图的基本概念

图：

• 由点(node，或者 vertex)和连接点的边(edge)组成。
• 图是点和边构成的网。
  树：
• 特殊的图
• 树，即连通无环图树的结点从根开始，层层扩展子树，是一种层次关系，这种层次关系，保证了树上不会出现环路。
• 两点之间的路径：有且仅有一条路径。
• 最近公共祖先。

图应用背景

• 地图：路口、道路、过路费
• 计算机网络：路由协议
• 人际关系：六度空间理论

图的种类

1. 无向无权图，边没有权值、没有方向；
2. 有向无权图，边有方向、无权值；
3. 加权无向图，边有权值，但没有方向；
4. 加权有向图；
5. 有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）。

图算法的时间分析

图算法的复杂度和边的数量 E、点的数量 V 相关。
O(V+E)：几乎是图问题中能达到的最好程度。
O(VlogE)、O(ElogV)：很好的算法。
O(V^2)、O(E2)或更高：不算是好的算法。

图的存储

能快速访问：图的存储，能让程序很快定位结点 u 和 v 的边(u, v) 。

• 数组存边：简单、空间使用最少；无法快递定位
• 邻接矩阵：简单、空间使用最大；定位最快 dis[a][b]
• 邻接表：空间很少，定位较快
• 链式前向星：空间更少，定位较快
  注： 存储方式跟题目相匹配，占用空间少定位快也不一定是问题的最优存储方式。

数组存边

优点：简单、最省空间。
缺点：无法定位某条边。
应用：bellman-ford 算法、最小生成树的 kruskal 算法

struct Edge
{int from, to, dis;  //from起始点，to终止点，dis权值
}e[M]; //结构体数组存边cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++ i)cin >> e[i].from >> e[i].to >> e[i].dis;

邻接矩阵

二维数组： graph[NUM][NUM] 
无向图： graph[i][j] = graph[j][i] 
有向图： graph[i][j] != graph[j][i] 
权值： graph[i][j]存结点i到j的边的权值。 例如 graph[1][2]=3，graph[2][1]=5等等。 用 graph[i][j]=INF表示i，j之间无边。

优点：

• 适合稠密图；
• 编码非常简短；
• 对边的存储、查询、更新等操作又快又简单。

缺点：

• 存储复杂度 O(V^2)太高。V=10000 时，空间 100M。
• 不能存储重边。

邻接表和链式前向星

邻接表（指针或数组下标）和链式前向星（容器模拟）的思路一样，只是表达方式不同。
应用场景：大稀疏图

优点：

• 存储效率非常高，存储复杂度O(V+E)
• 能存储重边
  

struct edge{int from, to; long long w; //起点，终点，权值。起点from并没有用到，e[i]的i就是fromedge(int a, int b,long long c){from=a; to=b; w=c;}
};
vector<edge>e[N];          //用于存储图

最短路问题

最广为人知的图论问题就是最短路径问题。
简单图的最短路径

• 树上的路径：任意 2 点之间只有一条路径
• 所有边长都为 1 的图：用 BFS 搜最短路径，复杂度 O(n+m)
  普通图的最短路径
• 边长：不一定等于 1，而且可能为负数
• 算法：Floyd、Dijkstra、SPFA 等，各有应用场景，不可互相替代

最短路算法比较

问题	边权	算法	时间复杂度
一个起点，一个终点	非负数； 无边权（或边权为 1）	Astar(K短路)/ 普通	<O((m+n)logn)
		双向广搜	<O((m+n)logn)
		贪心最优搜索	<O(m+n)
一个起点到其他所有点	无边权（或边权为 1）	BFS	O(m+n)
	非负数	Dijkstra(堆优化 优先队列)	O((m+n)logn)
	允许有负数	SPFA	<O(mn)
所有点对之间	允许有负数	Floyd-Warshall	O(n^3)

