【差分数组】【图论】【分类讨论】【整除以2】100213按距离统计房屋对数目

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本文涉及知识点

差分数组图论分类讨论整除以2

LeetCode100213按距离统计房屋对数目

给你三个正整数 n 、x 和 y 。
在城市中，存在编号从 1 到 n 的房屋，由 n 条街道相连。对所有 1 <= i < n ，都存在一条街道连接编号为 i 的房屋与编号为 i + 1 的房屋。另存在一条街道连接编号为 x 的房屋与编号为 y 的房屋。
对于每个 k（1 <= k <= n），你需要找出所有满足要求的房屋对 [house1, house2] ，即从 house1 到 house2 需要经过的最少街道数为 k 。
返回一个下标从 1 开始且长度为 n 的数组 result ，其中 result[k] 表示所有满足要求的房屋对的数量，即从一个房屋到另一个房屋需要经过的最少街道数为 k 。
注意，x 与 y 可以相等。
示例 1：
输入：n = 3, x = 1, y = 3
输出：[6,0,0]
解释：让我们检视每个房屋对

对于房屋对 (1, 2)，可以直接从房屋 1 到房屋 2。
对于房屋对 (2, 1)，可以直接从房屋 2 到房屋 1。
对于房屋对 (1, 3)，可以直接从房屋 1 到房屋 3。
对于房屋对 (3, 1)，可以直接从房屋 3 到房屋 1。
对于房屋对 (2, 3)，可以直接从房屋 2 到房屋 3。
对于房屋对 (3, 2)，可以直接从房屋 3 到房屋 2。
示例 2：
输入：n = 5, x = 2, y = 4
输出：[10,8,2,0,0]
解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下：
对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), 以及 (5, 4)。
对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), 以及 (5, 3)。
对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 5)，以及 (5, 1) 。
对于 k == 4 和 k == 5，不存在满足要求的房屋对。
示例 3：
输入：n = 4, x = 1, y = 1
输出：[6,4,2,0]
解释：对于每个距离 k ，满足要求的房屋对如下：
对于 k == 1，满足要求的房屋对有 (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), 以及 (4, 3)。
对于 k == 2，满足要求的房屋对有 (1, 3), (3, 1), (2, 4), 以及 (4, 2)。
对于 k == 3，满足要求的房屋对有 (1, 4), 以及 (4, 1)。
对于 k == 4，不存在满足要求的房屋对。

分类讨论

x,y从1开始，x–,y–让其从0开始。如果x> y，交换x和y。
如果xy，直接处理：{(n-1)*2,(n-2)2…}
题目要计算的是：除了起点和终点外，经过的房屋数。
起点i和终点j相同，不统计。
起点和终点互换，需要统计。可以只统计起点<终点，最后将结果2。
整个路径可以四个节点i,x,y,j表示。
一，各节点最多出现1次，否则有环，将环删除。
二，i,j 必定出现1次，x和y要么都出现1次，要么不出现。
三，第一个节点必定是i,最后一个节点必定是j。
理论上有六种可能，实际上只有五种：
一，i $\rightarrow$ j。
二，i $\rightarrow$ x $\rightarrow$ y $\rightarrow$ j。
三，i $\rightarrow$ y $\rightarrow$ x $\rightarrow$ j。这中可能不存在：
$\begin{cases} 到y之前已经到达终点, & j <= y \\ y \rightarrow x \rightarrow y这段路程是多走的 & j > y \\ \end{cases}$
四, x == i,y == i 结果是0。 x $\rightarrow$ y
五，xi,y不等于j。 x $\rightarrow$ y $\rightarrow$ j
六，x!=i,y等于j。 i $\rightarrow$ x $\rightarrow$ y

第一种可能经过的房屋数（不包括起点终点）：j-i-1
第二种情况，x==y，无需做特殊处理，会被淘汰。x < y时。
abs(x-i)+ abs(j-y) $\rightarrow$ abs(x-i)+abx(j-y)
$\begin{cases} i-x + j- y & i > x ,j>y &一\\ i-x & i > x, j == y &二\\ i-x +y-j & x > i ,j < y &三\\ x-i + j- y & i < x,j > y &四\\ x-i & i < x,j == y & 五\\ x-i+y-j & i < x,j < y& 六\\ j - y & i == x ,j > y &七 \\ 0 & i== x ,j == y & 八\\ y - j & i==x,j < y & 九 \\ \end{cases}$

一，二，七，八可以合并，合并后 i >=x j >= y 。四五可以合并，i < x ,j >=y 三九也可以合并。合并i >=x ,j<y
$\begin{cases} i-x + j- y & i >= x ,j>=y &一\\ i-x +y-j & x >= i ,j < y &三\\ x-i + j- y & i < x, j >= y &四\\ x-i+y-j & i < x,j < y& 六\\ \end{cases}$

