2025年西安交通大学少年班招生考试初试数学试题(初中组)

1、已知正整数 x 、 y 、 z x、y、z xyz 满足 x + y + z = 2025 x+y+z=2025 x+y+z=2025 x 2 y + y 2 z + z 2 x = x y 2 + y z 2 + z x 2 x^2y+y^2z+z^2x=xy^2+yz^2+zx^2 x2y+y2z+z2x=xy2+yz2+zx2,则 x 、 y 、 z x、y、z xyz 共有 ___ 组解。

2、在数 1 、 2 、 3 ⋯ 2025 1、2、3\cdots2025 1232025 中,既不是 6 6 6 的倍数,又不是 9 9 9 的倍数的数共有 ___ 个。

3、已知 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 满足 x 1 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x = 2 x_1^2-2x_1x_2+2x_2^x=2 x122x1x2+2x2x=2,则当 x 1 2 x_1^2 x12 最大时, ∣ x 1 + x 2 ∣ \left|x_1+x_2\right| x1+x2 的值为 ___ 。

4、如图,等边三角形 A B C ABC ABC 的边长为 9,点 D 、 E 、 F D、E、F DEF 在三角形 A B C ABC ABC 边上,等边三角形 D E F DEF DEF 的边长为 7,则三角形 D B E DBE DBE 的内切圆半径为 ___ 。第4题

5、如图, ⊙ o \odot o o 的半径为 1, O F OF OF 垂直于直径 B D BD BD E E E 为弧 D F DF DF 上一点,直线 F E FE FE 与直线 B D BD BD 交于点 C C C,过 C C C B D BD BD 垂线,交 B E BE BE 延长线于点 A A A,若 A C AC AC 长为 3 \sqrt{3} 3 ,则 C D = CD= CD= ___ 。第5题

6、在矩阵 A B C D ABCD ABCD 中, A B = 4 , B C = 8 AB=4,BC=8 AB=4,BC=8 E E E B C BC BC 边中点,连接 A E AE AE P P P A E AE AE 上动点, F F F P D PD PD 中点,则 2 B F + C F 2BF+CF 2BF+CF 的最小值为 ___ 。第6题

7、如图,正方形 A B C D ABCD ABCD 边长为 a a a B C BC BC 上有一点 E E E,将 △ D C E \triangle{DCE} DCE 沿 D E DE DE 翻折得到 △ D F E \triangle{DFE} DFE,延长 E F EF EF A B AB AB G G G,过 A A A A H ⊥ D E AH \perp DE AHDE 于点 H H H。已知 A H : H D : A D = 5 : 2 : 3 AH:HD:AD=\sqrt{5}:2:3 AH:HD:AD=5 :2:3,则 G E GE GE 长为 ___ 。第7题

8、如图,四边形 A B C D ABCD ABCD 为菱形,对角线交于点 E E E △ G F B \triangle{GFB} GFB △ B E C \triangle{BEC} BEC 关于 B B B 点中心对称,已知 B D = 8 BD=8 BD=8 A C = 10 AC=10 AC=10,则 G D GD GD 的长为 ___ 。题8

9、已知 x + y = 1 x+y=1 x+y=1 x 3 + y 3 = 4 x^3+y^3=4 x3+y3=4,则 x 4 + y 4 = x^4+y^4= x4+y4= ___ 。

10、如图,已知 ∠ B A C = 3 0 ∘ , ∠ B O C = 12 0 ∘ , B O = C O = 2 , A C = 6 \angle{BAC}=30^{\circ},\angle{BOC}=120^{\circ},BO=CO=2,AC=6 BAC=30,BOC=120,BO=CO=2,AC=6,求 A O = AO= AO= ___ 。(备注:因为此题数据回忆与原题有所出入,所以提供给一个一般化问题: B O = C O = a , A C = b BO=CO=a,AC=b BO=CO=a,AC=b,求 A O AO AO 。)题10

11、如图,已知 ∠ B A C = ∠ B D C = 6 0 ∘ , ∠ B C D = 9 8 ∘ , ∠ A B C = 5 2 ∘ , A B = a , B C = b , C D = c , A D = d \angle{BAC}=\angle{BDC}=60^{\circ},\angle{BCD}=98^{\circ},\angle{ABC}=52^{\circ},AB=a,BC=b,CD=c,AD=d BAC=BDC=60,BCD=98,ABC=52,AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,则 S 四边形 A B C D = S_{四边形ABCD}= S四边形ABCD= ___ 。题11