什么算法也不能解决存在负环图的最短路的问题！最多是判断是否存在，或者找到负环。

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方便图论的学习。

Floyd 算法

• 最简单的最短路径算法，代码仅有 4 行
• 存图：最简单的矩阵存图
• 易懂，比暴力的搜索更简单易懂。
• 效率不高，不能用于大图
• 在某些场景下有自己的优势，难以替代。能做传递闭包问题（离散数学）

for(int k = 1; k <= n; k ++)         //floyd的三重循环for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = 1; j <= n; j ++)      // k循环在i、j循环外面dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

Floyd算法：多源最短路算法，一次计算能得到图中每一对结点之间（多对多）的最短路径。 
Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA算法：单源最短路径算法（Single source shortest path algorithm），一次计算能得到一个起点到其他所有点（一对多）的最短路径。

Floyd 算法思想：动态规划

Floyd 算法的原理

• 动态规划：求图上两点 i、j 之间的最短距离，按“从小图到全图”的步骤，在逐步扩大图的过程中计算和更新最短路。
• 定义状态：dp[k][i][j]，i、j、k是点的编号，范围 1 ~ n。状态dp[k][i][j]表示在包含 1 ~ k 点的子图上，点对 i、j 之间的最短路。
• 状态转移方程：从子图 1 ~ k-1 扩展到子图 1 ~ k
• dp[k][i][j]= min(dp[k−1][i][j], dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j])

首先是包含 1 ~ k-1 点的子图。 
dp[k−1][i][j]：不包含 k 点子图内的点对 i、j 的最短路；
dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j]：经过 k 点的新路径的长度，即这条路径从 i 出发，先到 k，再从 k 到终点 j。
比较：不经过 k 的最短路径dp[k−1][i][j]和经过 k 的新路径，较小者就是新的dp[k][i][j]。

所以 Floyd 的原理就是每次引入一个新的点，用它去更新其他点的最短距离。

k 从 1 逐步扩展到 n：最后得到的dp[n][i][j]是点对 i、j 之间的最短路径长度。
初值dp[0][i][j]：若 i、j 是直连的，就是它们的边长；若不直连，赋值为无穷大。 
i、j 是任意点对：计算结束后得到了所有点对之间的最短路。

dp[k][i][j] = min(dp[k−1][i][j], dp[k−1][i][k]+dp[k−1][k][j]) 
用滚动数组简化：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j])

for (int k = 1; k <= n; k ++)  //floyd的三重循环for (int i = 1; i <= n; i ++)for (int j = 1; j <= n; j ++)  //k循环在i、j循环的外面dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]);//比较：不经过k、经过k

特点：

• 在一次计算后求得所有结点之间的最短距离。
• 代码极其简单，是最简单的最短路算法。
• 效率低下，计算复杂度是 O(n^3)，只能用于 n < 300 的小规模的图。
• 存图用邻接矩阵 dp[][] 。因为 Floyd 算法计算的结果是所有点对之间的最短路，本身就需要 n^2 的空间，用矩阵存储最合适。
• 能判断负圈。
  • 负圈：若图中有权值为负的边，某个经过这个负边的环路，所有边长相加的总长度也是负数，这就是负圈。在这个负圈上每绕一圈，总长度就更小，从而陷入在负圈上兜圈子的死循环。
  • Floyd 算法很容易判断负圈，只要在算法运行过程出现任意一个 dp[i][i] < 0 就说明有负圈。因为 dp[i][i] 是从 i 出发，经过其他中转点绕一圈回到自己的最短路径，如果小于零，就存在负圈。

