莫比乌斯变换的数学原理

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关键词:M¨obius Transformations

一、说明

关于莫比乌斯变换,是一个代数几何变换的重要概念。也是双曲几何的重要理论,比如庞加莱盘就是建立在这个理论上,那么这个变换到底有哪些内容?本文将做出详细的解读。

二、线性变换和逆变换

在本节中,我们研究莫比乌斯变换,它提供了找到一个域到的一对一映射的非常方便的方法。让我们从线性变换开始。

2.1 线性变换

w = φ ( z ) : = A z + B w = φ(z) := Az + B w=φ(z):=Az+B
其中,其中 A 和 B 是固定复数, A ≠ 0 A \neq 0 A=0
w = φ ( z ) : = ∣ A ∣ e i A ( a ) z + B . w = φ(z) := |A|e^{iA(a)}z + B. w=φ(z):=AeiA(a)z+B.
正如我们所看到的,将变换分成三个部分:
1)一个变换是围绕原点经过一次旋转,旋转角度 Arg (a).
w 1 : = e i A r g ( a ) z w1 := e^{iArg (a)}z w1:=eiArg(a)z
2)放大倍数变换(magnification)
w 2 = ∣ A ∣ w 1 w2 = |A|w1 w2=Aw1
3) 一个平移变换
w = w 3 = w 2 + B w = w_3 = w_2 + B w=w3=w2+B

2.2 逆变换

z = φ − 1 ( w ) : = 1 A ( w − B ) z = φ^{-1}(w) := \frac{1}{A}(w - B) z=φ1(w):=A1(wB)
显然也是一个线性变换。

通过上述分解,原来的变换就可以用相应的矩阵表示。
线性变换中的每一个都是复平面的一对一映射自身。直线和圆的变换分别是直线和圆。并且保证间隙长度不变。

三、反演变换

现在我们考虑由下式定义的反转
w : = 1 z w :=\frac{1}{z} w:=z1
.
很容易看出,反转是扩展的一对一映射,复平面 C ˉ \mathbb{\bar{C}} Cˉ 到自身上(0 → ∞,反之亦然 ∞ → 0。)

3.1 过原点直线反演

我们将证明一条线的图像要么是一条线,要么是一个圆。
事实上,首先让 l l l 通过原点。点 ρ e i θ ρe^{iθ} ρeiθ 的图像为 1 ρ e − i θ \frac{1}{ρ}e^{-iθ} ρ1eiθ 。让 ρ 从负无穷趋向正无穷,我们看到该图像是另一条穿过原点且具有一定倾斜角的线-θ.

3.2 任意直线的反演

现在让 L 由以下方程给出
L : A x + B y = C , L : Ax + By = C, L:Ax+By=C,
此时 C ≠ 0 , 且 ∣ A ∣ + ∣ B ∣ > 0 C\neq 0, 且 |A| + |B| > 0 C=0,A+B>0. (3)
w : = 1 z w :=\frac{1}{z} w:=z1变换一个格式 z : = 1 w z :=\frac{1}{w} z:=w1,此时,z是直线上点,w是变换后的点。
设: w : = u + i v w :=u+iv w:=u+iv那么:
z = w ˉ ∣ w ∣ 2 = u − i v u 2 + v 2 z =\frac{\bar{w}}{|w|^2}=\frac{u − iv}{u^2 + v^2} z=w2wˉ=u2+v2uiv
将z的实部虚部分别引入:
x = u u 2 + v 2 , y = − v u 2 + v 2 x =\frac{u}{u^2 + v^2}, y =\frac{−v}{u^2 + v^2} x=u2+v2u,y=u2+v2v
由于z在直线L之上:
A u u 2 + v 2 + B − v u 2 + v 2 = C A\frac{u}{u^2 + v^2}+B\frac{−v}{u^2 + v^2}=C Au2+v2u+Bu2+v2v=C
化简之后:
u 2 + v 2 − A C u + B C v = 0 u^2+v^2-\frac{A}{C}u+\frac{B}{C}v=0 u2+v2CAu+CBv=0
显然,w=u+iv自身构成一个圆周。即,不过原点的直线,通过反演变换映射成圆周。

