Taylor龙哥库塔。各种稳定性

——Taylor

龙额库塔

需要利用：

1.k1=f

2.b21=a1

3.k1fu=ffu

| | 稳定区域 |

| | |

| | BDFq 方法是 A(φq)-稳定的，其中 φ1 = φ2 = 90◦, φ3 ≈86.03◦, φ4 ≈73.35◦, φ5 ≈51.84◦, 和 φ6 ≈17.84◦; 参见 2 3. |

| | WSBDFq 方法是 A( ˜ φq)-稳定的，其中 ˜ φ1 = ˜ φ2 = 90◦, ˜ φ3 ≈89.55◦, ˜ φ4 ≈85.32◦, ˜ φ5 ≈73.2◦, ˜ φ6 ≈51.23◦, 和 ˜ φ7 ≈18.32◦ 在 4 中。 |

| | 我们数值计算了权重 ϑ = 100 的近似值 ˜ φ1 = ˜ φ2 = 90◦, ˜ φ3 ≈89.99◦, ˜ φ4 ≈85.93◦, ˜ φ5 ≈73.2◦, ˜ φ6 ≈51.63◦, 和 ˜ φ7 ≈17.47◦ 对于 ˜ φq ˜ φq →φq−1. 对于 q = 3, . . . , 7. |

| | 我们可以很容易地检查 ˜ Iq(x) ˜ Rq(x) = Iq−1(x) ˜ Rq(x) = Iq−1(x) lim ϑ→∞ lim ϑ→∞ Rq−1(x), 推断出 q →φq−1, q = 3, . . . , 7. |

| | 2李寿佛, 刚性常微分方程及刚性泛函微分方程数值分析, 湘潭大学出版社, 2010. |

| | 3E. Hairer and G. Wanner, Solving ordinary differential equations II: stiff and differential-algebraic problems, Springer–Verlag, Berlin, second rev. edition, 2010. |

| | 4李庆扬, 谢敬东, 解刚性常微分方程的一种线性多步法, 清华大学学报,1991. |

| | 2024 年微分方程数值方法及其应用青年学术 |

对照

Nørsett 为 BDF_q_ 方法建立了 A(φ_q) 稳定性准则：
tan(φ_q_) = min_x∈D_q_ (-√(1-x²)·I_q_(x)/R_q_(x))，D_q_ = {x ∈ [-1,1]，R_q_(x) < 0}。
这里 I_q_(x) 和 R_q_(x) 是该方法根轨迹曲线上的点的虚部和实部；[根轨迹方法 q(e^(iθ)) = ρ(e^(iθ))/σ(e^(iθ))，在文献 6 中]。
tan(φ̃_q_) = min_x∈D̃_q_ (-√(1-x²)·lim_θ→∞ Ĩ_q_(x)/R̃_q_(x))，D̃_q_ = {x ∈ [-1,1]，R̃_q_(x) < 0}
对于 WSBDF_q_ 方法的稳定角度 φ̃_q_。我们可以容易地验证
lim_θ→∞ Ĩ_q_(x)/R̃_q_(x) = I_q_-1(x)/R_q_-1(x)，推断出 φ̃_q_ → φ_q_-1，q=3,...,7。
文献 5: S.P. Nørsett, A criterion for A(α)-stability of linear multistep methods, BIT 9 (1969) 259–263.
文献 6: 黄云清、舒适、陈艳萍、金继承、文立平，《数值计算方法》，科学出版社，2009。

在这张图片中，“A(φ)-stable”是指一种数值方法的稳定性特性。具体来说，它涉及到数值方法在不同角度下的稳定性区域。

A(φ)-稳定的解释

“A(φ)-stable”中的“φ”代表一个角度，这个角度决定了数值方法的稳定性区域。对于一个数值方法来说，如果在某个角度“φ”下它是稳定的，那么我们就说它是“A(φ)-stable”。

BDFq 方法

BDFq 方法是一类向后差分公式（Backward Differentiation Formula）的方法，用于求解 stiff（刚性）常微分方程。根据图片中的信息，BDFq 方法是“A(φ_q)-stable”，其中“φ_q”表示与 q 相关的角度。具体的稳定性角度如下：

�1=�2=90∘φ1=φ2=90∘
�3≈86.03∘φ3≈86.03∘
�4≈73.35∘φ4≈73.35∘
�5≈51.84∘φ5≈51.84∘
�6≈17.84∘φ6≈17.84∘

这些角度表明了不同阶数的 BDFq 方法的稳定性区域。

WSBDfq 方法

WSBDfq 方法是一种加权向后差分公式的方法。根据图片中的信息，WSBDfq 方法也是“A(\tilde{\varphi}_q)-stable”，其中“\tilde{\varphi}_q”表示与 q 相关的角度。具体的稳定性角度如下：

