树--二叉树(C语言纯手凹)

1.什么是树？（不深入，仅做了解）

2.树的表示方式

2.1孩子兄弟表示法（左孩子右兄弟）

2.2孩子表示法

2.3双亲表示法

3.什么是二叉树

4.二叉树分类

4.1满二叉树

4.2完全二叉树

4.3二叉搜索树（二叉查找树、二叉排序树）

4.4平衡二叉搜索树（AVL树）

5.二叉树的存储结构

6.二叉树性质

6.1若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点

6.2 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数（满二叉）是2^h- 1（等比数列求和）

6.3对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2 ＋1

（公式记住就好）

6.4 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = Log 2 （N + 1）（由2取对数可推）

7.二叉树性质相关选择题

7.1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）

7.2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）

7.3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B ）

8.二叉树链式结构的遍历

8.1深度优先遍历

8.2广度优先遍历

9.实现

9.1前序遍历的实现

9.2中序遍历的实现

9.3后序遍历的实现

9.4前中后序遍历有关的选择题

9.5层序遍历（广度优先遍历）的实现

10.有关二叉树的OJ题目

10.1 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）

10.2 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）

10.3 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）

10.4 104. 二叉树的最大深度 - 力扣（LeetCode）

10.5110. 平衡二叉树 - 力扣（LeetCode）

10.6清华大学OJ-二叉树遍历

1.什么是树？（不深入，仅做了解）

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点，除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。

A为根节点，#为NULL，D、E为叶节点。

判断下面的是不是树？

注意这个是非树，需要知道树的性质：

1.每个节点（除根节点外）有且只有一个父节点

2.子树之间不相连

3.一颗n节点的树有n-1条边

4.0节点为空树

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B 的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；（也有根为第0层的说法）

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林。

2.树的表示方式

2.1孩子兄弟表示法（左孩子右兄弟）

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子节点struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟节点DataType _data;               // 节点数据域
};

2.2孩子表示法

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _Child1;    // 第1个孩子节点struct Node* _Child2;    // 第2个孩子节点struct Node* _Child3;    // 第3个孩子节点struct Node* _Child4;    // 第4个孩子节点//...(可能有很多个孩子节点)
};

有很多孩子节点就不适用了，一般用于二叉树。

2.3双亲表示法

typedef int DataType;
#define MAXX 100
//树的节点
typedef struct ParentTreeNode
{DataType data;int parent;
}PTNode;
//树的定义
typedef struct ParentTree
{PTNode arr[MAXX];//数组结构int num;//节点数
}PTree;

3.什么是二叉树

二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

4.二叉树分类

4.1满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值（2个），则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1（计算等会讲），则它就是满二叉树。

4.2完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。除了底层节点可能没填满，其他层每个节点的度都为二叉树最大（2个），并且底层的节点都集中在底层靠左边若干位置（不靠左就不是），若底层为第h层，则最后一层可能有1~2^（h-1）个节点。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

4.3二叉搜索树（二叉查找树、二叉排序树）

二叉搜索树是有数值的，是一个有序树，每个节点满足下列规则：

1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值；（别理解错了，好好理解一下）

2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值；

3.它的左右子树都为二叉搜索树；

总结：左小右大。

4.4平衡二叉搜索树（AVL树）

平衡二叉树又名为AVL树，它可以是空树，或者它的左右两个子树的高度（深度）差的绝对值（abs函数）不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。

5.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序存储（数组），一种链式存储（指针）

一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，所以一般使用链式存储的方式。

链式存储：

顺序存储（按照树的层次遍历顺序来存储节点）（一般用于堆排序）：

leftchild = parent*2 + 1;

rightchild = parent*2 + 2;

parent = (child-1) / 2 (忽略小数点).

6.二叉树性质

6.1若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点

6.2 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数（满二叉）是2^h- 1（等比数列求和）

6.3对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2 ＋1

（公式记住就好）

6.4 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = Log 2 （N + 1）（由2取对数可推）

7.二叉树性质相关选择题

7.1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）

A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199

解析：性质6.3秒了

7.2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）

A n B n+1 C n-1 D n/2

解析：

7.3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B ）

A 11 B 10 C 8 D 12

解析：由题意知道是完全二叉树，估算一下2^9 - 1== 512(满二叉树9层节点数)，那么531就要排到10层了，所以B。

8.二叉树链式结构的遍历

二叉树主要有两种遍历方式：深度优先遍历，广度优先遍历。

8.1深度优先遍历

先往深度遍历，遇到子节点时再往回遍历，深度优先遍历又分为前序遍历（NLR）、中序遍历（LNR）、后序遍历（LRN），N-根，L-根的左子树，R-根的右子树，根节点是必定访问的，所以顺序是根据根节点的访问顺序命名的。