四、莫比乌斯变换

4.1 定义

在复平面上,设定下列变换:
w = f ( z ) = a z + b c z + d ; , ∣ a ∣ + ∣ c ∣ > 0 , a d − b c ≠ 0 w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d};, |a| + |c| > 0, ad − bc \neq0 w=f(z)=cz+daz+b,a+c>0,adbc=0
这个变换称为,莫比乌斯变换。
讨论:

  • 如果 c = 0,则莫比乌斯变换是线性的。
  • 如果 c ≠ 0 , a = 0 c\neq 0, a = 0 c=0,a=0 那么,变换是一种反演。
  • 考虑 a c ≠ 0 ac \neq 0 ac=0 的情况。那么 w 可以是:
    写成
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    事实上,这是线性变换的分解和反函数。我们还注意到:
    在这里插入图片描述
    因此,w 在每个点 z ≠ − d / c z \neq -d/c z=d/c处都是共形的。

4.2 共形性解释

定义(共形映射):若两区域 D 1 D_1 D1 D 2 D_2 D2 之间的映射,是解析同胚的,则称 是共形映射, D 1 D_1 D1 D 2 D_2 D2共形等价.
同胚映射是拓扑学中的概念,指两个拓扑空间之间存在一个双射,使得该双射和其逆映射都是连续映射的映射。
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共形变换,拓扑同胚,它们的直观解释是:将图画在柔软可拉升的平面皮革上,皮革可以任意卷曲拉伸,但原图像信息扭曲,但不损失。
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4.3 莫比乌斯变换特性

定理1:若 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内解析,则在 f ′ ( z ) ≠ 0 f'(z) \neq 0 f(z)=0 的点处,映射 f ( z ) f(z) f(z) 总有保角性、伸缩率不变性.
1)令 f 为莫比乌斯变换。然后f 可以表示为放大、旋转、平移的组合和反演。
2)f 将扩展的复平面映射到其自身上。
3)f 将 Circled 和 Lines 类映射到其自身。
4)f 除其极点外,在每一点都是共形的。
特点:
1.保角性
2.保域性,保圆性,保形性,保对称点性

五、莫比乌斯变换保圆性

1,分式线性函数。分式线性函数也称为分式线性变换,或者 Moibus 变换。它的一般形式为

w = a z + b c z + d , a d − b c ≠ 0 w=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne 0 w=cz+daz+b,adbc=0

a d − b c = 0 ad-bc=0 adbc=0 ,则分式线性函数为常数。因为
w = a z + b c z + d = a z c z + d + b c z + d = 1 c ⋅ a ( c z + d ) c d + d − 1 c ⋅ a d c z + d + b c z + d = a c − a d − b c c ( c z + d ) = a c \begin{align*}w&=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{az}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ &=\frac{1}{c}\cdot\frac{a(cz+d)}{cd+d}-\frac{1}{c}\cdot\frac{ad}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ &=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}\end{align*} w=cz+daz+b=cz+daz+cz+db=c1cd+da(cz+d)c1cz+dad+cz+db=cac(cz+d)adbc=ca

分式线性函数比较重要,是因为(1)它是单位圆上的全纯自同构群;(2)它是平面上的全纯自同构群;(3)它是扩充复平面上的亚纯自同构群。

这里,直线看成是半径为无穷大的圆。

2,分式线性变换的逆变换(分式线性函数的反函数): z = − d w + b c w + a \displaystyle z=\frac{-dw+b}{cw+a} z=cw+adw+b
3,在扩充复平面上,分式线性函数将
(1)点 z = − d c z=-\frac{d}{c} z=cd 变成 w = ∞ w=\infty w=;
(2) c = 0 c=0 c=0 时, z = ∞ z=\infty z= 变成 w = ∞ w=\infty w=
(3) c ≠ 0 c\ne 0 c=0 时, z = ∞ z=\infty z= 变成 w = a c w=\frac{a}{c} w=ca

