高斯消元

高斯消元求线性方程组

用途

这个算法可以以n的三次方的时间复杂度来求一个线性方程组的解（即x1，x2，x3，…，xn）
但是同时要注意，方程组的解有三种情况，上图

例子：

输入n*（n+1）个数，其中每一行包含n个系数以及一个等式右边的答案，一共有n行
最后输出x1到xn

高斯消元的数学思想

将系数抽出来，组成一个矩阵，之后对矩阵做初等行列变化，化为最简阶梯型矩阵，最后化为上三角，如下图所示

关于解的情况，有三种：
在推上三角的过程中
如果最后能化成完美三角形，那就是有唯一解
如果最后出现0=非零，那么就是有矛盾，就是无解
如果最后出现了恒等方程，也就是能消去一个方程，或者说n个未知数，但是只有小于n个解，那么就是无穷解

具体的步骤以及最后的结果：

具体高斯消元的数学思想可以看视频《数学知识（三）》的20-36分钟

例题+代码

最后的数据都存放在了a[i][n]种，即最后一列的所有行，也就是等式右边的那些值，tips：保留两位小数，%.2lf，在%lf之前加一个.2

数据分析:
定义一个n，表示有几行，也就是有几个解
之后a数组用来存储输入数据，即所有的系数和等式右边的数
eps=1e-6，因为浮点数数据有误差，他的0不是真正的0，而是0.000000…1，所以需要用小于一个特别小的数来表示是0

在gauss函数里：
c代表当前列，r代表当前行
之后，for循环中初始化c和r都是0，然后遍历c，（初始化r为0，是用来动态设置当前的“顶行位置”，只有当前这个大的for循环快要结束时，r才会++）
在每一步遍历中，都是在c行下进行的
进行第一步：
先定义一个t，初始化为r，用来存当前列的绝对值最大值数的行号
之后一个for循环，用来找到当前列的绝对值最大的行：i从r开始遍历下面的所有行，如果fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])，那么i就是目前来说最大的行号，将t更新为i。tip：fabs（x），返回x的绝对值，并且是浮点类型，包含头文件cmath
之后拿到 t 之后，特判一下，如果fabs(a[t][c] < eps) 那么就是0，continue一下，因为是0的话就不用其他操作了
进行第二步：（将该行换到最上面）
定义i从c循环到小于等于n，交换a[t][i],a[r][i]
进行第三步：（将该行第一个数变成1）
注意这一步要倒着进行循环，因为每一次操作都要用到a[r][c]，所以要在最后一次循环之前保证a[r][c]是不变的，同时注意此时不再是t行，而是r行，因为第二步时已经换到第一行了
定义i从n到大于等于c，i–，a[r][i] /= a[r][c]
进行第四步：（将下面所有的行的数变成0）
for循环定义i从r+1开始，循环到小于n，因为当前是在r，所以从r+1开始
判断如果a[i][c] >eps，即a[i][c]不是0，再进行后续操作
后续操作：（开始变为0，与第三步思想相同，等式左右同时进行数学变换，使得第c列下面的数都是0）
for循环定义 j 从n到大于等于c，j–
(此时i代表行号，j代表i行目前的列号)
a[i][j] -= a[r][j]*a[i][c]
当前行遍历列的所有的数，都更新为自己减去第一行当前列的数 乘以 当前行第一个数
最后r++；for循环结束

然后判断如果r<n,也就是最后方程数小于解的个数，那么有两种解的情况，
for循环，i 从 r 到 小于n，表示要判断那些没有用到的方程，（i表示行）
之后每次循环判断是否有a[i][n] > eps，即a[i][n]不是0，如果有，就是无解，返回2
for循环结束，返回1，表示有无穷个解
最后如果没有r<n，整个gauss函数返回0即表示有唯一解
但是返回0之前，要对答案进行化简求解，就是上图中的最后一个for循环

二级目录

一级目录

二级目录

二级目录

二级目录

一级目录

二级目录

二级目录

二级目录

一级目录

二级目录

二级目录

二级目录

一级目录

二级目录

二级目录

二级目录