相控阵雷达（Phased Array Radar）通过调整阵列天线中各个阵元的相位和幅度，实现波束的快速扫描、形状控制及干扰抑制。其核心波束形成算法（Beamforming Algorithm）是关键技术之一，涉及信号处理、优化理论及电磁学。以下从原理、数学公式到MATLAB仿真进行系统介绍：

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1. 基本概念与数学模型

(1) 阵列信号模型

假设相控阵雷达有 ( N ) 个阵元，接收的窄带信号波长为 ( \lambda )，远场信号入射方位角为 ( θ )：

• 阵元间距：通常为半波长（( d = \lambda/2 )）以避免栅瓣（Grating Lobes）。
• 接收信号向量：每个阵元接收的信号存在相位差：
  $$\mathbf{a}(\theta )=[1,e^{-j2\pi d\sin \theta /\lambda },\dots ,e^{-j2\pi (N-1)d\sin \theta /\lambda }{]}^T$$
  其中 ( \mathbf{a}(\theta) ) 称为导向矢量（Steering Vector）。

(2) 波束形成原理

波束形成通过加权求和调整波束方向：
$$y(t)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(t)$$

• ( \mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_N]^T ): 加权向量（权重包含幅度和相位信息）。
• 目标：设计 ( \mathbf{w} ) 使波束主瓣指向期望方向，旁瓣尽可能低。

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2. 经典波束形成算法

(1) 常规波束形成（Conventional Beamforming, CBF）

• 原理：保持期望方向无失真，最大化输出信噪比（SNR）。
• 权重设计：
  $${\mathbf{w}}_{\text{CBF}}=\mathbf{a}({\theta }_d)$$
  即每个阵元相位补偿以对齐目标方向的入射信号。
• 方向图公式：
  $$P(\theta )=|{\mathbf{w}}^H\mathbf{a}(\theta ){|}^2$$

(2) 自适应波束形成（Adaptive Beamforming）

2.1 最小方差无失真响应（MVDR）

• 目标：在干扰方向形成零点，同时保持主瓣方向增益。
• 优化问题：
  $$\underset{\mathbf{w}}{\min }{\mathbf{w}}^H{\mathbf{R}}_x\mathbf{w}\text{s.t.}{\mathbf{w}}^H\mathbf{a}({\theta }_d)=1$$
  其中 ( \mathbf{R}_x = \mathbb{E}[\mathbf{x}(t)\mathbf{x}^H(t)] ) 是接收信号的协方差矩阵。
• 闭式解：
  $${\mathbf{w}}_{\text{MVDR}}=\frac{{\mathbf{R}}_x^{-1}\mathbf{a}({\theta }_d)}{{\mathbf{a}}^H({\theta }_d){\mathbf{R}}_x^{-1}\mathbf{a}({\theta }_d)}$$

2.2 线性约束最小方差（LCMV）

• 扩展目标：添加多个约束（如多波束或多零点方向）。
• 优化问题：
  $$\underset{\mathbf{w}}{\min }{\mathbf{w}}^H{\mathbf{R}}_x\mathbf{w}\text{s.t.}{\mathbf{C}}^H\mathbf{w}=\mathbf{f}$$
  其中 ( \mathbf{C} ) 是约束矩阵，( \mathbf{f} ) 为约束响应向量。

(3) 基于子空间的算法（MUSIC, ESPRIT）

• 核心思想：利用信号与噪声子空间的正交性。
• MUSIC算法：
  • 对协方差矩阵 ( \mathbf{R}_x ) 进行特征分解：
    $${\mathbf{R}}_x={\mathbf{U}}_s{\mathbf{\Lambda }}_s{\mathbf{U}}_s^H+{\mathbf{U}}_n{\mathbf{\Lambda }}_n{\mathbf{U}}_n^H$$
  • 方向谱估计：
    $$P_{\text{MUSIC}}(\theta )=\frac{1}{\Vert {\mathbf{U}}_n^H\mathbf{a}(\theta ){\Vert }^2}$$

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3. MATLAB仿真步骤

3.1 生成阵列信号

N = 16;            % 阵元数
d = 0.5;          % 阵元间距（单位波长）
theta_d = 30;     % 期望方向（度）
theta_j = [-20, 50]; % 干扰方向（度）% 生成导向矢量
a_d = exp(-1j * 2*pi * d * (0:N-1)' * sind(theta_d));
a_j1 = exp(-1j * 2*pi * d * (0:N-1)' * sind(theta_j(1)));
a_j2 = exp(-1j * 2*pi * d * (0:N-1)' * sind(theta_j(2)));% 合成接收信号（含噪声）
s = 1;                 % 目标信号
j1 = 10^(0.5) * randn; % 干扰强度（10 dB）
j2 = 10^(0.5) * randn;
noise = 0.1*(randn(N,1) + 1j*randn(N,1)); 
x = s*a_d + j1*a_j1 + j2*a_j2 + noise;

3.2 MVDR波束形成器实现

% 估计协方差矩阵（L个快拍）
L = 100; 
X = s*a_d*(randn(1,L) + 1j*randn(1,L)) + ... % 目标信号j1*a_j1*(randn(1,L) + 1j*randn(1,L)) + ... j2*a_j2*(randn(1,L) + 1j*randn(1,L));
R_x = (X*X') / L;     % 样本协方差矩阵% 计算MVDR权重
w_mvdr = inv(R_x) * a_d / (a_d' * inv(R_x) * a_d);% 计算方向图
theta_scan = -90:0.1:90;
P_mvdr = zeros(size(theta_scan));
for i = 1:length(theta_scan)a_theta = exp(-1j * 2*pi*d*(0:N-1)'*sind(theta_scan(i)));P_mvdr(i) = abs(w_mvdr' * a_theta)^2;
end

3.3 可视化结果

figure;
plot(theta_scan, 10*log10(P_mvdr/max(P_mvdr)), 'LineWidth', 1.5);
hold on;
xline(theta_d, '--r', 'Desired'); 
xline(theta_j(1), '--k', 'Interference 1');
xline(theta_j(2), '--k', 'Interference 2');
xlabel('Angle (degree)'); ylabel('Normalized Power (dB)');
title('MVDR Beam Pattern');
grid on;

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4. 关键技术与挑战

技术点	挑战	解决方案
协方差矩阵估计	有限快拍导致矩阵奇异或误差	对角加载（Diagonal Loading）
计算复杂度	( O(N^3) ) 矩阵求逆	递归更新（如RLS算法）
宽带信号处理	频率敏感导致波束偏移	子带分解或时延补偿结构
干扰动态变化	非平稳干扰环境	自适应算法（如LMS、QRD-SMI）

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5. 应用场景

• 雷达系统：目标跟踪、抗干扰（如军事雷达抑制敌方干扰）。
• 5G/6G通信：大规模MIMO波束赋形提升通信容量。
• 声呐与医学成像：超声波成像中的焦点控制。

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总结

相控阵雷达波束形成算法的核心是通过数学优化调整权重向量，其技术演进从CBF到MVDR、再到子空间方法，逐步提升分辨率与抗干扰能力。MATLAB仿真需注意协方差矩阵估计误差对性能的影响，实际工程中常结合FPGA/GPU硬件加速实时处理。