四. Limits and Continuous Functions极限和连续
（1+1/n）^n--->e 平衡的好时
（1+1/n^2）^n---> 1
（1+1/n）^(n^2)---> infinity
洛必达法则：用来计算趋于0时，且均有良好的斜率
连续量的比值不是数与数的比值，而是趋势与趋势的比值
特性强：可导> 连续，可导必然连续、连续不一定可导
oscillation振动
著名的不连续的例子：sin（1/x） x-->0
x sin（1/x） x-->0 连续
一. sin x 和cos x的导数
重复运动： e.g. 心跳、圆周运动、呼吸、地球公转
增长运动：幂函数 x、x^3 、x^n、 e^x、
减少：e^(-x)
limit of sin θ / θ is 1， θ-->0
不能直接相除
必须令两者同时趋近于 0，观察他们比率的变化
三角函数的意义
毕达哥拉斯定理 （勾股定理）
cos：邻边比斜边
sin：对边比斜边
tan：对边比邻边 tan= sin/ cos
circular motion:
radians弧度制，角度用弧长来表示，
弧长为θ（the distance around the circle）、角度是theta radians
证明 sin θ的斜率 =1，at θ=0，微积分关注的永远是极限过程
1). sin θ的斜率 < 1
2).sin θ/θ > cos sin θ
sin θ/θ 曲线夹在 cos 和水平线中间 ，后两者极限为1
DONE.
证明：y= sinx 的导数为 cos x
三角函数的两角和公式：
sin(a+b) = sin a cos b+ cos a sin b
cos(a+b) = cos a cos b -sin a sin b
（cos Δx -1） / Δx -->0 ，Δ x-->0 的图像证明，这篇有提到：
微积分入门教学——简单导数篇 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)
二. 乘法法则和除法法则
幂法则 是 链式法则 的特例
乘法法则
推导
Δg Δf 二阶项 second order
Δg Δf / Δx -->0，Δx-->0
除法法则
q(x) =f(x) / g(x)
公式：
the bottom times the derivative of the top
minus the top times the derivative of the bottom
divided by the bottom squared
三. 复合函数和链式法则
a chain of functions 函数链，正式的称谓为复合函数（composite function）
z = e^(-x^2/2)
an even function 偶函数，关于y轴对称
钟形曲线 （与正态分布有关）,概率论的基础
五. 逆函数和对数函数
对数函数是 e^x的逆函数
逆函数：
映射关系反向
x和y需要一一对应，图像要么一直向上、要么一直向下， 不一定 单调 如 y=1/x
指数函数e^x的特质，通过逆函数，可以得到一些不同的性质：
（1） ln（yY）=ln y + ln Y ,这是 计算尺（slide rule）的基本原理，
（2） ln（y^n）= n lny
e.g.2.
温度的表示：华氏度F、摄氏度C 之间的关系
水的冰点 32华氏度 摄氏度0度
沸点 212 华氏度 100摄氏度
F = （9/5）C+32
代数的思想：一次性处理所有数 to deal with all number at once
y= e^x 和 x= ln y 图像：
y= e^x x可正可负，y为正，
负数的对数不是我们的研究范围
log求得就是exponent，
大数的对数，会化成小数
六. 对数函数和反三角函数的导数
d(ln y )/dy = 1/y =y ^(-1)
d(x^n)/dx = n x^(n-1) , except n = 0
找回遗失的-1幂次！
lny导数1/y ，这就是为什么对数函数增长这么慢！ y上涨，斜率更小
反三角函数 ( the inverse sine function) (arcsin)
导数的所有重要法则：加减乘除、链式法则、逆函数及其导数、
f+g 求和的导数，直接将导数相加即可
逆函数的法则：
如果我们知道如何求导f，用以上函数链的链式法则可以求f逆的导
ln（e^x）= x e^(lny)=y
总结：逆（反）函数套链式求导
反三角函数求导公式：(arcsinx)=1/√(1-x^2)、(arccosx)=-1/√(1-x^2)、(arctanx)=1/(1+x^2)
arcsin + arccos 是个常数
导数相加=0
七.增长率和对数图
logx
linear： cx
x^2、x^3 ,.... 多项式增长polynomial growth ，e.g .幂函数 power of x
exponential指数增长： 2^x， e^x ，10^x
factorial ：阶乘 x! x^x
根据(n!/ n^n) ^(1/n)-->1/e，
x^x/ e^x ≈ x!
