爱上数据结构：二叉树的基本概念

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一、树的基本概念

1.概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
没有前驱节点的结点叫做根结点

在树中，子树不能有交集，不然就是图。

在这里插入图片描述

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2.树的表示

树的表示通常是通过左孩子右兄弟来表示的。
parent=(child-1)/2;
左孩子=2parent+1;
右孩子=2parent+2;

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

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3.树在实际中的应用

在这里插入图片描述

二、二叉树的概念及结构

1.二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
二叉树是有序树左子树右子树不能颠倒，二叉树的度不能大于2.

有两种特殊的二叉树：

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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2.二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0＝n2 ＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) (ps：是log以2为底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（A ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）//n0+n2=2n n0=n2+1
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（B ）//log2 512=9;
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）//n0+n1+n2=767 2n0-1+n1=767
A 383
B 384
C 385
D 386

3.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空
间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
parent=(child-1)/2;
左孩子=2parent+1;
右孩子=2parent+2;
通过上述公式构建二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}；