最近在学习一个统计学的课程，其中涉及到几个统计悖论，笔者感觉很有意思，特总结一波和大家进行分享~

1 友谊悖论（Friendship Paradox）

1.1 文字版

一个人朋友的数量往往比他朋友的朋友数量要少！

比如上图中每个节点代表一个人物，横线表示两者是朋友关系，故各自朋友的数量为：

• A：1
• B：3
• C：2
• D：2

结论1：ABCD四位平均朋友数为：（1+3+2+2）/4 = 2

而ABCD四位各自朋友的朋友数量分别为：3、5、5、5

• A（3）：B（3）
• B（5）：A（1）；C（2）；D（2）
• C（5）：B（3）；D（2）
• D（5）：B（3）；C（2）

结论2：ABCD四位朋友的平均朋友数为：（3+5+5+5）/ (1+3+2+2) = 2.25

结论3：ABCD四位平均朋友数小于ABCD四位朋友的平均朋友数

1.2 公式版

设每个人的朋友数（即节点数）为 $F_i$, 所有人的平均朋友数用$\bar{d}$ 来表示，其中

$\bar{d}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{F}_i}{n}$

= A

所有人朋友的朋友平均数为：

$\frac{{\sum }_{i=1}^n{F}_i^2}{{\sum }_{i=1}^n{F}_i}$

至于为什么分子是平方，解释是因为每一个节点都会被计算两次，所以朋友的朋友就是平方！

上面的式子可以继续进行变换，具体见下：

$\frac{{\sum }_{i=1}^n(D{F}_i+(E{F}_i{)}^2)}{{\sum }_{i=1}^n{F}_i}$

= $\frac{nD{F}_i+n{\bar{d}}^2}{n\bar{d}}$

= $\bar{d}+\frac{nD{F}_i}{\bar{d}}$

= B

故 A < B！即平均来说每个人的朋友数小于他朋友的朋友数！

1.3 现实意义

• 你也许并没有那么孤独！交际能力也许并没有那么差！ 你的朋友看起来总是拥有比你更多的朋友，其实只是某几个人际交往明星从中作梗，让你产生了这种错觉而已。即凡是和社交有关的都会产生相关悖论！一开始大家差不多，但是随着时间推移，身边的“明星朋友”会让你觉得你没有什么朋友！
• 不能解释个体但可以解释群体的情况。比如可以解释一些事情为什么倾向于发生！假如你是一个高校教师，和你合作过的学者一般都比你更大牛。如果遇到反常情况，两种解释，一种是你已经很牛逼了！另一种是有人在说谎！
• 应该避免对负面事件的发生做出过高的估计。比如，有专家曾经对美国的100所大学进行了一项大型研究，结果发现，大学生们普遍对抽烟、喝酒、吸大麻这些事有过高的估计，他们认为周围一定有很多学生都在抽烟、喝酒、吸大麻，实际上根本并没有那么多。主要原因是身边“网红式人物”拉高了平均水平！而且社交媒体进一步扩大了“过度代表”的效果！因此我们就没有必要因为“大家都这么做”而去沾染不良习惯，也没有必要觉得整个社会到处都是负面新闻而感到沮丧。
• 传染病的预警和预防：不是直接去寻找人群中的“交际花”，而是随机选择一批人，然后让每个人去说出一位他自认为比他优秀的交际朋友，然后去监控这些人即可！

2 布雷斯悖论

这个悖论也是很有意思，记得之前笔者在参加一次数学建模竞赛的时候，遇到过道路交通相关的问题，当时还有幸拿到了全国二等奖，在做竞赛的过程中遇到了一个悖论，即布雷斯悖论。

明明增加了路线，但堵车的情况却更加严重了。而这种吃力不讨好且反常识的交通网络现象，便是著名的布雷斯悖论，由德国数学家迪特里希·布雷斯（Dietrich Braess）于1968年提出。

