关键词：M¨obius Transformations

一、说明

关于莫比乌斯变换，是一个代数几何变换的重要概念。也是双曲几何的重要理论，比如庞加莱盘就是建立在这个理论上，那么这个变换到底有哪些内容？本文将做出详细的解读。

二、线性变换和逆变换

在本节中，我们研究莫比乌斯变换，它提供了找到一个域到的一对一映射的非常方便的方法。让我们从线性变换开始。

2.1 线性变换

$$w=\phi (z):=Az+B$$
其中，其中 A 和 B 是固定复数，$A\ne 0$
$w=\phi (z):=|A|e^{iA(a)}z+B.$
正如我们所看到的，将变换分成三个部分：
1）一个变换是围绕原点经过一次旋转，旋转角度 Arg (a).
$w1:=e^{iArg(a)}z$
2）放大倍数变换（magnification）
$w2=|A|w1$
3) 一个平移变换
$w=w_3=w_2+B$

2.2 逆变换

$$z={\phi }^{-1}(w):=\frac{1}{A}(w-B)$$
显然也是一个线性变换。

通过上述分解，原来的变换就可以用相应的矩阵表示。
线性变换中的每一个都是复平面的一对一映射自身。直线和圆的变换分别是直线和圆。并且保证间隙长度不变。

三、反演变换

现在我们考虑由下式定义的反转
$w:=\frac{1}{z}$
.
很容易看出，反转是扩展的一对一映射,复平面 $\bar{\mathbb{C}}$ 到自身上（0 → ∞，反之亦然 ∞ → 0。）

3.1 过原点直线反演

我们将证明一条线的图像要么是一条线，要么是一个圆。
事实上，首先让 $l$ 通过原点。点 $\rho e^{i\theta }$ 的图像为 $\frac{1}{\rho }{e}^{-i\theta }$ 。让 ρ 从负无穷趋向正无穷，我们看到该图像是另一条穿过原点且具有一定倾斜角的线-θ.

3.2 任意直线的反演

现在让 L 由以下方程给出
$$L:Ax+By=C,$$
此时 $C\ne 0,且|A|+|B|>0$. (3)
将$w:=\frac{1}{z}$变换一个格式$z:=\frac{1}{w}$，此时，z是直线上点，w是变换后的点。
设：$w:=u+iv$那么：
$$z=\frac{\bar{w}}{|w{|}^2}=\frac{u-iv}{u^2+v^2}$$
将z的实部虚部分别引入：
$$x=\frac{u}{u^2+v^2},y=\frac{-v}{u^2+v^2}$$
由于z在直线L之上：
$$A\frac{u}{u^2+v^2}+B\frac{-v}{u^2+v^2}=C$$
化简之后：
$$u^2+v^2-\frac{A}{C}u+\frac{B}{C}v=0$$
显然，w=u+iv自身构成一个圆周。即，不过原点的直线，通过反演变换映射成圆周。

四、莫比乌斯变换

4.1 定义

在复平面上，设定下列变换：
$$w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}；,|a|+|c|>0,ad-bc\ne 0$$
这个变换称为，莫比乌斯变换。
讨论：

• 如果 c = 0，则莫比乌斯变换是线性的。
• 如果 $c\ne 0,a=0$ 那么,变换是一种反演。
• 考虑 $ac\ne 0$ 的情况。那么 w 可以是:
  写成
  
  事实上，这是线性变换的分解和反函数。我们还注意到:
  
  因此，w 在每个点 $z\ne -d/c$处都是共形的。

4.2 共形性解释

定义（共形映射）：若两区域$D_1$和$D_2$ 之间的映射，是解析同胚的，则称 是共形映射， $D_1$和$D_2$共形等价.
同胚映射是拓扑学中的概念，指两个拓扑空间之间存在一个双射，使得该双射和其逆映射都是连续映射的映射。

共形变换，拓扑同胚，它们的直观解释是：将图画在柔软可拉升的平面皮革上，皮革可以任意卷曲拉伸，但原图像信息扭曲，但不损失。

4.3 莫比乌斯变换特性

定理1：若$f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，则在$f^{\prime }(z)\ne 0$ 的点处，映射 $f(z)$ 总有保角性、伸缩率不变性.
1）令 f 为莫比乌斯变换。然后f 可以表示为放大、旋转、平移的组合和反演。
2）f 将扩展的复平面映射到其自身上。
3）f 将 Circled 和 Lines 类映射到其自身。
4）f 除其极点外，在每一点都是共形的。
特点：
1.保角性
2.保域性，保圆性，保形性，保对称点性

五、莫比乌斯变换保圆性

1，分式线性函数。分式线性函数也称为分式线性变换，或者 Moibus 变换。它的一般形式为

$w=\frac{az+b}{cz+d},ad-bc\ne 0$

若$ad-bc=0$ ，则分式线性函数为常数。因为
$$\begin{array}{rl}w& =\frac{az+b}{cz+d}=\frac{az}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ & =\frac{1}{c}\cdot \frac{a(cz+d)}{cd+d}-\frac{1}{c}\cdot \frac{ad}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ & =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}\end{array}$$

分式线性函数比较重要，是因为（1）它是单位圆上的全纯自同构群；（2）它是平面上的全纯自同构群；（3）它是扩充复平面上的亚纯自同构群。

这里，直线看成是半径为无穷大的圆。

2，分式线性变换的逆变换（分式线性函数的反函数）：$z=\frac{-dw+b}{cw+a}$
3，在扩充复平面上，分式线性函数将
（1）点 $z=-\frac{d}{c}$ 变成 $w=\infty$;
（2）$c=0$ 时，$z=\infty$ 变成 $w=\infty$；
（3）$c\ne 0$ 时，$z=\infty$ 变成 $w=\frac{a}{c}$。

