引言
在深度学习领域中，我们经常处理的是独立同分布（i.i.d）的数据，比如图像分类、文本生成等任务，其中每个样本之间相互独立。然而，在现实生活中，许多数据具有时序结构，例如语言模型中的单词序列、股票价格随时间的变化、视频中的帧等。对于这类具有时序关系的数据，传统的深度学习模型可能无法很好地捕捉到其内在的 时间相关性 。为了解决这一问题，循环神经网络（Recurrent Neural Network, RNN）被广泛应用于处理时序数据。
为什么说反向传播算法不能处理时序数据呢？
在传统的反向传播算法中，处理静态数据时，网络的输出 y ^ \hat{y} y^ 通常只依赖于当前时刻的隐藏状态 h h h，其更新规则可以表示为：
h = W x + b h = Wx + b h=Wx+b
y ^ = V h + c \hat{y} = Vh + c y^=Vh+c
其中， h h h 是隐藏状态， x x x 是输入， W W W 和 V V V 是网络的参数， b b b 和 c c c 是偏置项。
与传统反向传播算法不同，BPTT（Back-Propagation Through Time）算法引入了时间维度，并考虑了序列数据中的时序关系。在 BPTT 中，隐藏状态 h t h_t ht 的更新规则包含了当前时刻的输入 X t X_t Xt 和上一个时刻的隐藏状态 h t − 1 h_{t-1} ht−1，从而能够更好地捕捉到序列数据中的时间相关性。
h t = f ( U X t + W h t − 1 ) h_t = f(UX_t + Wh_{t-1}) ht=f(UXt+Wht−1)
y t ^ = f ( V h t ) \hat{y_t} = f(Vh_t) yt^=f(Vht)
RNN 结构与BPTT
首先，让我们来了解一下常见的循环神经网络结构。在 RNN 中，隐藏状态会随着时间步的推移而更新，并在每个时间步生成一个输出。这种结构允许网络捕捉到序列数据中的时间相关性，使得其在时序任务中表现出色。
一个常见的RNN结构如下所示：
在RNN中，参数U、V和W是共享的，这意味着它们在每个时间步都保持不变。这意味着它们的值在整个模型运行过程中 始终保持一致 。
BPTT算法概述
前向传播
在 RNN 中，前向传播阶段通过计算隐藏状态和输出来生成预测结果。
h t = f ( U X t + W h t − 1 ) h_t = f(UX_t + Wh_{t-1}) ht=f(UXt+Wht−1)
y t ^ = f ( V h t ) \hat{y_t} = f(Vh_t) yt^=f(Vht)
损失函数
这些结果与真实标签之间的差异通过损失函数来衡量，我们的目标是最小化这个损失函数。整个网络的损失值 L L L是每个时刻损失值 L t L_t Lt的求和，其中 L t L_t Lt是关于预测值 y t ^ \hat{y_t} yt^的函数。
L t = f ( y t ^ ) L_t = f(\hat{y_t}) Lt=f(yt^)
L = ∑ i = 1 T L t L = \sum_{i=1}^{T} L_t L=i=1∑TLt
损失函数 L L L 可以表示为：
- 均方误差（MSE）：
L = ∑ t = 1 T 1 2 ( y t − y ^ t ) 2 L = \sum_{t=1}^T \frac{1}{2} (y_t - \hat{y}_t)^2 L=t=1∑T21(yt−y^t)2
这里，我们计算每个时间步的输出 y t y_t yt 与真实输出 y ^ t \hat{y}_t y^t 之间的平方误差，并将所有时间步的误差求和。- 交叉熵损失：
L = − ∑ t = 1 T [ y ^ t log ( y t ) + ( 1 − y ^ t ) log ( 1 − y t ) ] L = -\sum_{t=1}^T [\hat{y}_t \log(y_t) + (1 - \hat{y}_t) \log(1 - y_t)] L=−t=1∑T[y^tlog(yt)+(1−y^t)log(1−yt)]
这里，我们计算每个时间步的输出 y t y_t yt 与真实输出 y ^ t \hat{y}_t y^t 之间的交叉熵损失，并将所有时间步的损失求和。
反向传播
接下来，我们使用BPTT算法（随时间反向传播，Back-Propagation Through Time，BPTT）进行反向传播。在这一步中，我们计算损失函数对参数U、V和W的偏导数，以便更新参数以最小化损失。
为什么要使用整个序列的损失函数L对参数U、V和W求导呢？
这是因为我们的目标是最小化整个序列的损失。在梯度下降算法中，梯度指向了损失函数增长最快的方向。因此，通过对整个序列的损失函数求导，我们可以找到在参数空间中使得损失函数逐步减小的方向，然后通过反向传播来更新参数。
由于RNN处理的是时序数据，因此需要基于时间进行反向传播，这也是BPTT名称的由来。尽管BPTT是在时序数据上进行反向传播，但本质上它仍然是反向传播算法，因此求解每个时间步的梯度是该算法的核心操作。
梯度计算
我们以一个长度为3的时间序列为例，展示对于参数U、V和W的偏导数的计算过程。
首先看看前向传播的计算
隐藏层输出：
