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0. 前言

一题搞清楚二分区间问题—闭区间、左闭右开、左开右闭、全开区间

0.1 题目：Problem: 441. 排列硬币

你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。

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计算m行对应的硬币数，由于是等差数列，$(首项+尾项）\ast 项数/2$ ，即：
$$(1+m)\ast m/2$$

总硬币数为n，所以我们需要比较两个的大小，即，满足

$$(1+m)\ast m/2<=n$$

变换后：

$$(1+m)\ast m<=2\ast n$$

即通过二分法不断尝试m的可能取值。

敲重点：

while 循环条件决定是闭区间还是开区间
while 循环条件决定是闭区间还是开区间
while 循环条件决定是闭区间还是开区间

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1 闭区间

闭区间，m是向上取整还是向下取整都可以，

由于是闭区间，m对应的值是可以取到的
由于是闭区间，m对应的值是可以取到的
由于是闭区间，m对应的值是可以取到的

所以，不管left 还是right的更新，都需要在m的基础上加一或是减一

举个例子：当区间为【2,2】,不满足条件时，需要更新left或right，如果此时left = m，那么就陷入了死循环；right同理。

class Solution:def arrangeCoins(self, n: int) -> int:l, r = 1, n while l <= r: # 闭区间m = (l + r )//2 #·‌向下取整，eg:·‌(3+4)//2·‌=>·‌3# m = (l + r +1)//2 if m * (m+1) <= 2*n:l = m + 1else:r = m - 1# m = (l + r + 1)//2 # 向上取整，eg (3+4+1)//2 => 4return l - 1

2 左闭右开【）

常规的默认写法是 m = (l+r)//2，这里蕴含着向下取整在里面，所以这个对应的是左闭右开。

故，当更新时，l = m+ 1 （若，当区间为【3,4】，m = (3+4)//2 = 3，l = m = 3，区间没有变化，死循环）；

而 r= m ,

class Solution:def arrangeCoins(self, n: int) -> int:l, r = 1, n while l < r: # 左闭右开区间 [)m = (l + r )//2 # 向下取整，eg: (3+4)//2 => 3if m * (m+1) <= 2*n:l = m + 1else:r = m return l - 1 if n != 1 else 1

3 左开右闭（】

由于m是向上取整，取右区间对应的值，eg: 区间为[3,4]，m = (3+4+1)//2 = 4，

右区间是取到的，所以当更新时：r = m - 1 （如果r = m，即r = 4，区间没有变化，死循环）；

而左区间取不到，所以 l = m

class Solution:def arrangeCoins(self, n: int) -> int:l, r = 1, n while l < r: # 向上取整，不加1是向下取整# 左开右闭区间 (]m = (l + r +1 )//2 # 向上取整，eg (3+4+1)//2 => 4if m * (m+1) <= 2*n:l = m else:r = m - 1return l 

4 全开区间

1. 全开区间的默认条件写法是： l +1 < r
2. 初始条件是两个不满足条件的值：l, r = 0, n + 1
3. 由于是开区间，m，向下还是向上取整都是可以的，和闭区间类似
4. 由于是left和right的更新 l = m 或r = m`

class Solution:def arrangeCoins(self, n: int) -> int:l, r = 0, n + 1 # 注意初始值while l + 1 < r: # 全开区间 ()m = (l + r )//2# m = (l + r +1)//2if m * (m+1) <= 2*n:l = melse:r = m return l# m = (l + r + 1)//2

5 总结

5.1 开区间还是闭区间，有while条件决定

* <=是闭区间
* < 开区间，具体哪种由mid的取值决定* m = (left + right)//2，向下取整，所以left能够取到，左闭右开 `[)`* m = (left + right + 1)//2, 向上取整，right能够取到，左开右闭 `(]`

5.2 left 和right的更新

* 当闭区间【】时，left = m + 1; right = m - 1
* 当全开区间（）时，left = m ; right = m
* 当左闭右开【）时，left = m + 1; right = m
* 当左开右闭（】时，lefet = m; right = m - 1

5.3 m值的计算

5.3.1 闭区间

向上向下取整都可以

m = (l + r +1)//2
m = (l + r )//2

5.3.2 左闭右开【）

m = (l + r )//2 # 向下取整，eg: (3+4)//2 => 3

5.3.3 左开右闭（】

m = (l + r + 1)//2 # 向下取整，eg: (3+4+1)//2 => 4

5.3.4 全开区间（）

都可以，同闭区间

m = (l + r +1)//2
m = (l + r )//2