题目

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]
示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

提示：

n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 20
-1000 <= matrix[i][j] <= 1000

题解

class Solution {
public:void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {int m = matrix.size();for(int i = 0; i < m; ++i){for(int j = i; j < m; ++j){swap(matrix[i][j],matrix[j][i]);}}for(int i = 0; i < m; ++i){int left = 0, right = m - 1;while(left < right){swap(matrix[i][left],matrix[i][right]);left++;right--;}}}
};

算法原理

1. 转置矩阵

• 定义：转置矩阵是将矩阵的行和列交换，即原矩阵中 matrix[i][j] 的位置变为 matrix[j][i]。
• 几何意义：转置操作相当于将矩阵绕主对角线（从左上到右下）镜像翻转。
• 代码实现：

  for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = i; j < n; ++j) {swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);}
  }
  

  • 外层循环遍历每一行 i。
  • 内层循环从 j = i 开始遍历列，避免重复交换元素（如 matrix[i][j] 和 matrix[j][i] 会被交换两次）。

2. 反转每一行

• 定义：将转置后的矩阵的每一行元素逆序排列。
• 几何意义：反转行操作相当于将矩阵绕垂直中线（中间列）镜像翻转。
• 代码实现：

  for (int i = 0; i < n; ++i) {int left = 0, right = n - 1;while (left < right) {swap(matrix[i][left], matrix[i][right]);left++;right--;}
  }
  

  • 对于每一行 i，使用双指针 left 和 right 分别指向行的首尾。
  • 交换首尾元素并向中间移动指针，直到指针相遇。

数学推导

• 顺时针旋转 90 度的坐标变换：
  • 原位置 (i, j) 旋转后的坐标为 (j, n-1-i)。
• 转置与反转的组合：
  • 转置后：(i, j) → (j, i)。
  • 反转行后：(j, i) → (j, n-1-i)（行反转使 i 变为 n-1-i）。
  • 最终结果与顺时针旋转的坐标变换一致。

示例验证

以示例 1 为例：

原矩阵：
1 2 3
4 5 6
7 8 9转置后：
1 4 7
2 5 8
3 6 9反转每一行后：
7 4 1
8 5 2
9 6 3 → 正确结果

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，需遍历矩阵两次。
• 空间复杂度：$O(1)$，原地操作无需额外空间。