h t = f ( U X t + W h t − 1 ) h_t = f(UX_t + Wh_{t-1}) ht=f(UXt+Wht−1)
为什么“RNN的隐藏状态更新规则是 h t = f ( U X t + W h t − 1 ) h_t = f(UX_t + Wh_{t-1}) ht=f(UXt+Wht−1)”？
从数学角度来看，这个更新规则是由RNN的结构决定的。在RNN中，隐藏状态
h t h_t ht 是
- 由当前时间步的输入 X t X_t Xt
- 前一个时间步的隐藏状态 h t − 1 h_{t-1} ht−1
组合而成的。通过线性变换 U X t + W h t − 1 UX_t + Wh_{t-1} UXt+Wht−1，加上激活函数 f f f 的作用，得到了新的隐藏状态 h t h_t ht。这个结构使得RNN能够记忆之前的信息并将其应用于当前的预测任务中。
输出层：
y t ^ = f ( V h t ) \hat{y_t} = f(Vh_t) yt^=f(Vht)
- h t h_t ht 是隐藏状态
- y t ^ \hat{y_t} yt^ 是输出值
- X t X_t Xt 输入的序列
- f f f是激活函数
将上面的RNN用数学表达式来表示就是
{ h 1 = f ( U x 1 + W h 0 ) y ^ 1 = f ( V h 1 ) \left\{\begin{array}{l}h_{1}=f\left(U x_{1}+W h_{0}\right) \\\hat{y}_{1}=f\left(V h_{1}\right)\end{array}\right. {h1=f(Ux1+Wh0)y^1=f(Vh1)
{ h 2 = f ( U x 2 + W h 1 ) y ^ 2 = f ( V h 2 ) \left\{\begin{array}{l}h_{2}=f\left(U x_{2}+W h_{1}\right) \\\hat{y}_{2}=f\left(V h_{2}\right)\end{array}\right. {h2=f(Ux2+Wh1)y^2=f(Vh2)
{ h 3 = f ( U x 3 + W h 2 ) y ^ 3 = f ( V h 1 ) \left\{\begin{array}{l}h_{3}=f\left(U x_{3}+W h_{2}\right) \\\hat{y}_{3}=f\left(V h_{1}\right)\end{array}\right. {h3=f(Ux3+Wh2)y^3=f(Vh1)
针对 t = 3 t=3 t=3时刻，求U，V，W的梯度（偏导），使用链式法则得到：
∂ L 3 ∂ V = ∂ L 3 y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ V \frac{\partial L_3}{\partial V} = \frac{\partial L_3}{\hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial V} ∂V∂L3=y^3∂L3×∂V∂y^3
∂ L 3 ∂ W = ∂ L 3 ∂ y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ h 3 × ∂ h 3 ∂ W + ∂ L 3 ∂ y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ h 3 × ∂ h 3 ∂ h 2 × ∂ h 2 ∂ W + ∂ L 3 ∂ y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ h 3 × ∂ h 3 ∂ h 2 × ∂ h 2 ∂ h 1 × ∂ h 1 ∂ W \frac{\partial L_{3}}{\partial W}=\frac{\partial L_{3}}{\partial \hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial h_{3}} \times \frac{\partial h_{3}}{\partial W}+\frac{\partial L_{3}}{\partial \hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial h_{3}} \times \frac{\partial h_{3}}{\partial h_{2}} \times \frac{\partial h_{2}}{\partial W}+\frac{\partial L_{3}}{\partial \hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial h_{3}} \times\frac{\partial h_{3}}{\partial h_{2}} \times \frac{\partial h_{2}}{\partial h_{1}} \times \frac{\partial h_{1}}{\partial W} ∂W∂L3=∂y^3∂L3×∂h3∂y^3×∂W∂h3+∂y^3∂L3×∂h3∂y^3×∂h2∂h3×∂W∂h2+∂y^3∂L3×∂h3∂y^3×∂h2∂h3×∂h1∂h2×∂W∂h1
