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1. 树型结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 

1.2 概念 

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3

树的度:一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3

叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点； 如上图：J、F、K、L、H、I

双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点:一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次:从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度:树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

  2. 二叉树    

2.1 概念 

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左 右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

       

 2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是2的k次方减一，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质 

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ） 

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ） 

2.4 二叉树的存储 

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。 

顺序存储先不在此介绍

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.5 二叉树的遍历

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的 

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

1. 前中后序遍历 

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加 1)。

遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按 照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。

如果N代表根节点，L代表根节点的 左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)—访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。

LNR：中序遍历(Inorder Traversal)—根的左子树--->根节点--->根的右子树。

LRN：后序遍历(Postorder Traversal)—根的左子树--->根的右子树--->根节点。

// 前序遍历
void preOrder(Node root);
// 中序遍历
void inOrder(Node root);
// 后序遍历
void postOrder(Node root);

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 1 5 6 4 1 

2. 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

我们给出以下二叉树： 

前：ABDEHCFG
中：DBEHAFCG
后：DHEBFGCA 

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(A)

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根点为(A)

A: E B: F C: G D: H

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历列为(D)

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的列为(A)

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

下节我们实现二叉树