4，分式线性变换的分解：分式线性变换可以分解成更简单的一些保形变换的复合。
$w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)},c\ne 0$
$w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{d}z-\frac{b}{d)}=r{e}^{i\theta }z+\frac{b}{d},c=0$
从这里可以看出，分式线性变换可以是下列几种变换的复合：
（1）$w=z+a$，平移变换；
（2）$w=e^{i\theta }z$，这是旋转变换，其中$\theta$ 是实数；
（3）$w=rz$，这是相似变换（拉伸），这里 r 是正实数；
（4）$w=\frac{1}{z}$，这称为反演变换。
关于分式线性变换，我们首先有如下的保圆性：

5，定理（分式线性变换的保圆性）：在扩充复平面上，分式线性函数将圆变成圆。

证明：（1）$w=z+a$，平移变换，将圆变成圆；

（2）$w=e^{i\theta }z$，旋转变换，将圆变成圆；

（3）$w=rz$，这是相似变换（拉伸）。只改变圆的大小，不改变形状，还是将圆变成圆；

（4）$w=\frac{1}{z}$，反演变换，也将圆变成圆，我们证明如下：

我们知道圆的一般方程为 $a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0$。若 $a=0$
，则圆的方程变成直线，而直线是半径为无穷大的圆。

若 $a\ne 0$，那么$x^2+y^2=z\cdot \bar{z},x=\frac{z+\bar{z}}{2},y=\frac{z-\bar{z}}{2i}$

所以圆的方程变为

$$\begin{array}{rl}& az\bar{z}+\frac{b}{2}(z+\bar{z})+\frac{c}{2i}(a-\bar{z})+d=0\\ & az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2i}\right)z(z+\bar{z})+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2i}\right)\bar{z}+d=0\\ & az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2}i\right)z+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right)\bar{z}+d=0\\ & az\bar{z}+\bar{\beta }z+\beta \bar{z}+d=0\end{array}$$

这就是圆的一般方程的复数表示。这里 $\beta =\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right)$。

我们将反演变换 $w=\frac{1}{z}$
代入上式，得到

$$\begin{array}{rl}& a\frac{1}{w}\cdot \frac{1}{\bar{w}}+\bar{\beta }\frac{1}{w}+\beta \frac{1}{\bar{z}}+d=0\\ (\text{同乘以}w\bar{w})& a+\bar{\beta }\cdot \bar{w}+\beta w+dw\bar{w}=0\\ & dw\bar{w}+\beta w+\bar{\beta }\cdot \bar{w}+a=0\end{array}$$
这仍然是一个圆的方程。所以反演变换将圆变成圆。
综合以上四种情形，我们知道，分式线性变换将圆变成圆。因为分式线性变换是由上面四种变换复合而成的。这就证明了分式线性变换的保圆性。

六、莫比乌斯变换群

6.1 关于代数群

群是一个代数模式，如果一种变换模式能够纳入群的轨道（也就是符合群的规定），那么将有诸多的方便，不仅是证明思路清晰，而且有良好的操作性（便于计算机程序实现）。

6.2 群的定义

如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算， ，满足如下性质：
（1）封闭性，即对于 $\forall a,b\in G$ ，有 $a\cdot b\in G$ ;
（2）结合律，即对于 $\forall a,b,c\in G$，有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ；
（3）存在 $e\in G$ ，使得$\forall c\in G$有 $e\cdot c=c\cdot e=c$
（4）对于 $\forall a\in G$ ，存在 $\forall b\in G$ ，使得 $(a\cdot b)=(b\cdot a)=e$
则称 G 关于运算 $\cdot$ 构成一个群（group），记为 $（G，\cdot ）$

6.3 莫比乌斯变换群

要证明莫比乌斯变换是个群，只要证明这个变换符合群的四个规定就可以了。
先给出变换形式：

$$w=\frac{az+b}{cz+d},ad-bc\ne 0$$

（ 若$ad-bc=0$ ，则分式退化成线性变换。）

• 1. 封闭性，莫比乌斯无论怎样变换，都是${\mathbb{C}}^2$的映射，因此封闭性成立。
• 2）证明存在逆元、幺元
  证明存在反函数，而且，正函数和反函数的复合为1；
  若有反函数 $$z=f^{-1}(w)$$ 反函数与正函数的复合等于1写成： $$f\circ f^{-1}\equiv I$$其中$I$是单位常数)

可以直接计算：
$$f^{-1}（w）=\frac{dw-b}{-cw+a}$$
$$f\circ f^{-1}(w)=\frac{a(\frac{dw-b}{-cw+a})+b}{c(\frac{dw-b}{-cw+a})+d}$$
$$f\circ f^{-1}(w)=w$$
$$f\circ f^{-1}=1$$
反之 $f^{-1}\circ f=1$也成立。
（即逆元和幺元存在）

• 3）莫比乌斯变换是可以结合的。
  对于多个莫比乌斯变换，如下，检查两个莫比乌斯变换的复合变换，直接带入：
  
  显然，两个莫比乌斯变换的复合，形式上可以写成第三个莫比乌斯变换。因此，莫比乌斯变换的复合变换符合结合律。
  综合以上的结论，莫比乌斯变换是一个变换群。

（未完待续… ）