∂ L 3 ∂ U = ∂ L 3 ∂ y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ h 3 × ∂ h 3 ∂ U + ∂ L 3 ∂ y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ h 3 × ∂ h 3 ∂ h 2 × ∂ h 2 ∂ U + ∂ L 3 ∂ y ^ 3 × ∂ y ^ 3 ∂ h 3 × ∂ h 3 ∂ h 2 × ∂ h 2 ∂ h 1 × ∂ h 1 ∂ U \frac{\partial L_{3}}{\partial U}=\frac{\partial L_{3}}{\partial \hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial h_{3}} \times \frac{\partial h_{3}}{\partial U}+\frac{\partial L_{3}}{\partial \hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial h_{3}} \times \frac{\partial h_{3}}{\partial h_{2}} \times \frac{\partial h_{2}}{\partial U}+\frac{\partial L_{3}}{\partial \hat{y}_{3}} \times \frac{\partial \hat{y}_{3}}{\partial h_{3}} \times\frac{\partial h_{3}}{\partial h_{2}} \times \frac{\partial h_{2}}{\partial h_{1}} \times \frac{\partial h_{1}}{\partial U} ∂U∂L3=∂y^3∂L3×∂h3∂y^3×∂U∂h3+∂y^3∂L3×∂h3∂y^3×∂h2∂h3×∂U∂h2+∂y^3∂L3×∂h3∂y^3×∂h2∂h3×∂h1∂h2×∂U∂h1
其实这个时候我们就可以看出，W和U两个参数的需要追溯之前的历史数据，参数V只需关注目前
所以，我们可以根据t3时刻的偏导，来计算任意时刻对U，V，W的偏导
对于V的偏导
对于V的偏导，我们直接将3替换成t即可：
∂ L t ∂ V = ∂ L t y ^ t × ∂ y ^ t ∂ V \frac{\partial L_t}{\partial V} = \frac{\partial L_t}{\hat{y}_{t}} \times \frac{\partial \hat{y}_{t}}{\partial V} ∂V∂Lt=y^t∂Lt×∂V∂y^t
对于W的偏导
对于W的偏导，在 t = 3 t=3 t=3的时刻有三项，那么对应的在T时刻就有T项
∂ L t ∂ W = ∑ k = 1 t ∂ L t ∂ y t ^ × ∂ y t ^ ∂ h t × ∂ h t ∂ h k × ∂ h k W \frac{\partial L_{t}}{\partial W}= \sum_{k=1}^{t} \frac{\partial L_t}{\partial \hat{y_t} } \times \frac{\partial \hat{y_t} }{\partial h_t} \times \frac{\partial h_t}{\partial h_k} \times \frac{\partial h_k}{W} ∂W∂Lt=k=1∑t∂yt^∂Lt×∂ht∂yt^×∂hk∂ht×W∂hk
其中的 ∂ h t ∂ h k \frac{\partial h_t}{\partial h_k} ∂hk∂ht，我们可以进行展开：
例如在 k = 1 k=1 k=1时， ∂ h 3 ∂ h 1 = ∂ h 3 ∂ h 2 × ∂ h 2 ∂ h 1 \frac{\partial h_3}{\partial h_1} = \frac{\partial h_3}{\partial h_2} \times \frac{\partial h_2}{\partial h_1} ∂h1∂h3=∂h2∂h3×∂h1∂h2
所以我们推导得到以下式子：
∂ h t ∂ h k = ∂ h t ∂ h k × ∂ h t − 1 ∂ h t − 2 × . . . × ∂ h t − k + 1 ∂ h k \frac{\partial h_t}{\partial h_k} = \frac{\partial h_t}{\partial h_k} \times \frac{\partial h_{t-1}}{\partial h_{t-2}} \times ... \times \frac{\partial h_{t-k+1}}{\partial h_{k}} ∂hk∂ht=∂hk∂ht×∂ht−2∂ht−1×...×∂hk∂ht−k+1
也就是等于：