�~1=�~2=90∘φ~1=φ~2=90∘
�~3≈89.55∘φ~3≈89.55∘
�~4≈85.32∘φ~4≈85.32∘
�~5≈73.2∘φ~5≈73.2∘
�~6≈51.23∘φ~6≈51.23∘
�~7≈18.32∘φ~7≈18.32∘

这些角度同样表明了不同阶数的 WSBDfq 方法的稳定性区域。

总结

“A(φ)-stable”是用来描述数值方法在不同角度下的稳定性特性的术语。通过了解这些角度，我们可以知道在什么条件下这些数值方法是稳定的，这对于选择合适的数值方法来解决实际问题非常重要。

用户_uBiEPA

对于一个数值方法来说，如果在某个角度“φ”下它是稳定的，那么我们就说它是“A(φ)-stable”。

详细解释，我不懂

ChatGLM

当然可以。让我们详细解释一下“A(φ)-stable”这个概念。

在数值分析中，当我们求解常微分方程或者偏微分方程时，会使用各种数值方法。这些方法在数学上需要满足一定的条件，以确保它们能够产生合理的、可靠的近似解。稳定性是这些条件中的一个非常重要的性质。

稳定性的重要性

稳定性指的是当我们在数值计算过程中引入小的误差时，这些误差不会随着计算步骤的增加而无限放大。如果数值方法是不稳定的，即使初始条件非常精确，计算的结果也可能很快变得毫无意义。

A(φ)-stable的定义

“A(φ)-stable”是针对线性多步方法（尤其是常用于求解刚性问题的方法）的一个稳定性概念。这里的“φ”是一个特定的角度，它与方法的稳定性区域有关。以下是详细解释：

稳定性区域：数值方法的稳定性通常通过它的稳定性区域来描述，这是一个在复平面上的区域。如果一个方法的稳定性区域包含了复平面上所有的点，那么这个方法被称为无条件稳定的。
A(φ)-stable：对于一个数值方法，如果它在复平面上所有满足“arg(z) ≤ φ”的复数z上都是稳定的，那么我们称这个方法为“A(φ)-stable”。这里的“arg(z)”表示复数z的幅角。
角度φ的意义：角度φ定义了稳定性区域的边界。对于A(φ)-stable方法，任何在复平面上的点，如果它的幅角小于或等于φ，那么这个点就在稳定性区域内。如果幅角大于φ，那么这个点可能不在稳定性区域内。

例子

以向后差分公式（BDF）方法为例，BDF方法是一类特别适用于求解刚性问题的数值方法。BDF方法的稳定性区域通常是一个圆盘，圆盘的边界与实轴形成的角度就是φ。如果这个圆盘包含了复平面上所有幅角小于或等于φ的复数，那么这个BDF方法就是A(φ)-stable的。

结论

总结来说，“A(φ)-stable”是描述数值方法在复平面上一个特定角度内的稳定性。这个角度φ定义了方法能够稳定计算的复数范围。对于解决实际问题，选择一个A(φ)-stable的方法意味着在一定的条件下，数值解不会因为计算过程中的小误差而发散。

用户_uBiEPA

**A(φ)-stable**：对于一个数值方法，如果它在复平面上所有满足“arg(z) ≤ φ”的复数z上都是稳定的，那么我们称这个方法为“A(φ)-stable”。这里的“arg(z)”表示复数z的幅角。

对应的g stable 为何物

ChatGLM

根据用户引用的对话内容，我们可以推断出G-stable（有时也写作G-稳定）的概念是与A(φ)-stable类似的稳定性概念，但是它们关注的稳定性区域不同。

G-stable的定义如下：

对于一个数值方法，如果它在复平面上所有满足“|Re(z)| ≤ γ”的复数z上都是稳定的，那么我们称这个方法为“G-稳定”。这里的“Re(z)”表示复数z的实部，而γ是一个非负实数。

简单来说，G-stable方法关注的是复平面上沿实轴的一个带状区域，而不是像A(φ)-stable那样关注的是复平面上的一个角度。G-stable方法要求在实轴两侧的带状区域内（包括实轴本身）数值方法保持稳定性。

这个稳定性概念对于求解某些类型的微分方程特别重要，尤其是那些实系数的微分方程，因为这类方程的解通常在复平面的实轴附近。如果一个数值方法是G-stable的，那么它在处理这类问题时更有可能保持数值解的稳定性。

总结来说，G-stable是数值方法稳定性的一种度量，它要求方法在复平面上沿实轴的一个带状区域内保持稳定性。这与A(φ)-stable的定义形成了对比，后者关注的是复平面上的一个角度。

用户_uBiEPA

给出a stable与g stable的详细定义

ChatGLM

当然，以下是A-stable和G-stable的详细定义：

A-stable (A-稳定)