蓝桥公园

【题目描述】
小明来到了蓝桥公园。已知公园有N个景点，景点和景点之间一共有M条道路。小明有Q个观景计划，每个计划包含一个起点st和一个终点ed，表示他想从st去到ed。但是小明的体力有限，对于每个计划他想走最少的路完成，你可以帮帮他吗?
【输入描述】
输入第一行包含三个正整数N,M,Q。
第2到M+1行每行包含三个正整数u,v,w，表示 u、v之间存在一条距离为w的路。
第M+2到M+Q-1行每行包含两个正整类st,ed，其含义如题所述
1≤N≤400，1≤M≤NX(N-1)/2，Q≤10^3, 1≤u,v,st,ed≤n, 1≤w≤10^9
【输出描述】
输出共Q行，对应输入数据中的查询。若无法从st到达ed则输出-1。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL; 
//这样定义INF的好处是:INF <= INF+x 防止溢出
const int N= 405;
long long dp[N][N];
int n, m, q;void input(){}
void floyd()
{for(int k = 1; k <= n; k ++)for(int i = 1; i <= n; i ++)for(intj = 1; j <= n; j ++)dp[i][j]= min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
}
int main()
{cin >> n>> m >> q;memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));     //初始化for(int i = 1; i <= m; i ++){int u, v;long long w;cin >> u >> V >> W;dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v], w);   //防止有重边}floyd();while(q --){int s, t;cin >> s >> t;if(dp[s][t] == INF)cout << "-1" << endl;else if(s == t)cout << "0" << endl;  //如果不这样，dp[il[i]不等于0else cout << dp[s][t] << endl;return 0;
}

Dijkstra 算法

• Dijkstra：单源最短路径问题。
• 优点：非常高效而且稳定。
• 缺点：只能处理不含有负权边的图。
• 思路：贪心思想+优先队列。

算法思想

Dijkstra 算法算是贪心思想实现的，
首先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛一次再找出最短的，
所谓的松弛操作就是，遍历一遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。

为什么是每次都是找最小的？
因为最小边的不会被其它的点松弛，只有可能最小边去松弛别人。
如果存在一个点 K 能够松弛 ab 的话那么一定有 ak 距离加上 kb 的距离小于 ab，已知 ab 最短，所以不存在 ak+kb<ab。

Dijkstra 算法应用了贪心法的思想，即“抄近路走，肯定能找到最短路径”。

算法高效稳定：

• Dijkstra 的每次迭代，只需要检查上次已经确定最短路径的那些结点的邻居，检查范围很小，算法是高效的；
• 每次迭代，都能得到至少一个结点的最短路径，算法是稳定的

优先队列实现：

• 每次往队列中放新数据时，按从小到大的顺序放，采用小顶堆的方式，复杂度是 O(logn)，保证最小的数总在最前面；
• 找最小值，直接取 B 的第一个数，复杂度是 O(1)。
• 复杂度：用优先队列时，Dijkstra 算法的复杂度是 O(mlogn)，是最高效的最短路算法。

维护两个集合：已确定最短路径的结点集合 A、这些结点向外扩散的邻居结点集合 B。

1. 把起点 s 放到 A 中，s-s的距离是0，相当于找到第一条最短路径，用这条最短路去松弛，把 s 所有的邻居放到 B 中。此时，邻居到 s 的距离就是直连距离。
2. 从 B 中找出距离起点 s 最短的结点 u，放到 A 中。
3. 把 u 所有的新邻居放到 B 中。显然，u 的每一条边都连接了一个邻居，每个新邻居都要加进去。其中 u 的一个新邻居 v，它到 s 的距离 dis(s, v) 等于 dis(s, u) + dis(u, v)。(要和原始距离dis(s, v)去比较)
4. 重复(2)、(3)，直到 B 为空时，结束。
   ![[Pasted image 20240325172845.png]]

A{1}; B{3, 10};
//会从3开始去扩展，因为3是最短的
A{1, 6}; B{3, 10, 4, 9};
//把6节点放进去，6到5是1，6到4是6，1到5是4，1到4是9
//把2节点放进去，6到2是2，1到2是5
A{1, 6}; B{3, 10, 4, 9, 5};
//排序后，从3开始，已经用6把所有松弛完了，所以3就没有了，从4开始
//到5这个点是4，所以把5加进来，用5这个点做松弛，5不能做松弛，因为到所有点都是正无穷
A{1, 6, 5}; B{10, 9, 5};
//用B里的5去松弛，从2开始，2到4是5，2到3是7，1到4是10，1到3是12
//之前的10被松弛了，1到6到2是5，1到2是10
//接下来用4这个点松弛，1到6到2到4到3是14，比12大，松弛不了
//下来用12去松弛...