∂ h t ∂ h k = ∏ i = k + 1 t ∂ h i ∂ h i − 1 \frac{\partial h_t}{\partial h_k} = \prod_{i = k+1}^{t} \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ∂hk∂ht=i=k+1∏t∂hi−1∂hi
所以，
∂ L t ∂ W = ∑ k = 1 t ∂ L t ∂ y t ^ × ∂ y t ^ ∂ h t × ( ∏ i = k + 1 t ∂ h i ∂ h i − 1 ) × ∂ h k W \frac{\partial L_{t}}{\partial W}= \sum_{k=1}^{t} \frac{\partial L_t}{\partial \hat{y_t} } \times \frac{\partial \hat{y_t} }{\partial h_t} \times (\prod_{i = k+1}^{t} \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ) \times \frac{\partial h_k}{W} ∂W∂Lt=k=1∑t∂yt^∂Lt×∂ht∂yt^×(i=k+1∏t∂hi−1∂hi)×W∂hk
对于U的偏导
同样的，我们也可以得到对于U的偏导
∂ L t ∂ U = ∑ k = 1 t ∂ L t ∂ y t ^ × ∂ y t ^ ∂ h t × ( ∏ i = k + 1 t ∂ h i ∂ h i − 1 ) × ∂ h k U \frac{\partial L_{t}}{\partial U}= \sum_{k=1}^{t} \frac{\partial L_t}{\partial \hat{y_t} } \times \frac{\partial \hat{y_t} }{\partial h_t} \times (\prod_{i = k+1}^{t} \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ) \times \frac{\partial h_k}{U} ∂U∂Lt=k=1∑t∂yt^∂Lt×∂ht∂yt^×(i=k+1∏t∂hi−1∂hi)×U∂hk
为什么U也是这样的链式求导？
h t = f ( U X t + W h t − 1 ) h_t = f(UX_t + Wh_{t-1}) ht=f(UXt+Wht−1)
U也是通过链式法则求导的，因为隐藏状态 h t h_t ht是由 U U U、 X t X_t Xt和 h t − 1 h_{t-1} ht−1共同决定的。因此，当我们计算损失函数关于U的偏导数时，需要考虑 h t h_t ht对 U U U的影响，而 h t h_t ht又依赖于 h t − 1 h_{t-1} ht−1，因此需要使用链式法则进行求导。
当前我们得到了是t时刻的导数，现在我们需要推广到整个网络中的损失值对U，V，W的偏导
总的损失值
因为和的导数等于导数，所以我们可以直接将 L = ∑ i = 1 T L t L = \sum_{i=1}^{T} L_t L=∑i=1TLt前面的求和符号提出来
所以有，
∂ L ∂ W = ∑ i = 1 T ∂ L t ∂ W \frac{\partial L}{\partial W}= \sum_{i=1}^{T} \frac{\partial L_t}{\partial W} ∂W∂L=i=1∑T∂W∂Lt
现在我们只需要将前面求得的t时刻的带入即可，
∂ L ∂ W = ∑ i = 1 T ∑ k = 1 t ∂ L t ∂ y t ^ × ∂ y t ^ ∂ h t × ( ∏ i = k + 1 t ∂ h i ∂ h i − 1 ) × ∂ h k W \frac{\partial L}{\partial W}= \sum_{i=1}^{T}\sum_{k=1}^{t} \frac{\partial L_t}{\partial \hat{y_t} } \times \frac{\partial \hat{y_t} }{\partial h_t} \times (\prod_{i = k+1}^{t} \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ) \times \frac{\partial h_k}{W} ∂W∂L=i=1∑Tk=1∑t∂yt^∂Lt×∂ht∂yt^×(i=k+1∏t∂hi−1∂hi)×W∂hk
同样的，对于U，我们得到：
∂ L ∂ U = ∑ i = 1 T ∑ k = 1 t ∂ L t ∂ y t ^ × ∂ y t ^ ∂ h t × ( ∏ i = k + 1 t ∂ h i ∂ h i − 1 ) × ∂ h k U \frac{\partial L}{\partial U}= \sum_{i=1}^{T}\sum_{k=1}^{t} \frac{\partial L_t}{\partial \hat{y_t} } \times \frac{\partial \hat{y_t} }{\partial h_t} \times (\prod_{i = k+1}^{t} \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ) \times \frac{\partial h_k}{U} ∂U∂L=i=1∑Tk=1∑t∂yt^∂Lt×∂ht∂yt^×(i=k+1∏t∂hi−1∂hi)×U∂hk
