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一、背景

（一）生成模型

变分自动编码器（VAE） 结合了自动编码器和变分推断的思想。它主要包括编码器和解码器两个部分。

• 编码器将输入数据映射到潜在空间的概率分布参数，通常是均值和方差。
• 解码器则从潜在空间的采样中重构原始数据。

VAE能够学习数据的潜在表示，并生成具有相似分布的新样本。在训练过程中，VAE的目标是最大化数据的边际似然，同时使潜在表示与先验分布（通常是高斯分布）的KL散度最小化。

生成对抗网络（GAN）： 由生成器和判别器组成。

• 生成器尝试生成与真实数据样本相似的假数据
• 判别器则尝试区分真实数据和生成器生成的假数据。

在训练过程中，生成器和判别器相互对抗、相互提升，最终使得生成器能够生成逼真的数据，判别器则很难区分真假数据。

流模型（Flow-based Models） 是一类生成模型，旨在学习数据的概率分布以生成新的样本。

• 核心思想是设计一个可逆的变换，将高维输入空间映射到高维输出空间，并确保该变换在变换和逆变换时都具有可导性。
• 与传统的生成模型如GAN（生成对抗网络）或VAE（变分自编码器）不同，流模型试图通过可逆的变换从一个简单的先验分布（如高斯分布）生成数据，而不是通过从隐变量空间中抽样。

（二）数学理论基础

1. 先验概率和后验概率
   • 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率，往往作为“由因求果“问题中的“因"出现，如 $q(x_t|x_{t-1})$；
   • 后验概率：指在得到“结果“的信息后重新修正的概率，是“执果寻因“问题中的“因"，如 $p(x_{t-1}|x_t)$。
2. 条件概率的一般形式
   $$\begin{gathered} P(A,B,C)=P(C|B,A)P(B,A)=P(C|B,A)P(B|A)P(A) \\ P(B,C|A)=P(B|A)P(C|A,B) \end{gathered}$$
3. 马尔科夫链条件概率形式（马尔可夫链指当前状态的概率至于上一时刻有关）

$$\begin{gathered} P(A,B,C)=P(C|B,A)P(B,A)=P(C|B)P(B|A)P(A) \\ P(B,C|A)=P(B|A)P(C|B) \end{gathered}$$

4. 高斯分布的KL散度公式
   两个单一变量的高斯分布$p$和$q$的KL散度为：$KL(p,q)=log\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}+\frac{{\sigma }^2+({\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}-\frac{1}{2}$
5. 重参数化
   以高斯分布为例：原本需要从$N(\mu ,{\sigma }^2)$中采样得到$z$，重参数化技巧将其转化为了从正态分布$N(0,1)$中采样得到$\epsilon$，从而$z=\mu +\epsilon \sigma$，从而把随机性转移出了计算图，解决了采样导致梯度不可传递的问题，整个过程可以通过梯度下降来进行优化。

（三）扩散模型的三种生成范式

扩散模型(Diffusion Model)是一种新兴的生成式模型，其首先向数据分布中逐步添加随机噪声到预设的先验分布，然后通过学习其逆过程来重建新的数据样本。通常而言，扩散模型具有三种生成范式：

• Score Matching with Langevin Dynamics (SMLD),
• Denoising Diffusion Probabilistic Model (DDPM)
• Score-based Generative Model (SGM)

二、文章概览

（一）核心思想

文章提出的扩散概率模型(diffusion probabilistic models)是使用变分推理训练的参数化马尔可夫链，以在有限时间后生成与数据匹配的样本。

• 这个马尔可夫链包括前向过程和反向过程，前向过程就是不断往图像上加噪声直到图像变成一个纯噪声，后向过程就是从纯噪声生成一张图像的过程。

（二）前向过程

前向过程是加噪的过程，前向过程中图像$x_t$只和上一时刻的$x_{t-1}$有关，$q(x_t|x_{t-1})$表示的就是前向过程。

扩散模型的前向过程是有具体的表达式可以计算的，满足：

• 左式：表示整个前向过程，是一个后验估计，由右式累乘得到
• 右式：在前向过程中，单步转移概率定义为关于$x_{t-1}$的高斯分布，均值和协方差是$x_{t-1}$和${\beta }_t$的函数
  

（三）后向过程

后向过程是去噪的过程，公式表达为$q(x_{t-1}|x_t)$。DDPM的后向过程是利用神经网络$P_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$来拟合$q(x_{t-1}|x_t)$。

• 左式：表示反向过程的联合概率密度
• 右式：在后向过程中，转移概率分布函数为关于$x_{t-1}$的高斯分布，均值和协方差是$x_t$和$t$的函数

（四）模型训练

马尔可夫链的前向过程是有具体的表达式可以计算的，后向过程是利用神经网络来学习的。因此模型训练主要集中在后向过程（逆扩散过程）。训练扩散模型的目标是学习正向的反过程，也就是训练概率分布$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$，通过沿着马尔科夫链向后遍历，可以重新生成新的数据$x_0$。

从数学表达式来看，训练生成模型的过程就是最大似然估计的过程，即对$p_{\theta }(x_0)$的最大似然估计进行优化，论文给出了负对数似然的上界表达式：

训练算法：

• 从数据中抽取一个样本；
• 从1-T中随机选取一个时间t；
• 在GaussionDiffusion中采样一个随机噪声，加到$x_0$生成$x_t$；
• 神经网络利用$x_0$和$t$以及生成的$x_t$预测噪声；
• 将神经网络Unet预测的噪声与之前GaussionDiffusion采样的随机噪声求L2损失，计算梯度，更新权重；
• 重复以上步骤，直到网络训练完成。

