只出现一次的数字
- 只出现一次的数字
- 问题描述
- 示例
- 约束条件
- 解题思路
- 方法一：暴力解法（不满足要求）
- 方法二：位运算（最优解）
- 异或运算的性质
- 解题步骤
- 总结
只出现一次的数字
问题描述
给定一个非空整数数组 nums，其中除了一个元素只出现一次外，其余每个元素均出现两次。要求找出那个只出现一次的元素。算法需要满足线性时间复杂度 (O(n)) 和常数空间复杂度 (O(1))。
示例
-
输入：
nums = [2, 2, 1]
输出：1 -
输入：
nums = [4, 1, 2, 1, 2]
输出：4 -
输入：
nums = [1]
输出：1
约束条件
- 数组长度范围：
1 <= nums.length <= 3 * 10^4 - 数组元素范围：
-3 * 10^4 <= nums[i] <= 3 * 10^4
解题思路
本题的关键在于如何在不使用额外存储空间的情况下，快速找出只出现一次的数字。以下是几种可能的解法及其优缺点分析：
方法一：暴力解法（不满足要求）
-
使用集合存储数字
遍历数组中的每个数字，如果集合中没有该数字，则将其加入集合；如果集合中已有该数字，则将其从集合中删除。最后剩下的数字即为只出现一次的数字。
缺点：需要额外的 (O(n)) 空间。 -
使用哈希表存储次数
使用哈希表记录每个数字出现的次数，最后遍历哈希表找到只出现一次的数字。
缺点：同样需要额外的 (O(n)) 空间。 -
数学方法（集合和数组和的关系）
计算数组中所有元素的和，以及集合中所有元素的和的两倍。由于集合中元素无重复，因此两倍的集合和减去数组和，即为只出现一次的数字。
缺点：需要额外的 (O(n)) 空间。
方法二：位运算（最优解）
利用异或运算的性质，可以实现线性时间复杂度和常数空间复杂度的解法。
异或运算的性质
- 任何数与 0 异或，结果仍然是该数：
( a \oplus 0 = a ) - 任何数与自身异或，结果为 0：
( a \oplus a = 0 ) - 异或运算满足交换律和结合律：
( a \oplus b \oplus a = b \oplus (a \oplus a) = b \oplus 0 = b )
解题步骤
假设数组中有 ( 2m + 1 ) 个数，其中 ( m ) 个数各出现两次，一个数出现一次。令 ( a_1, a_2, \dots, a_m ) 为出现两次的数，( a_{m+1} ) 为只出现一次的数。根据异或运算的性质，数组中所有元素的异或结果可以表示为：
[
(a_1 \oplus a_1) \oplus (a_2 \oplus a_2) \oplus \dots \oplus (a_m \oplus a_m) \oplus a_{m+1}
]
根据性质 2 和性质 1，上式可以化简为：
[
0 \oplus 0 \oplus \dots \oplus 0 \oplus a_{m+1} = a_{m+1}
]
因此，数组中所有元素的异或结果即为只出现一次的数字。
总结
本题通过利用异或运算的性质，巧妙地实现了线性时间复杂度和常数空间复杂度的解法。这种方法不仅高效，而且简单易懂，是解决类似问题的经典思路。这题只要知道，两个数异或得到0，0与任何数异或得到自己，1与任何数异或得到反数。