Decay：headed for 0
对数尺度a log scale
应用：
y =A x^n， 实际增长曲线，很难看出实际增长率
c语言log函数默认e为底
可能是以任意合适的数为底，对做图不影响。
现在才理解了，数学就是人们为了简化计算的一种工具，都有来头
非线性转换线性（log图核心：以 logy 为y轴，logx为x轴；半对数图 semi log paper）---可以准确估计斜率
观察：多项式函数、指数函数 取对数后，大数和小数都被合理化了，可以得到一条直线
拟合：最小二乘法least squares、是一个求最佳直线的微积分方法、
最小二乘法求残差平方和最小需要用导数
Error E = df/ dx - Δf/ Δx ≈ A (Δx)^n n?
在小段距离Δx上，比较瞬时斜率和平均斜率之间的差。 即 切线和割线的斜率差
没有这个就没有泰勒，泰勒级数 Taylor's series 可以解出n =1，A
中心差分centered difference ，(f(x+Δx)-f(x-Δx) ) / 2 Δx， 此时 n=2，准确度比原来大大提升
这个在高级宏观里面的索洛模型中的收敛速度有相关知识
八.线性近似和牛顿法
两则导数的应用：
1. 求函数f在x点的近似值f(x)，求f
2. 解方程 F(x) = 0 ，求x，牛顿法
两种应用都基于同样的思想，假设存在一点，which is near the x we want, or near the solution to this problem ,这点记作a，假设知道此点斜率 ，来逼近解
1.Find f(x)
At x=a df/ dx = f`(a) ≈ ( f(x) - f(a) )/ ( x-a )
f(x) ≈ f(a) + (x-a)f`(a) ，如果离得不太远，直线离f曲线也不会太远
拉格朗日中值定理
继续求f'(x),就可以得到泰勒展开了
其实忽略了二阶导.....n阶导
所以叫近似阶，加余项的话就是等于了
根号9.06的解和根号9类似所以求出根号9假装是根号9.06的解，这么复杂的吗？
the linear approximation following this line
用导数的延长线近似曲线
2. x -a ≈ -F(a) / F`(a)
这种近似解法称作：牛顿-拉夫逊方法， 或称 牛顿法
线性近似与幂级数 类似（power series），如 e^x =1+x+ 1/2（x^2） +...
相当于幂级数 从常数分量和线性分量后截断，就是线性近似。
牛顿迭代法，数值分析
九.幂级数和欧拉公式
infinite series无穷级数
Matching derivatives at x=0，by each power of x,
不是每项匹配1，而是f(x) match 1。如3阶导只能x^3项去配，前几项3阶导消去，后几项x=0也消去
因为教授说了，只考虑函数在x=0时的值，而指数函数在x=0时为1，所以多项式每项都要找到一个a使得这项为1
在纸上拿整个f(x)去求下各阶导数，再把0带入x，就可以看出老头的意思
通项 typical term
the whole series has been built focused on that point x=0
泰勒级数将初等函数统一为幂级数的形式
为什么选0点？因为在0点求导都是1的形式，可以利用幂的求导来凑，
x=0是麦克劳林展开
把sinx 级数求导就是cosx的级数了
泰勒展开是去找一个多项式函数来近似模拟一个复杂函数
欧拉公式在微分方程应用超重要 没有欧拉公式以后就不能偷懒了
i^2 =-1
complex plain复平面，这里的点都包含两部分，实部和虚部（real part imaginary part）
e^it = cos t + i sin t
e^(-it) = cos t - i sin t
几何级数geometric series ，系数都为1 （coefficients）
1/(1-x) = 1+ x+x^2+x^3+... ok when |x|<1
两边积分
-ln(1-x) = x+ x^2/2+x^3/3+x^4/4 +... 右侧：调和级数
x=1时，左右两边都是infinity
ln0 = -∞
应用：
10.关于运动的微分方程
常系数、线性、二阶、微分方程（differential equations）
解：这些已知函数的乘积
加一个常数C是为了匹配初始条件
C在微分后消失，属于从微分方程里无法确定的项。从工学应用上来讲也可以说是这个解本身有1自由度
线性方程解的线性组合依然是方程的解
本讲的精髓：常系数微分方程的解，是这些已知函数的乘积（指数函数、正余弦、幂函数）
这个方程是工程领域的一种基本方程
以弹簧为例，
振动（oscillation） e.g. ：弹簧、摆钟、小提琴弦、heart、分子
实际上，这种模型中通常 r=0 ，假设 没有空气阻力、阻尼；
F =ma牛顿定律 mass质量、
接近光速、质能转换、
胡克定律：弹簧的弹力与拉伸程度成正比 。F=kx（在这里是y） k是弹簧的硬度、胡克常数、弹簧常数
假设没有阻力时 r=0，将一直振动，沿正弦和余弦
常数C、D取决于初始状态，从静止开始 没有正弦项
重力？
跟重力没关系 考虑的是弹力、重力在平衡态下已经抵消了；二力平衡下重力和初始弹力相互抵消
拿平衡点建系的话就不考虑重力、令平衡状态下位移为0
这个是运动方程中力的平衡。此时的重力是ma的中的一部分
现在考虑 阻尼振动， 求解 my``+2ry`+ky =0 ，这是微分方程课中最重要的方程，指数函数可解
核心思想：Try y= e^( )t
m λ^2+ 2rλ + k=0 特征方程
可以 try 是因为 e^ λt 是特征向量
随着数字改变、会得到不同λ、会在指数情况和振动情况之间change，
Mck二阶微分系统是工程问题中的经典
EX2.