A-stable是数值方法稳定性的一种分类，主要用于分析求解常微分方程初值问题的数值方法。一个数值方法被称为A-stable，如果它满足以下条件：

对于所有的步长 ℎh 和所有的 �λ 满足 Re(�)≤0Re(λ)≤0，数值方法产生的数值解是稳定的。这里的 �λ 是微分方程的特征值。

更正式地说，对于一个递推公式 ��+1=Φ(ℎ�)��yn+1=Φ(hλ)yn，如果对于所有的 �λ 满足 Re(�)≤0Re(λ)≤0，都有 ∣Φ(ℎ�)∣≤1∣Φ(hλ)∣≤1，那么这个方法就是A-stable的。

A-stable方法的一个关键特性是它们在处理包含负实部特征值的系统时不会产生数值解的发散。这意味着A-stable方法适用于求解具有稳定或不稳定特性的微分方程。

G-stable (G-稳定)

G-stable是另一种数值方法稳定性的分类，它与A-stable不同，因为它考虑的是数值方法在实轴上的稳定性。一个数值方法被称为G-stable，如果它满足以下条件：

对于所有的步长 ℎh 和所有的 �λ 满足 ∣Im(�)∣≤�∣Re(�)∣∣Im(λ)∣≤α∣Re(λ)∣，其中 �α 是一个非负实数，数值方法产生的数值解是稳定的。

换句话说，G-stable方法要求在复平面上，所有位于从实轴出发的带状区域内的 �λ 都不会导致数值解的发散。这个带状区域由实轴和两条斜率为 ±�±α 的线界定。

G-stable方法特别适用于那些特征值主要位于实轴或实轴附近的微分方程。这类方法在处理实际问题时往往能够保持数值解的稳定性，尤其是在处理所谓的“刚性”问题时。

总结来说，A-stable和G-stable都是数值方法稳定性的重要概念，但它们关注的稳定性区域不同。A-stable关注的是复平面上所有具有非正实部的特征值，而G-stable关注的是复平面上沿实轴的一个带状区域。

用户_uBiEPA

gear和bdf的关系？二者是否一样

ChatGLM

Gear方法和BDF（Backward Differentiation Formula）方法是两种不同的数值方法，用于求解常微分方程初值问题。它们之间存在一定的关系，但并不完全相同。以下是它们之间的关系和差异：

关系：

类型：Gear方法和BDF方法都属于隐式线性多步法（implicit linear multistep methods）。这意味着它们在计算下一个时间步的解时，需要同时解决一个非线性方程组。
稳定性：BDF方法和Gear方法都以其良好的稳定性特性而闻名，尤其是在处理刚性方程时。BDF方法特别是A-stable的，而Gear方法通常也是A-stable的。
应用：两者都广泛应用于求解刚性常微分方程系统。

差异：

公式：BDF方法是基于向后差分公式的，而Gear方法是一种特殊的配置方法，它通过配置多项式来设计数值解的递推关系。
阶数：BDF方法通常有固定的阶数，如BDF1、BDF2、BDF3等，每个BDF方法的阶数和步数是固定的。Gear方法则可以设计成不同的阶数，而且Gear方法的阶数和步数不是固定的。
实现：在实现上，BDF方法通常需要解一个非线性方程组来得到下一个时间步的解，而Gear方法可能需要解一个不同的非线性方程组，具体取决于其配置。
历史：BDF方法在数学文献中有明确的定义和理论，而Gear方法可能更多地与特定的数值分析软件包（如Gear包）相关联，这些软件包可能对传统的BDF方法进行了修改或扩展。
应用范围：虽然两者都用于求解刚性方程，但BDF方法在某些科学计算软件中更为常见，如MATLAB的ode15s求解器就是基于BDF方法的。Gear方法可能在特定的工业应用中更为流行。

总的来说，Gear方法和BDF方法在概念上是相似的，因为它们都是隐式多步法，但它们在具体的公式、实现和应用上有所不同。在选择数值方法时，了解这些差异对于解决特定的问题是非常重要的。

用户_uBiEPA

详细描述每节内容

解刚性常微分方程的一种线性多步法_李庆扬

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ChatGLM

引用

1. 引言

介绍了解常微分方程初值问题的背景和重要性。P1
指出刚性常微分方程的数值求解需要特殊的方法，例如线性多步法。P1
简要介绍了现有的线性多步法，例如二阶Adams-Moulton方法、三阶隐式Runge-Kutta方法（简称MRK方法）以及徐洪义等提出的一种具有A(0)稳定性的二阶线性多步法（简称R方法）。P1
提出了本文研究的改进R方法，该方法比同阶的MRK方法和R方法具有更大的绝对稳定域。P1

2. 改进R方法的定义和性质