4,分式线性变换的分解:分式线性变换可以分解成更简单的一些保形变换的复合。
w = a z + b c z + d = a c − a d − b c c ( c z + d ) , c ≠ 0 w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)},\qquad c\ne 0 w=cz+daz+b=cac(cz+d)adbc,c=0
w = a z + b c z + d = a d z − b d ) = r e i θ z + b d , c = 0 w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{d}z-\frac{b}{d)}=re^{i\theta}z+\frac{b}{d},\qquad c=0 w=cz+daz+b=dazd)b=reiθz+db,c=0
从这里可以看出,分式线性变换可以是下列几种变换的复合:
(1) w = z + a w=z+a w=z+a,平移变换;
(2) w = e i θ z w=e^{i\theta}z w=eiθz,这是旋转变换,其中 θ \theta θ 是实数;
(3) w = r z w=rz w=rz,这是相似变换(拉伸),这里 r 是正实数;
(4) w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1,这称为反演变换。
关于分式线性变换,我们首先有如下的保圆性:

5,定理(分式线性变换的保圆性):在扩充复平面上,分式线性函数将圆变成圆。

证明:(1) w = z + a w=z+a w=z+a,平移变换,将圆变成圆;

(2) w = e i θ z w=e^{i\theta}z w=eiθz,旋转变换,将圆变成圆;

(3) w = r z w=rz w=rz,这是相似变换(拉伸)。只改变圆的大小,不改变形状,还是将圆变成圆;

(4) w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1,反演变换,也将圆变成圆,我们证明如下:

我们知道圆的一般方程为 a ( x 2 + y 2 ) + b x + c y + d = 0 a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0 a(x2+y2)+bx+cy+d=0。若 a = 0 a=0 a=0
,则圆的方程变成直线,而直线是半径为无穷大的圆。

a ≠ 0 a\ne 0 a=0,那么 x 2 + y 2 = z ⋅ z ˉ , x = z + z ˉ 2 , y = z − z ˉ 2 i x^2+y^2=z\cdot \bar{z},\quad x=\frac{z+\bar{z}}{2},\quad y=\frac{z-\bar{z}}{2i} x2+y2=zzˉ,x=2z+zˉ,y=2izzˉ

所以圆的方程变为

a z z ˉ + b 2 ( z + z ˉ ) + c 2 i ( a − z ˉ ) + d = 0 a z z ˉ + ( b 2 + c 2 i ) z ( z + z ˉ ) + ( b 2 − c 2 i ) z ˉ + d = 0 a z z ˉ + ( b 2 − c 2 i ) z + ( b 2 + c 2 i ) z ˉ + d = 0 a z z ˉ + β ˉ z + β z ˉ + d = 0 \begin{align*}& az\bar{z}+\frac{b}{2}(z+\bar{z})+\frac{c}{2i}(a-\bar{z})+d=0\\ &az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2i}\right)z(z+\bar{z})+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2i}\right)\bar{z}+d=0\\ &az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2}i\right)z+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right)\bar{z}+d=0\\ &az\bar{z}+\bar{\beta}z+\beta\bar{z}+d=0\end{align*} azzˉ+2b(z+zˉ)+2ic(azˉ)+d=0azzˉ+(2b+2ic)z(z+zˉ)+(2b2ic)zˉ+d=0azzˉ+(2b2ci)z+(2b+2ci)zˉ+d=0azzˉ+βˉz+βzˉ+d=0

这就是圆的一般方程的复数表示。这里 β = ( b 2 + c 2 i ) \beta=\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right) β=(2b+2ci)