假设每天上班会有4000辆车需要从start处到End处！

2.1 未开通A》B路线

具体现在交通线路见上，用户小李需要从start到end处。具体小李有两条线路可以选择（假设走路线1有a辆车）：

• 线路1：S》A》E。所需时间是t1=a/100+45
• 线路2：S》B》E。所需时间是t2=45+(4000-a)/100

直观的结论就是a越大，那么路线1所花时间越长，路线2所花时间越短！但随着大家的经验，车流量会非常平均的分摊到两条路线上！即随着时间的推移，无论是路线1还是路线2，通行时间固定为2000/100+45=65分钟。

2.2 开通A》B路线

具体在上图中，如果A和B之间开通了一条快速通道，即道路增加了1条！这两处之间所花时间可以忽略不计，记为0。此时我们来看看从S到E需要多久！是不是更快了呢？！

新开了一条路，符合人性（最快到达目的地）的情况下，所有司机都会走这条道路！即路线为：
S》A》B》E

此时所花时间为：t=4000/100+4000/100=80

诶！是不是很反人类！时间竟然比65分钟多！导致这种情况的原因是什么呢？个体聪明选择的汇总，其实并非最优解！

大家都因忌讳损害自身的利益而选择抄近路，则是布雷斯悖论中的纳什均衡点。身陷这个庞大的漩涡，所花时间更多都是可以预料的后果了。

2.3 其余布雷斯悖论的例子

例1：

1969年德国的斯图加特市添加了一条新道路，就是为了解决交通不顺畅的老毛病。没想到却得了反效果，交通状况更是恶化，堵得水泄不通。绝望的政府只好把这些路段去掉，交通才得以恢复原状。

所以反过来，许多大城市也曾参考这个理论来制定了政策。有时只需把“多余”的路封掉，就能提高道路网络的整体效率。

例2：

比如在1990年世界地球日当天，纽约市政府就决定关闭最繁忙的路段第42号大街。
当时纽约的媒体和市民直接炸开了锅，都认为政府脑子是不是锈了。对本来就堵成沙丁鱼罐头的纽约市来说，这无异于雪上加霜。有人甚至直接唱衰，预言那天将会是“世界末日”。

但让人意外的是，地球日如期而至，拥堵却没有发生。

例3：

韩国首尔市中心就有一条名为清溪川的河流，全长10.84公里，总流域面积达59.83平方公里。但你可能有所不知，这条清溪川原本竟是一条6车道的高速公路，每天都要承载16万8千辆车。把这条高速公路改成河流之后，首尔交通不但没有变堵，反而是得到了极大的疏通。

例4：

布雷斯悖论还可以应用到团队策略中，例如篮球、足球等比赛。（有时候团队缺少了一个毒瘤，剩下人可能会更加团结，更加厉害！）

一支篮球队可以看做是一条得分线路的网络，每条路径的效率都不同。然而，当这只队伍有明星球员加入时，反而会降低整个球队的整体效率。因为过度利用明星球员的“这条捷径”，可能会导致更糟糕的结果出现。

而竞技体育届的布雷斯现象，甚至还有了另外的代名词“尤因理论”。这源于1999年尼克斯队与步行者队的传奇一战。

当时尼克斯队的最强球员帕特里克·尤因发生了意外，跟腱撕裂，无法比赛。

遇到这种情况，大家都直言尼克斯队怕是要凉了。但是到最后尼克斯居然还是以4：2的比分赢得了比赛，顺利晋级NBA总决赛。

这场比赛，就与交通中的布雷斯悖论有着异曲同工之妙。明尼苏州大学的布莱恩·斯基纳就特别痴迷篮球，2009年他还特地对此现象构造了对应的概念模型。他认为，球队就是因为知道利用明星球员这条线路能够提高获胜几率，打出高分。然而，这条路有时却也会变成那条被“自私的司机”塞满的捷径。

3 参考

• https://www.zhihu.com/question/376209754/answer/1057119327
• 有哪些违背直觉的数学问题？（同时涉及辛普森悖论，总结的很好）https://www.zhihu.com/question/41408857/answer/129140965
• https://www.zhihu.com/question/24072013
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/43934918
• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%83%E9%9B%B7%E6%96%AF%E6%82%96%E8%AE%BA