Dijkstra 的局限性是边的权值不能为负数：
Dijkstra 基于 BFS，计算过程是从起点 s 逐步往外扩散的过程，每扩散一次就用贪心得到到一个点的最短路。
扩散要求路径越来越长，如果遇到一个负权边，会导致路径变短，使扩散失效。

蓝桥王国 lanqiaoOJ 题号 1122

题目描述
蓝桥王国一共有N 个建筑和M 条单向道路，每条道路都连接着两个建筑，每个建筑都有自己编号，分别为 1∼N。（其中皇宫的编号为 1）国王想让小明回答从皇宫到每个建筑的最短路径是多少，但紧张的小明此时已经无法思考，请你编写程序帮助小明回答国王的考核。
输入描述
输入第一行包含 2 个正整数 N,M。
第 2 到 M+1 行每行包含三个正整数 u,v,w，表示 u→v 之间存在一条距离为 w 的路。
1≤N≤3×10^{5，1≤M≤10}6，1≤ui​,vi​≤N，0≤wi​≤10^9。
输出描述
输出仅一行，共 N 个数，分别表示从皇宫到编号为 1∼N 建筑的最短距离，两两之间用空格隔开。（如果无法到达则输出 −1）

解题思路:
本题为单源最短路的模板题，直接套模板即可，本题我们采用 Dijkstra。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
//这样定义INF的好处是: INF <= INF+xconst int N= 3e5+2;
struct edge{int from, to; long long w; //起点，终点，权值。起点from并没有用到，e[i]的i就是fromedge(int a, int b,long long c){from=a; to=b; w=c;}
};
vector<edge>e[N];          //用于存储图
//定义一个排序准则
struct s_node{int id; long long n_dis;   //id：结点；n_dis：这个结点到起点的距离s_node(int b,long long c){id=b; n_dis=c;}bool operator < (const s_node & a) const{ return n_dis > a.n_dis;}
};int n,m;
int pre[N];                                //记录前驱结点，用于生成路径
void print_path(int s, int t) {            //打印从s到t的最短路if(s==t){ printf("%d ", s); return; }  //打印起点print_path(s, pre[t]);                 //先打印前一个点printf("%d ", t);                      //后打印当前点。最后打印的是终点t
}
long long  dis[N];         //记录所有结点到起点的距离
void dijkstra(){int s = 1;             //起点s是1bool done[N]; //done[i]=true表示到结点i的最短路径已经找到for (int i = 1; i <= n; i ++) {dis[i]=INF;   done[i]=false; }    //初始化，所有的距离都初始化为无穷大，都没找到dis[s]=0;                           //起点到自己的距离是0priority_queue <s_node> Q;          //优先队列，存结点信息Q.push(s_node(s, dis[s]));          //起点进队列，用它去松弛//当队列不为空的情况下while (!Q.empty())   {//每次在B中去一个最小值s_node u = Q.top();             //pop出距起点s距离最小的结点uQ.pop();            //取队头，用队头去松弛if(done[u.id])  continue;       //丢弃已经找到最短路径的结点。即集合A中的结点done[u.id]= true;//没有找到的话，就说明没有被用过，把它标记为使用//用它去松弛所有的点for (int i=0; i<e[u.id].size(); i++) {  //检查结点u的所有邻居edge y = e[u.id][i];         //u.id的第i个邻居是y.toif(done[y.to])  continue;    //丢弃已经找到最短路径的邻居结点if (dis[y.to] > y.w + u.n_dis) {dis[y.to] = y.w + u.n_dis;Q.push(s_node(y.to, dis[y.to]));  //扩展新的邻居，放到优先队列中//被松弛的点，再放到B的数列中来pre[y.to]=u.id;  //如果有需要，记录路径}}}// print_path(s,n);          //如果有需要，打印路径: 起点1，终点n
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;i++)    e[i].clear();  //清空while (m--) {int u, v, w;  scanf("%d%d%lld", &u, &v, &w);e[u].push_back(edge(u, v, w));//以u为起点，vector里面放了uvw// e[v].push_back(edge(v, u, w));    //本题是单向道路，不需要建反边}dijkstra();for(int i=1;i<=n;i++){if(dis[i]>=INF)  cout<<"-1 ";else   printf("%lld ", dis[i]);}
}