我们枚举i，计算j，故x,y,i可以看做常数，可以求出相等的临界值的j。
情况二一：
i-x + j- y <= j - i -1 $\rightarrow$ 2i -x - y <= -1 $\rightarrow$ 2i <= x+y-1 $\rightarrow$
$\begin{cases} i \rightarrow x \rightarrow y \rightarrow j & 2*i <= x+y-1\\ i \rightarrow j & else \end{cases}$
和j无关

情况二三：
i-x +y-j <= j - i -1 $\rightarrow$ 2*(i-j) -x + y <= -1 $\rightarrow$ -2j <= x - y - 2i -1注意除以-1，大于会变小于。 $\rightarrow$ 2j >= y-x+2i+1 $\rightarrow$ j >= (y-x)/2 + i +1
$\begin{cases} i \rightarrow x \rightarrow y \rightarrow j & j >= (y-x)/2 + i +1 \\ i \rightarrow j & else \end{cases}$
情况二四：
要想通过x,y 必须 x-i + j- y <= j - i -1 $\rightarrow$ x-y <= -1 $\rightarrow$ x <y，恒成立。

情况二六：
要想通过x,y，必须 x-i+y-j <= j - i -1 $\rightarrow$ x+y-2j <= -1 $\rightarrow$ -2j <= -x-y-1 注意除以-1，大于会变小于。 $\rightarrow$ 2j >= x+y+1 $\rightarrow$ j>=(x+y+1+1)/2
$\begin{cases} i \rightarrow x \rightarrow y \rightarrow & j>=(x+y+1+1)/2 \\ i \rightarrow j & else \end{cases}$

y >= 0 整除2的逆运算

2x >= y ，如果y是偶数等效与 x >= y/2 。如果y是奇数，等效与 x >= (y+1)/2 。两者可以统一为: x >=(y+1)/2 。
2x > y 如果y是偶数等效与 x > y/2 。如果y是奇数，等效与 x > y/2。两者统一为x > y/2。
2x <= y 可以统一为 x <=y/2。
2x < y 可以统一为：x < ( y+1)/2

代码

核心代码

class Solution {
public:vector<long long> countOfPairs(int n, int x, int y) {		vector<long long> vRet(n);if (x == y){vRet.clear();for (int i = n - 1; i >= 0; i--){vRet.emplace_back(i * 2);}return vRet;}if (x > y ){swap(x, y);}x--;y--;int i = 0;
#define Path1(j) (j - i -1 )auto Path2 = [&i,&x,&y]( const int j){return abs(i - x) + abs(j - y);};vector<long long> vDiff(n);auto Add = [&](int left, int len){if (len <= 0){return;}vDiff[left] += 2 ;vDiff[left+len] -= 2 ;};for (; i < x; i++){//j 在[y,n)const int iy = max(i + 1, y);if (n - iy > 0){Add(Path2(iy), n - iy);}	//j在(i,y)if( y - i -1 > 0 ){//i->x->y-j [j0,y)const int j0 = (x + y + 2) / 2;	Add(Path2(y-1), y - j0);//(i,j0)Add(0, j0 - i - 1);}}for (; i < n; i++){//j在(max(y-1,i),n)if (2*i <= x + y-1){//i->x->y-jAdd(Path2(max(y-1, i) +1), n - max(y-1, i) -1);}else{Add(Path1(max(y-1, i) +1), n - max(y-1, i) -1);}//j在(i,y)if (y - i - 1 > 0){int j0 = min(y,(2 * i + y - x + 2) / 2);j0 = max(j0, i + 1);//if (y - j0 >= 0){//j在[j0,y) i->x->y-j Add(Path2(y - 1), y - j0);//j在(i,j0)Add(0, j0 - i - 1);}}}long long cur=0;for (int i = 0; i < n; i++){cur += vDiff[i];vRet[i] = cur;}return vRet;}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{	int n,  x,  y;{Solution sln;n = 6, x = 1, y = 5;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{ 12, 14, 4, 0, 0, 0 });}{Solution sln;n = 3, x = 2, y = 2;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{4, 2, 0});}{Solution sln;n = 4, x = 1, y = 1;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{6, 4, 2, 0});}{Solution sln;n = 5, x = 2, y = 4;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{10, 8, 2, 0, 0});}{Solution sln;n = 3, x = 1, y = 3;		auto res = sln.countOfPairs(n,x,y);Assert(res, vector<long long>{6, 0, 0});}		{Solution sln;n = 2, x = 2, y = 2;auto res = sln.countOfPairs(n, x, y);Assert(res, vector<long long>{2, 0});}}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