引言

为什么不同的人说话声音不一样？
人是如何区分不同人说话的声音的呢？
美颜软件的“磨皮”功能的原理是什么？

要想得到上述问题的答案，傅里叶变换是关键。那傅里叶变换又是个“神马”呢？别着急，且听李永乐老师细细道来。

一、变换

变换是数学上一个十分重要的概念，变换的定义：集合到自身的映射。更具体一点就是非空集合A到自身的一个映射f：A→A称为集合A的变换。在数学上有许多变换，除了李永乐老师讲解的傅里叶变换，还有与傅里叶变换有关的傅里叶逆变换、拉普拉斯变换、Z变换，函数中的变换有恒等变换、Fourier变换、Laplace变换等，线性空间中的变换有正交变换、相似变换等，几何中的变换有拓扑变换、保角变换、仿射变换、射影变换等。在了解傅里叶变换之前，我们需要知道标准正交基是什么。

（一）举例（图像<---->坐标）

在一个平面直角坐标系中有两个点A和B，A的横坐标为2，纵坐标为1。B的横坐标为1，纵坐标为2。两点在图中的表示如下：
在这里插入图片描述

这两个在图上表示点可以转换为用数来表示：A(2,1)，B(1,2)。这就是一个简单的变换。当然，将数转换成图就是逆变换。转换形式如下图：
在这里插入图片描述

（二）标准正交基

根据上面的例子就可以引出标准正交基的概念。在一个平面直角坐标系中，有沿着x轴的单位向量ex，也有沿着y轴的单位向量ey，(1)它们自身与自身求内积等于1;(2)相互之间求内积等于0，那么ex和ey就是标准正交基(注意：ex和ey书写的时候上方需要带上箭头"–>")。总的来说，在任意坐标系中，只要满足前面带黑体的(1)和(2)两个条件的向量就是标准正交基。有了标准正交基，任意的向量都能由标准正交基来表示。比如，上面的A(2,1)就可以由两个ex和一个ey相加表示，B(1,2)就可以由一个ex和两个ey相加表示。

二、傅里叶变换

知道了什么叫做标准正交基，接下来就可以入手傅里叶变换了。

（一）傅里叶级数

诞生：傅里叶级数是法国学者傅里叶于1807年提出来的。
原理：法国数学家傅里叶认为，任何周期函数f(t)都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
图像分析

从图像上我们可以看出，最下方的周期函数就是f(t)，它可以分解为许多不同频率（或w）的正（余）弦函数。依照李永乐老师的讲解，我们从f(t)的后方看，只能看到f(t)的图像，这一维度叫做时域；当我们从f(t)的左侧（或右侧）去看，f(t)可以分解成许多不同频率的信号，这一维度叫做频域。
上图中，从左图经过傅里叶变换就可以变为右图，反之就是傅里叶逆变换。经过傅里叶变换的图像由三个要素：振幅F(f)、频率ω和初相φ。
傅里叶级数公式

其中，n为正整数，"=>"后面的1、sinnωt和cosnωt就是组成傅里叶级数的标准正交基。（注意：傅里叶变换所提及的内积是一种积分形式，太深奥，太复杂，作者也不懂）

（二）连续傅里叶变换

欧拉公式

其中，A点表示为cosx+i*sinx，+iωt表示A点在圆上逆时针旋转，-iωt表示A点在圆上逆时针旋转。此图的含义是A点随着时间的移动会产生一系列正交基的组合，这些组合用e的iωt次幂来表示。
连续傅里叶变换

其中，上面的公式为连续傅里叶变换，左下方是f(t)经过连续傅里叶变换后得到的图像，与之前李永乐老师讲傅里叶级数得到的图像类似，同样含有振幅F(T)、频率ω和初相φ。不一样的是，前者是离散的点，后者是连续的图像。下方的公式是傅里叶变换的逆变换，可以将Ft->f(t)。
注意：f(t)可以是周期性的，也可以是非周期性的。