三维空间物体表面点位与其在图像中对应点之间的相互关系，必须建立相机成像的几何模型，这些几何模型参数就是相机参数，而相机参数的求解就是相机标定。

相机的参数矩阵包括内参和外参：
外参：决定现实坐标到摄像机坐标。摄像机的旋转平移属于外参，用于描述相机在静态场景下相机的运动，或者在相机固定时，运动物体的刚性运动。因此，在图像拼接或者三维重建中，就需要使用外参来求几幅图像之间的相对运动，从而将其转换到同一个坐标系下面。
内参：决定摄像机坐标到图像坐标。
畸变矩阵：镜头的映射无法做到直线射影变换，存在的误差需要畸变参数来描述。为易于理解，以下公式假设完美状态下，不存在该项。

• 内参数矩阵 ( K )：
  $$K=\left(\begin{array}{ccc}{f}_x& s& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
  其中：

  • $f_x,f_y$：相机在 $x$ 和 $y$ 方向的焦距（单位：像素）。
  • $c_x,c_y$：相机的主点（光轴与图像平面交点在图像中的位置）。
  • $s$：坐标轴倾斜参数，理想情况为0。

• 外参数矩阵 ( [R | T] )：
  $$[R|T]=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\end{array}\right)$$
  其中：

  • $R$ 为旋转矩阵，描述相机坐标系相对于世界坐标系的旋转。
  • $T=(t_x,t_y,t_z)$ 为平移向量，描述相机坐标系原点相对于世界坐标系原点的平移。

公式推导：

为了通过相机模型测距，我们可以通过 图像坐标与世界坐标的转换 来推导出目标物体的深度（Z轴）：

1. 假设目标物体的世界坐标为 $P_{world}=(X,Y,Z{)}^T$，并且它在图像平面上的投影点为 $p_{image}=(u,v)$。

2. 相机的成像过程可以表示为：
   $$\lambda \left(\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right)=K[R|T]\left(\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right)$$
   其中，$\lambda$是比例因子（与深度 Z相关）。
   方程中，每个图像点$(u,v)$对应一条三维射线，需额外信息确定具体深度。

3. 通过矩阵乘法，得到：
   $$\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{Z}\left(\begin{array}{ccc}{f}_x& s& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}& t_x\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}& t_y\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}& t_z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\\ 1\end{array}\right)$$

4. 通过图像坐标 $(u,v)$和世界坐标的关系，我们可以推导出物体的 深度 ( Z )：
   $$Z=\frac{f_x\cdot \left(X\cdot r_{13}+Y\cdot r_{23}+Z\cdot r_{33}+t_z\right)}{X\cdot r_{11}+Y\cdot r_{21}+Z\cdot r_{31}+t_x}$$
   

参数定义：

• $Z$：目标物体的实际距离（即深度或相机到物体的距离）。
• $f_x,f_y$：相机的焦距（在像素单位下）。
• $c_x,c_y$：图像平面的主点位置（通常是图像的中心）。
• $(u,v)$：物体在图像中的像素坐标。
• $(X,Y,Z)$：目标物体在世界坐标系中的三维坐标。
• $R$：相机的旋转矩阵，描述相机坐标系相对于世界坐标系的旋转。
• $T=(t_x,t_y,t_z)$：相机的平移向量，描述相机坐标系与世界坐标系之间的平移。

求解方式：

1. 已知平面约束（如地面）
   假设目标点位于 ( Z = 0 ) 平面，代入投影方程后，方程简化为：
   $$\{\begin{array}{l}u=\frac{f_x(r_{11}X+r_{12}Y+t_x)+c_x(r_{31}X+r_{32}Y+t_z)}{r_{31}X+r_{32}Y+t_z}\\ v=\frac{f_y(r_{21}X+r_{22}Y+t_y)+c_y(r_{31}X+r_{32}Y+t_z)}{r_{31}X+r_{32}Y+t_z}\end{array}$$
   解法：通过线性代数解方程组，直接求出 X, Y。
   应用场景：自动驾驶（地面目标定位）、AR（平面跟踪）。

2. 多视角观测（立体视觉）
   原理：两个及以上相机（已知相对位姿）观测同一目标，通过三角化计算唯一三维坐标。
   公式：联立多视角投影方程，求解超定方程组。
   示例：双目摄像头或运动中的单目相机（SLAM）。

3. 深度传感器辅助（RGB-D相机）
   通过激光雷达或结构光测得每个像素的深度值 ( Z ) ， 通过深度获取每个像素的深度值，代入投影方程反推 ( X ) 和 ( Y )：
   $$X=\frac{(u-c_x)\cdot Z}{f_x},Y=\frac{(v-c_y)\cdot Z}{f_y}$$

4. 几何约束（已知物体尺寸或距离）
   已知两点的实际距离 ( L )，结合投影方程与距离公式：
   $$\sqrt{(X_1-X_2{)}^2+(Y_1-Y_2{)}^2+(Z_1-Z_2{)}^2}=L$$

解释：

这个公式利用了相机的 内外参数矩阵，它描述了如何将物体的世界坐标投影到相机图像平面。在这个公式中，物体的深度 $Z$由物体在图像平面中的位置（像素坐标$u,v$）以及相机的参数（焦距、内外参数矩阵）决定。通过将物体的图像坐标与相机的内外参数矩阵结合，我们可以推算出物体的实际距离。

总结：

必要条件：单目需场景约束（平面假设、已知尺寸等）；多目或深度传感器可直接求解。

公式核心：利用相机参数将图像点映射到三维射线，通过约束确定唯一交点。

实际建议：根据场景选择合适方法（如自动驾驶用多传感器融合，AR用平面跟踪）。