8.2广度优先遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

9.实现

9.1前序遍历的实现

#include<stdio.h>typedef int DataType;
//树节点
typedef struct TreeNode
{DataType data;//数据域struct TreeNode* left;//左子树struct TreeNode* right;//右子树
}TN;//构建树
void CreatTree(TN* tree, TN* lefttree, TN* righttree,DataType x)
{tree->data = x;tree->left = lefttree;//连接左树tree->right = righttree;//连接右树
}//前序遍历//递归实现
void PrefaceTraversal(TN* tree)
{if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点{printf("NULL ");return;}printf("%d ", tree->data);//访问根节点PrefaceTraversal(tree->left);//访问左子树PrefaceTraversal(tree->right);//访问右子树
}int main()
{//搭建一颗树TN tree1,tree2,tree3,tree4,tree5,tree6,tree7;CreatTree(&tree1, &tree2, &tree3, 1);CreatTree(&tree2, &tree4, &tree5, 2);CreatTree(&tree3, &tree6, &tree7, 3);CreatTree(&tree4, NULL, NULL, 4);CreatTree(&tree5, NULL, NULL, 5);CreatTree(&tree6, NULL, NULL, 6);CreatTree(&tree7, NULL, NULL, 7);PrefaceTraversal(&tree1);//访问return 0;
}

9.2中序遍历的实现

//中序遍历//递归实现
void MidTraversal(TN* tree)
{if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点{printf("NULL ");return;}MidTraversal(tree->left);//访问左子树printf("%d ", tree->data);//访问根节点MidTraversal(tree->right);//访问右子树
}

9.3后序遍历的实现

//后序遍历//递归实现
void PosTraversal(TN* tree)
{if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点{printf("NULL ");return;}PosTraversal(tree->left);//访问左子树PosTraversal(tree->right);//访问右子树printf("%d ", tree->data);//访问根节点
}

9.4前中后序遍历有关的选择题

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ A）

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

解析：画图易得；

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为（A）

A E

B F

C G

D H

解析：先序（前序）的一个访问的就是根节点。

3. 设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为（D）

A adbce

B decab

C debac

D abcde

解析：前序和后序可以确定根节点（包括子树的根节点），中序可以根据前面分开的根节点确定左子树和右子树。

9.5层序遍历（广度优先遍历）的实现

实现原理：使用队列，先进先出；

核心思想：上一层带下一层；

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef int DataType;
typedef struct TreeNode* QDataType;
//树节点
typedef struct TreeNode
{DataType data;//数据域struct TreeNode* left;//左子树struct TreeNode* right;//右子树
}TN;//构建树
void CreatTree(TN* tree, TN* lefttree, TN* righttree, DataType x)
{tree->data = x;tree->left = lefttree;//连接左树tree->right = righttree;//连接右树
}//队列节点
typedef struct QueueNode
{//指向下一个struct QueueNode* next;//数据域QDataType data;//这里数据是树的结构体指针
}QN;//队列
typedef struct Queue
{//记录头节点QN* head;//记录尾节点QN* tail;
}Queue;//初始化队列
void QueueInit(Queue* q)
{assert(q);q->head = q->tail = NULL;
}//入队列--尾插
void QueuePush(Queue* q, QDataType tree)
{assert(q);QN* newnode = (QN*)malloc(sizeof(QN));if (newnode == NULL)//开辟失败{perror("malloc fail");exit(-1);}//队列为空if (q->head == NULL){q->head = q->tail = newnode;newnode->data = tree;newnode->next = NULL;}//队列不为空else{q->tail->next = newnode;newnode->data = tree;newnode->next = NULL;q->tail = newnode;}
}//出队列--头删
void QueuePop(Queue* q)
{assert(q);//队列为空不能删assert(q->head);//只有一个节点的情况if (q->head->next == NULL){free(q->head);q->head = q->tail = NULL;return;}//队列多个节点QN* temp = q->head->next;free(q->head);q->head = temp;
}//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(Queue* q)
{assert(q);//空为真return q->head == NULL;
}//访问队头
QDataType QueueFront(Queue* q)
{assert(q);//空不能访问assert(q->head);return q->head->data;
}//销毁
void QueueDestroy(Queue* q)
{assert(q);QN* pcur = q->head;//循环遍历while (pcur){QN* temp = pcur->next;free(pcur);pcur = temp;}//置空q->head = q->tail = NULL;
}//层序遍历
void LevelTraversal(TN* tree)
{Queue q;QueueInit(&q);if (tree){QueuePush(&q, tree);}while (!QueueEmpty(&q)){TN* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ", front->data);if (front->left){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestroy(&q);
}int main()
{//搭建一颗树TN tree1, tree2, tree3, tree4, tree5, tree6, tree7;CreatTree(&tree1, &tree2, &tree3, 1);CreatTree(&tree2, &tree4, &tree5, 2);CreatTree(&tree3, &tree6, &tree7, 3);CreatTree(&tree4, NULL, NULL, 4);CreatTree(&tree5, NULL, NULL, 5);CreatTree(&tree6, NULL, NULL, 6);CreatTree(&tree7, NULL, NULL, 7);LevelTraversal(&tree1);//访问return 0;
}