【海贼王的数据航海：利用数据结构成为数据海洋的霸主】时间复杂度

【海贼王的数据航海：利用数据结构成为数据海洋的霸主】时间复杂度 | 空间复杂度

1 -> 算法效率

1.1 -> 如何衡量一个算法的好坏？

1.2 -> 算法的复杂度

2 -> 时间复杂度

2.1 -> 时间复杂度的概念

2.2 -> 大O的渐进表示法

2.3 -> 常见时间复杂度计算

3 -> 空间复杂度

4 -> 常见复杂度对比

1 -> 算法效率

1.1 -> 如何衡量一个算法的好坏？

对于以下斐波那契数列：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <iostream>
using namespace std;long long fib(int N)
{if (N < 3)return 1;return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}int main()
{return 0;
}

用递归实现斐波那契数列，看上去代码十分简洁，但简洁一定就是好算法吗？如何衡量一个算法的好坏？

1.2 -> 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机存储容量很小。所以对于空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要特别关注一个算法的空间复杂度。

2 -> 时间复杂度

2.1 -> 时间复杂度的概念

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上来讲，是不能算出来的，只有把程序放在机器上跑起来才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？固然可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方法。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <iostream>
using namespace std;// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i)for (int j = 0; j < N; ++j)++count;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)++count;int M = 10;while (M--)++count;cout << count << endl;
}int main()
{return 0;
}

Func1执行的基本操作数：

$F(N) = N^{2} + 2N + 10$

-> N = 10 F(N) = 130

-> N = 100 F(N) = 10210

-> N = 1000 F(N) = 1002010

实际我们在计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，只需要大概执行次数，所以我们使用大O的渐进表示法。

2.2 -> 大O的渐进表示法

大O符号(Big O notation)：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

在常数1取代运行时间中的所有加法常数；
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；
如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法后，Func1的时间复杂度为：

$O(N^{2})$

-> N = 10 F(N) = 100

-> N = 100 F(N) = 10000

-> N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

例如：在一个长度为N的数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到
平均情况：N / 2次找到
最坏情况：N次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中的搜索数据时间复杂度为：

$O(N)$

2.3 -> 常见时间复杂度计算

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)++count;int M = 10;while (M--)++count;cout << count << endl;
}

实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++k)++count;for (int k = 0; k < N; ++k)++count;cout << count << endl;
}

实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++k)++count;cout << count << endl;
}

实例4：

// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character);

实例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

实例6：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n - 1;// [begin, end]:begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1);if (a[mid] < x)begin = mid + 1;else if (a[mid] > x)end = mid - 1;elsereturn mid;}return -1;
}

实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if (0 == N)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}

实例8：

// 计算斐波那契递归fib的时间复杂度？
long long fib(size_t N)
{if (N < 3)return 1;return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}

答案及分析：

1. 实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

2. 实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

3. 实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

4. 实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

5. 实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

6. 实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

7. 实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

8. 实例8通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

3 -> 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少byte的空间，因为意义不大，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本与时间复杂度类似，也是使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显式申请的额外空间来确定。

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

实例2：

// 计算fib的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* fib(size_t n)
{if (n == 0)return NULL;long long* arr = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));arr[0] = 0;arr[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i)arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];return arr;
}

实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if (N == 0)return 1;return Fac(N - 1) * N;
}

答案及分析：

1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

2. 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

3. 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

4 -> 常见复杂度对比

一般算法的常见复杂度：

5201314	O(1)	常数阶
3n + 4	O(n)	线性阶
3n ^ 2 + 4n + 5	O(n ^ 2)	平方阶
3log(2)n + 4	O(logn)	对数阶
2n + 3nlog(2)n + 4	O(nlogn)	nlogn阶
n ^ 3 + n ^ 2 + 3n + 4	O(n ^ 3)	立方阶
2 ^ n	O(2 ^ n)	指数阶