对于V，我们得到：
∂ L ∂ V = ∑ i = 1 T ∂ L t y ^ t × ∂ y ^ t ∂ V \frac{\partial L}{\partial V}= \sum_{i=1}^{T}\frac{\partial L_t}{\hat{y}_{t}} \times \frac{\partial \hat{y}_{t}}{\partial V} ∂V∂L=i=1∑Ty^t∂Lt×∂V∂y^t
梯度爆炸和梯度消失问题
在W和U中，存在一个连乘 ∏ i = k + 1 t ∂ h i ∂ h i − 1 \prod_{i = k+1}^{t} \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ∏i=k+1t∂hi−1∂hi；也就是说，会出现指数级别的问题；
如果 ∂ h i ∂ h i − 1 > 1 \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} > 1 ∂hi−1∂hi>1的话，那么连乘的结果可能会快速增长，导致梯度爆炸。
如果 ∂ h i ∂ h i − 1 < 1 \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} < 1 ∂hi−1∂hi<1的话，连乘的结果会迅速衰减到零，导致梯度消失
我们来求解一下关于 ∂ h i ∂ h i − 1 \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} ∂hi−1∂hi数学上的表示：
因为 h t = f ( U X t + W h t − 1 ) h_t = f(UX_t + Wh_{t-1}) ht=f(UXt+Wht−1)，所以我们可以得到
∂ h i ∂ h i − 1 = f ′ × W \frac{\partial h_i}{\partial h_{i-1}} = f'\times W ∂hi−1∂hi=f′×W
因为 f ′ ∈ [ 0 , 0.25 ] f'∈[0,0.25] f′∈[0,0.25]（假设为Sigmoid函数），所以说
- 如果 W < 4 W < 4 W<4，那么连乘很多次后，导致梯度消失
- 如果 W > 4 W > 4 W>4，那么连乘很多次后，导致梯度爆炸
为什么 f ′ ∈ [ 0 , 0.25 ] f' \in [0, 0.25] f′∈[0,0.25]？
f f f 是Sigmoid函数，其导数 f ′ f' f′ 的取值范围在0到0.25之间。
Sigmoid函数的导数表达式为 f ′ ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) f'(x) = f(x)(1-f(x)) f′(x)=f(x)(1−f(x))，其中 f ( x ) f(x) f(x) 的取值范围在0到1之间。因此， f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 的最大值为 0.25 0.25 0.25，在 x = 0.5 x = 0.5 x=0.5 时取得。
如图所示
解决梯度消失和梯度爆炸的方法
为了缓解梯度消失和梯度爆炸问题，可以采用以下几种常见的方法：
-
梯度裁剪（Gradient Clipping）：
- 将梯度的绝对值限制在某个阈值范围内，防止梯度爆炸。
- 例如，当梯度超过某个阈值时，将其裁剪到这个阈值。
-
正则化方法：
- 使用L2正则化（权重衰减）防止过度活跃的神经元。
- 增加权重更新时的惩罚项，控制权重值不至于过大。
-
批归一化（Batch Normalization）：
- 对每个时间步的隐藏状态进行归一化，稳定训练过程。
- 通过归一化，控制每个时间步的输出范围，防止梯度过大或过小。
-
调整激活函数：
- 选择适当的激活函数（如ReLU、Leaky ReLU等），防止梯度消失和爆炸。
- 例如，Leaky ReLU 在负区间也有非零导数，避免了完全的梯度消失问题。
为什么很小的梯度无法更新权重并导致无法捕捉长期依赖关系？
当梯度非常小时，反向传播的权重更新公式：
Δ W = − η ⋅ ∂ L ∂ W \Delta W = -\eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W} ΔW=−η⋅∂W∂L
梯度项 ∂ L ∂ W \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W} ∂W∂L 会非常小。这里， η \eta η 是学习率。当梯度接近零时，权重更新 Δ W \Delta W ΔW 也会接近零。这意味着神经网络的权重几乎不会发生变化，导致模型无法从训练数据中学习到有用的信息，从而无法有效捕捉长期依赖关系。
