1.堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。
  

1.下列关键字序列为堆的是：（）
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次
数是（）。
A 1
B 2
C 3
D 4
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为
A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是（）
A[3，2，5，7，4，6，8]
B[2，3，5，7，4，6，8]
C[2，3，4，5，7，8，6]
D[2，3，4，5，6，7，8]选择题答案
1.A
2.C
3.C
4.C

2.堆的实现

2.1堆的向下调整算法

如果想pop堆顶的数据该怎么办呢？
是不是第一想法就是：嗯，这个简单，直接pop掉堆顶的数据就好了，但是，我们并没有考虑到，当直接pop掉堆顶的数据后，重新调整会破坏堆的结构，很麻烦

所以说，这个方法并不是最优解，这里直接告诉方法：将堆顶的数据和最后一个叶子节点的数据交换，然后将其pop掉，再从被换到堆顶的数据向上调整

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

以27为根的左右子树，都满足小堆的性质，只有根节点不满足，因此只需要将根节点往下调整到合适的位置即可形成堆

代码实现如下：

//用于pop堆顶，将堆顶的数据与堆尾交换，然后pop堆尾，再调整堆
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{assert(a);int child = 2 * parent + 1;while (child<n){if (a[child] < a[child + 1]){child++;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}

使用堆的向下调整算法，最坏的情况下（即一直需要交换结点），需要循环的次数为：h - 1次（h为树的高度）。而$h=lo{g}_2(N+1)$（N为树的总结点数）。所以堆的向下调整算法的时间复杂度为：O(logN) 。

这里引出一个问题，使用堆的向下调整算法需要满足其根结点的左右子树均为大堆或是小堆才行，那么如何才能将一个任意树调整为堆？

2.2 堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算
法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的
子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
int a[] = {1,5,3,8,7,6};

从最后一个非叶子节点开始（看作一个根），从后往前，按下标，依次作为根去向下调整即可

void HeapCreate(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php);php->a = (HPDataType*)malloc(php->a, sizeof(HPDataType) * n);if (php->a == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);php->size = php->capacity = n;// 建堆算法for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}}

2.3建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

总结：
 堆的向下调整算法的时间复杂度：$T(n)=O(logN)$
 建堆的时间复杂度：$T(n)=O(N)$

2.4堆向上调整算法

当我们在一个堆的末尾插入一个数据后，需要对堆进行调整，使其仍然是一个堆，这时需要用到堆的向上调整算法。

向上调整算法的基本思想（以建小堆为例）：
 1.将目标结点与其父结点比较。
 2.若目标结点的值比其父结点的值小，则交换目标结点与其父结点的位置，并将原目标结点的父结点当作新的目标结点继续进行向上调整。若目标结点的值比其父结点的值大，则停止向上调整，此时该树已经是小堆了。
代码实现如下：

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
//插入小堆的数向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)  不好while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

2.5堆的代码实现

堆的初始化

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;

void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的销毁

void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

堆的打印（物理结构）

void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

堆的数据插入

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);// 扩容if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

堆的数据删除

void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

堆顶数据获取

HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);return php->a[0];
}

堆的判空

bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

获取堆的数据个数

int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}