗P(game∣Not Sports)=0.087∗0.043∗0.087∗0.043=0.000013996
- 分类结果:P(Sports) = 0.00004608 , P(Not Sports) = 0.000013996, 是体育运动。
-
3.2 实现朴素贝叶斯分类器
在 sklearn 中,提供了三个朴素贝叶斯分类器,分别是:
- GaussianNB(高斯朴素贝叶斯分类器):适合用于样本的值是连续的,数据呈正态分布的情况(比如人的身高、城市家庭收入、一次考试的成绩等等)
- MultinominalNB(多项式朴素贝叶斯分类器):适合用于大部分属性为离散值的数据集
- BernoulliNB(伯努利朴素贝叶斯分类器):适合用于特征值为二元离散值或是稀疏的多元离散值的数据集
该示例中,样本的值为连续值,且呈正态分布,所以采用 GaussianNB 模型。代码如下:
# 朴素贝叶斯分类示例
import numpy as np
import sklearn.naive_bayes as nb
import matplotlib.pyplot as mp# 输入,输出
x, y = [], []# 读取数据文件
with open("../data/multiple1.txt", "r") as f:for line in f.readlines():data = [float(substr) for substr in line.split(",")]x.append(data[:-1]) # 输入样本:取从第一列到倒数第二列y.append(data[-1]) # 输出样本:取最后一列x = np.array(x)
y = np.array(y, dtype=int)# 创建高斯朴素贝叶斯分类器对象
model = nb.GaussianNB()
model.fit(x, y) # 训练# 计算显示范围
left = x[:, 0].min() - 1
right = x[:, 0].max() + 1buttom = x[:, 1].min() - 1
top = x[:, 1].max() + 1grid_x, grid_y = np.meshgrid(np.arange(left, right, 0.01),np.arange(buttom, top, 0.01))mesh_x = np.column_stack((grid_x.ravel(), grid_y.ravel()))
mesh_z = model.predict(mesh_x)
mesh_z = mesh_z.reshape(grid_x.shape)mp.figure('Naive Bayes Classification', facecolor='lightgray')
mp.title('Naive Bayes Classification', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x, grid_y, mesh_z, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y, cmap='brg', s=80)
mp.show()
执行结果:
4. 总结
4.1 什么是朴素贝叶斯
朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。“朴素”的含义为:假设问题的特征变量都是相互独立地作用于决策变量的,即问题的特征之间都是互不相关的。
4.2 朴素贝叶斯分类的特点
4.2.1 优点
- 逻辑性简单
- 算法较为稳定。当数据呈现不同的特点时,朴素贝叶斯的分类性能不会有太大的差异。
- 当样本特征之间的关系相对比较独立时,朴素贝叶斯分类算法会有较好的效果。
4.2.2 缺点
- 特征的独立性在很多情况下是很难满足的,因为样本特征之间往往都存在着相互关联,如果在分类过程中出现这种问题,会导致分类的效果大大降低。
4.3 什么情况下使用朴素贝叶斯
根据先验概率计算后验概率的情况,且样本特征之间独立性较强。