采样算法：

• 从标准正态分布采样出$x_T$​；
• 从$T,T-1,...,2,1$依次重复以下步骤:
  （1）从标准正态分布采样$z$；
  （2）利用重参数化技巧得到$x_{t-1} $；
• 循环结束后返回$x_0$。

三、数学推导

（一）前向扩散过程

1、证明扩散模型的前向过程是有具体的表达式可以计算的

由于在前向过程中，单步转移概率定义为关于$x_{t-1}$的高斯分布，均值和协方差是$x_{t-1}$和${\beta }_t$的函数，即：

可以利用重参数化技巧，将其改写成下面的式子：（就可以很直观的看到前向过程的噪声是怎么加的）

重参数化技巧：从高斯分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$中采样一个噪声$\epsilon$，等价于先从标准正态分布$N(0,1)$中采样得到一个噪声$z$，然后乘以标准差$\sigma$之后加上均值$\mu$。在本文中，$x_t$是从高斯分布$N(\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1},{\beta }_{t}I)$中采样出的噪声，因此可以得到下边的式子。

所以可以知道前向过程中得到的每一步的数据是怎样的。

2、证明可以通过一次计算就得到加噪任意$t$次之后的$x_t$​

由上一个证明可以知道：$x_t=\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_{t-1}+\sqrt{{\beta }_t}{z}_{t-1}$，此时我们令${\alpha }_t=1-{\beta }_t$，即可进行如下推导：

再次根据重参数化技巧，可以得到任意时刻的$x_t$满足如下的高斯分布：

（二）反向生成过程

1、求解神经网络$P_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$

DDPM的后向过程是利用神经网络$P_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$来拟合$q(x_{t-1}|x_t)$。

在论文中，作者把条件概率$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$的方差直接取成了${\beta }_t$，而不是上面的需要网络估计的${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$，所以在下面对于逆转过程的概率分布$q(x_{t-1}|x_t)$的解析形式的求解，只需要估计均值即可。

2、求解逆转过程的概率分布$q(x_{t-1}|x_t)$的解析形式

虽然我们无法得到逆转过程的概率分布$q(x_{t-1}|x_t)$，但是如果知道 $x_0$， $q(x_{t-1}|x_t,x_0)$就可以直接写出：

利用贝叶斯公式可以进行如下推导：

结合马尔可夫公式可以求得均值和方差：

由于$x_0$和$x_t$之间的关系已知，所以可以进一步将均值化简为：

因此，在给定$x_0$ 的条件下，后验条件高斯分布的均值只和超参数、$x_t$、${\epsilon }_t$ 有关，方差只与超参数有关。通过以上的方差和均值，就可以得到$q(x_{t-1}|x_t,x_0)$的解析形式。

（三）训练生成模型的过程就是最大似然估计的过程

在训练阶段，DDPM通过最大化训练数据的似然来学习扩散过程的参数。训练是通过优化负对数似然的常见变分界限来执行的：

1、证明负对数似然的上界表达式

KL 散度是一种不对称统计距离度量，用于衡量一个概率分布 P 与另外一个概率分布 Q 的差异程度。由于KL散度具有恒大于等于0的性质，因此：

进一步可以对上式的交叉熵的上界进行化简：

• 对于$L_T$：由于前向过程$q$没有可学习的参数，$x_T$是纯高斯噪声，因此可以当做常量忽略
• 对于$L_0$：当$t$为1时，第二项中$L_{t-1}$得到的结果就是后面那一项$L_0$​
• 所以整个的优化过程可以变成直接对于$L_{t-1}$的优化：
  

如果有两个分布 p,q 都是高斯分布，则他们的KL散度为:

第二项$L_{t-1}$中的两个分布都是高斯分布，而且这两个分布的方差全是常数，和优化无关，所以其实优化目标就是两个分布均值的二范数：

分布$q(x_{t-1}|x_T,x_0)$是一个高斯分布，均值和方差在之前已经证明得到；分布$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$是网络期望拟合的目标分布，均值用网络估计，方差设置成了和${\beta }_t$有关的常数。

由于$x_t$是${\mu }_{\theta }$的输入，其他量是常数，所以未知量为$\epsilon$，此时可以将${\mu }_{\theta }(x_t,t)$定义为：

这样就可以不用网络直接预测${\mu }_{\theta }(x_t,t)$，而是用网络${\epsilon }_{\theta }(x_t,t)$先预测噪声$\epsilon$，然后带入到表达式计算出预测的均值。

最终作者经过这样一番推导之后得到了如下的L2 loss：
网络的输入是一张和噪声线性组合的图片，然后要估计出来这个噪声：

参考：
54、Probabilistic Diffusion Model概率扩散模型理论与完整PyTorch代码详细解读
【生成模型】DDPM概率扩散模型（原理+代码)
DDPM交叉熵损失函数推导
DDPM（Denoising Diffusion Probabilistic Models）扩散模型简述
扩散模型(Diffusion Model)奠基之作：DDPM 论文解读
一文解释 Diffusion Model (一) DDPM 理论推导