我们将反演变换 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1
代入上式,得到

a 1 w ⋅ 1 w ˉ + β ˉ 1 w + β 1 z ˉ + d = 0 ( 同乘以 w w ˉ ) a + β ˉ ⋅ w ˉ + β w + d w w ˉ = 0 d w w ˉ + β w + β ˉ ⋅ w ˉ + a = 0 \begin{align*}&a\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{\bar{w}}+\bar{\beta}\frac{1}{w}+\beta\frac{1}{\bar{z}}+d=0\\ (\text{同乘以} w\bar{w})\quad& a+\bar{\beta}\cdot \bar{w}+\beta w+dw\bar{w}=0\\ &dw\bar{w}+\beta w+\bar{\beta}\cdot \bar{w}+a=0\end{align*} (同乘以wwˉ)aw1wˉ1+βˉw1+βzˉ1+d=0a+βˉwˉ+βw+dwwˉ=0dwwˉ+βw+βˉwˉ+a=0
这仍然是一个圆的方程。所以反演变换将圆变成圆。
综合以上四种情形,我们知道,分式线性变换将圆变成圆。因为分式线性变换是由上面四种变换复合而成的。这就证明了分式线性变换的保圆性。

六、莫比乌斯变换群

6.1 关于代数群

群是一个代数模式,如果一种变换模式能够纳入群的轨道(也就是符合群的规定),那么将有诸多的方便,不仅是证明思路清晰,而且有良好的操作性(便于计算机程序实现)。

6.2 群的定义

如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算, ,满足如下性质:
(1)封闭性,即对于 ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G a,bG ,有 a ⋅ b ∈ G a \cdot b \in G abG ;
(2)结合律,即对于 ∀ a , b , c ∈ G \forall a,b,c \in G a,b,cG,有 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (ab)c=a(bc)
(3)存在 e ∈ G e \in G eG ,使得 ∀ c ∈ G \forall c \in G cG e ⋅ c = c ⋅ e = c e \cdot c = c \cdot e=c ec=ce=c
(4)对于 ∀ a ∈ G \forall a \in G aG ,存在 ∀ b ∈ G \forall b \in G bG ,使得 ( a ⋅ b ) = ( b ⋅ a ) = e (a \cdot b)= (b \cdot a)=e (ab)=(ba)=e
则称 G 关于运算 ⋅ \cdot 构成一个群(group),记为 ( G , ⋅ ) (G,\cdot) G

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6.3 莫比乌斯变换群

要证明莫比乌斯变换是个群,只要证明这个变换符合群的四个规定就可以了。
先给出变换形式:

w = a z + b c z + d , a d − b c ≠ 0 w=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne 0 w=cz+daz+b,adbc=0

( 若 a d − b c = 0 ad-bc=0 adbc=0 ,则分式退化成线性变换。)

    1. 封闭性,莫比乌斯无论怎样变换,都是 C 2 \mathbb{C}^2 C2的映射,因此封闭性成立。
  • 2)证明存在逆元、幺元
    证明存在反函数,而且,正函数和反函数的复合为1;
    若有反函数 z = f − 1 ( w ) z = f^{−1}(w) z=f1(w) 反函数与正函数的复合等于1写成: f ∘ f − 1 ≡ I f \circ f^{−1} ≡ I ff1I其中 I I I是单位常数)

可以直接计算:
f − 1 ( w ) = d w − b − c w + a f^{−1}(w)= \frac {dw-b}{-cw+a} f1w=cw+adwb
f ∘ f − 1 ( w ) = a ( d w − b − c w + a ) + b c ( d w − b − c w + a ) + d f \circ f^{−1}(w) =\frac{a(\frac {dw-b}{-cw+a})+b}{ {c(\frac {dw-b}{-cw+a})+d}} ff1(w)=c(cw+adwb)+da(cw+adwb)+b
f ∘ f − 1 ( w ) = w f \circ f^{−1}(w) =w ff1(w)=w
f ∘ f − 1 = 1 f \circ f^{−1} =1 ff1=1
反之 f − 1 ∘ f = 1 f^{−1} \circ f =1 f1f=1也成立。
(即逆元和幺元存在)

  • 3)莫比乌斯变换是可以结合的。
    对于多个莫比乌斯变换,如下,检查两个莫比乌斯变换的复合变换,直接带入:
    在这里插入图片描述
    显然,两个莫比乌斯变换的复合,形式上可以写成第三个莫比乌斯变换。因此,莫比乌斯变换的复合变换符合结合律。
    综合以上的结论,莫比乌斯变换是一个变换群。

(未完待续… )

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