λ 又叫 衰减率decay rates, 因为他们出现在指数上，e^(-3t)表示衰减，弹簧由于空气阻力在减慢
通过虚数 欧拉公式，可得振动情况
终于知道为什么这种情况通解可以直接写成指数形式，因为欧拉公式！！
应该这样想：sint和cost定义来源于解-(d^2y)/(dt)^2=y，而e^t定义来源于解dy/dt=y，这样很自然就会引出新定义（i^2=-1），由此e^i，不分正负，构成解而已
物理意义：振动逐渐减弱，在平息的过程中，振动会来回经过平衡点，
其实 i 引入能够让我们在正交基上把实域解进行分离，从而沿用两个线性无关组合表达解的过程。有时候解决人类世界维度下问题的思路就是通过高维的非直觉方法，因为人类不知道这个问题是不是一个投影。
EX3.
这三个例子分别对应三种特征根的情况
两个相等的实解、二重根a double root、
总结：线性常系数微分方程，通过e^λt通通可以搞定，λ也可求解，如果是实数，结果是指数函数，如果是虚数，解是正余弦，如果是重根，引入因子t
11.关于增长的微分方程
本讲重点 引入 非线性方程，先从基本线性方程、和含有资源项的基本线性方程开始。
把y+s/c看作函数f，
df/dt = cf，
f = (f0)*e^ct，f0=y(0)+s/c
y(t)+s/c = (y(0)+s/c)*e^ct，
线性方程的解，总有这样的形式：
特解a particular solution，that does solve the equation 任一个满足方程的函数，最简单是常函数
+ another solution with a right side 0
非齐次的特解 和齐次通解的线性组合。跟线代里面的零空间的解和列空间的解一模一样，
右侧为0: 即 保留含有y的，去掉资源常数，齐次方程，dy/dt=cy，的解含有e^ct
这个其实数形结合会更好理解，就是原函数平移了而已
非线性方程：
人口增长、生态学、
logistic 阻滞增长模型
这是马尔萨斯的人口模型
应该说这是一门复习课，不太适合第一次学微积分
c：出生率-死亡率
竞争项、减速项，s：减速因子 P^2一定程度上 反映了人口之间的相互作用。s very~~small
虽说是非线性，但我觉得就和牛顿二定律 F表现出来的合外力一样
模型也广泛用于 化学和生物领域，化学里叫作 mass action质量作用、两种不同化学物质、两者相互作用正比于其中一个的量，也正比于另一个的量，正比于两者之积
LOGISTIC EQU
作图：
t=0, P=0
导数=0，特解、doesn't move。c/s 大概一百亿人口 10billion，此时，增长和竞争的效应会互相抵消
环境容纳量 还得看科技怎么发展
解非线性的技巧：化为线性
维基百科说某时刻，增长率达到了1.8%，教授认为 c 的单位应该是时间分之一。因为e^ct，c must have the dimension of 1 over time, 增长率应该是1.8%每年
population of 捕食者u --猎物v 模型
du/dt = -cu + suv
dv/dt = Cv - Suv
如果猎物不够，捕食者就会减少；捕食者减少，猎物就会增加---> u*v