12、如图,已知函数 y = 2 x 2 y=2x^2 y=2x2 与函数 y = − a x 2 + b x y=-ax^2+bx y=ax2+bx 的交点为 y = − a x 2 + b x y=-ax^2+bx y=ax2+bx 的顶点,阴影部分的面积为 2,则 a = a= a= ___ , b = b= b= ___ 。题12

13、已知二次函数 y = x 2 − 2 x 2 c y=x^2-2x_2c y=x22x2c,当 − 2 < x < 2 -2\lt x \lt 2 2<x<2 时有且只有一点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 使得 x + y = 6 x+y=6 x+y=6,那 c c c 的取值范围为 ____ 。

14、已知 a x 2 + b x + c > 0 ax^2+bx+c\gt0 ax2+bx+c>0 的解集为 − 1 < x < 5 -1\lt x\lt 5 1<x<5 ,写出 a 、 b 、 c a、b、c abc 满足的条件 ____。

15、已知 y = 4 x ( x > 0 ) y=\frac{4}{x}(x\gt0) y=x4(x>0) 的图像右平移 1 个单位,向下平移 a 个单位后,将 x x x 轴下方翻折至 x x x 轴上方,再将翻折后的右半支绕点 A A A 逆时针旋转 9 0 ∘ 90^{\circ} 90 后与左半支重合, a = a= a=___ 。

16、如图, A B = 4 AB=4 AB=4 A D ⊥ A B AD \perp AB ADAB B C ⊥ A B BC \perp AB BCAB A D = B C AD=BC AD=BC B H ⊥ C D BH \perp CD BHCD A B AB AB C D CD CD 交于点 E E E,则 sin ⁡ ∠ B A H \sin\angle{BAH} sinBAH 可能是 ()(多选)
A. 1 2 \frac{1}{2} 21
B. 1 3 \frac{1}{3} 31
C. 1 4 \frac{1}{4} 41
D. 1 5 \frac{1}{5} 51题16

17、关于 x x x 的不等式 ( a 2 − 4 a + 3 ) x 2 + ( a − 1 ) x + 1 > 0 (a^2-4a+3)x^2+(a-1)x+1 \gt 0 (a24a+3)x2+(a1)x+1>0 恒成立,求 a a a 的范围 ____ 。

18、 x , y x,y x,y 为整数, x y − 3 x + 2 y = 9 xy-3x+2y=9 xy3x+2y=9,求 x y xy xy 可取的值是 ___ 。

19、求 y = ( x − 1 ) 2 + 2 y=(x-1)^2+2 y=(x1)2+2 的图像沿着直线 y = 4 y=4 y=4 翻折后的图像对应的解析式是 ___ 。

20、函数 y = 3 x 2 + 6 x + 3 y=3x^2+6x+3 y=3x2+6x+3 的图像如何平移,能与 y = 3 x 2 y=3x^2 y=3x2 的函数图像重合。

21、一学校共有200人,其中参加物理竞赛的有 120 人,参加化学竞赛的有 80 人,两种都不参加的有 20 人,则在学校中随机抽取一人,两科竞赛都参加的概率为( A )
A. 1 10 \frac{1}{10} 101 B. 1 15 \frac{1}{15} 151 C. 1 9 \frac{1}{9} 91 D. 1 20 \frac{1}{20} 201

22、如图, sin ⁡ ∠ A C B \sin\angle{ACB} sinACB 的值为 ____ 。题22

23、如图,在圆 O O O 中, A C AC AC 为直径, B D BD BD 在圆 O O O 上, B C = A B = 5 BC=AB=5 BC=AB=5 C F CF CF 平分 ∠ A C D \angle{ACD} ACD,则()
A. B F > B A BF \gt BA BF>BA
B. ( A D ) 2 + ( D C ) 2 = ( B D ) 2 (AD)^2+(DC)^2=(BD)^2 (AD)2+(DC)2=(BD)2
C. A D + D C AD+DC AD+DC 的最大值为 10
D. 以上答案都不对题23

24、已知 a + b + c = 0 a+b+c=0 a+b+c=0 a b c = − 16 abc=-16 abc=16,则 a 、 b 、 c a、b、c abc 中的最小值的最大值为 ____ 。


P.S.博主于2025年3月16日13点33分敲录完毕。

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