AVL树 -- C++实现

AVL树 – C++实现

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。这个树就是用它们两个的名字AVL命名的。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

**如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度O( $log_2 n$ )。 **

2. AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;//平衡因子 balance factorint _bf;AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv = pair<K,V>()):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

3. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
**调整节点的平衡因子 **

bool insert(const pair<K,V>& kv){// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中// ...// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性/*cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负21. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新3. 如果parent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理*/if (_root == nullptr){Node* newnode = new Node(kv);_root = newnode;return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}//插入cur = new Node(kv);//新节点cur->_parent = parent;if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else if (kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;}while (parent){//修改平衡因子if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}//判断平衡因子if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//之前是0,高度发生变化{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if(parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)//之前是-1 或者 1{//旋转//1.从不平衡变平衡//2.旋转本质也降低了高度，与插入之前高度相同，不对上一层构成影响if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);//左单旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);//右单旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左双旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);//左右双旋}//1.旋转让这棵子树平衡了//2.旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续break;}else{assert(false);}}return true;}

4. AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

代码示例：
void RotateL(Node* parent)//左单旋{Node* subR = parent->_right;Node* subL = subR->_left;parent->_right = subL;subR->_left = parent;Node* parentParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (subL){subL->_parent = parent;}if (_root == parent)//根节点{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}//改平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;}
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

代码示例：
void RotateR(Node* parent)//右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* parentParent = parent->_parent;//根节点可能是空parent->_left = subLR;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if(subLR)subLR->_parent = parent;if (_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}//改平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;}
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

代码示例：
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;//保存一下平衡因子//先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋RotateL(subL);RotateR(parent);if (bf == 0)//插入的是60本身{parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)//在60右子树插入{parent->_bf = subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1)//在60左子树插入{subL->_bf = subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else{assert(false);}}
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

代码示例：
	void RotateRL(Node* parent)//右左双旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (bf == 0){//subRL 自己新增parent->_bf = subRL->_bf = subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){//subRL的左子树新增parent->_bf = subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){//subRL的右子树新增subRL->_bf = subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else{assert(false);}}
总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新

5. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
验证其为平衡树
- 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
- 节点的平衡因子是否计算正确

代码示例：

	int Height()//树的高度{return _Height(_root);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool IsBlance(){return _IsBlance(_root);}bool _IsBlance(Node* root){if (root == nullptr){return true;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}//if (rightHeight - leftHeight <= 1 && rightHeight - leftHeight >= -1)return (abs(rightHeight - leftHeight) <= 1)//求绝对值&&_IsBlance(root->_right)&& _IsBlance(root->_left);}

6. AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

7. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $log_2 (N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。下篇文章我们来讲解红黑树！