1、已知正整数 $x、y、z$ 满足 $x+y+z=2025$ ，$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=x{y}^2+y{z}^2+z{x}^2$，则 $x、y、z$ 共有 ___ 组解。

2、在数 $1、2、3\cdots 2025$ 中，既不是 $6$ 的倍数，又不是 $9$ 的倍数的数共有 ___ 个。

3、已知 $x_1,x_2$ 满足 $x_1^2-2x_1{x}_2+2x_2^x=2$，则当 $x_1^2$ 最大时，$\left|x_1+x_2\right|$ 的值为 ___ 。

4、如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 9，点 $D、E、F$ 在三角形 $ABC$ 边上，等边三角形 $DEF$ 的边长为 7，则三角形 $DBE$ 的内切圆半径为 ___ 。

5、如图，$\odot o$ 的半径为 1，$OF$ 垂直于直径 $BD$，$E$ 为弧 $DF$ 上一点，直线 $FE$ 与直线 $BD$ 交于点 $C$，过 $C$ 作 $BD$ 垂线，交 $BE$ 延长线于点 $A$，若 $AC$ 长为 $\sqrt{3}$，则 $CD=$ ___ 。

6、在矩阵 $ABCD$ 中，$AB=4,BC=8$，$E$ 为 $BC$ 边中点，连接 $AE$，$P$ 为 $AE$ 上动点，$F$ 为 $PD$ 中点，则 $2BF+CF$ 的最小值为 ___ 。

7、如图，正方形 $ABCD$ 边长为 $a$，$BC$ 上有一点 $E$，将 $△DCE$ 沿 $DE$ 翻折得到 $△DFE$，延长 $EF$ 交 $AB$ 于 $G$，过 $A$ 作 $AH\perp DE$ 于点 $H$。已知 $AH:HD:AD=\sqrt{5}:2:3$，则 $GE$ 长为 ___ 。

8、如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，对角线交于点 $E$，$△GFB$ 与 $△BEC$ 关于 $B$ 点中心对称，已知 $BD=8$ ，$AC=10$，则 $GD$ 的长为 ___ 。

9、已知 $x+y=1$，$x^3+y^3=4$，则 $x^4+y^4=$ ___ 。

10、如图，已知 $\angle BAC=30^{\circ },\angle BOC=120^{\circ },BO=CO=2,AC=6$，求 $AO=$ ___ 。（备注：因为此题数据回忆与原题有所出入，所以提供给一个一般化问题：$BO=CO=a,AC=b$，求 $AO$ 。）

11、如图，已知 $\angle BAC=\angle BDC=60^{\circ },\angle BCD=98^{\circ },\angle ABC=52^{\circ },AB=a,BC=b,CD=c,AD=d$，则 $S_{四边形ABCD}=$ ___ 。

12、如图，已知函数 $y=2x^2$ 与函数 $y=-a{x}^2+bx$ 的交点为 $y=-a{x}^2+bx$ 的顶点，阴影部分的面积为 2，则 $a=$ ___ ，$b=$ ___ 。

13、已知二次函数 $y=x^2-2x_{2}c$，当 $-2<x<2$ 时有且只有一点 $(x,y)$ 使得 $x+y=6$，那 $c$ 的取值范围为 ____ 。

14、已知 $a{x}^2+bx+c>0$ 的解集为 $-1<x<5$ ，写出 $a、b、c$ 满足的条件 ____。

15、已知 $y=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图像右平移 1 个单位，向下平移 a 个单位后，将 $x$ 轴下方翻折至 $x$ 轴上方，再将翻折后的右半支绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 后与左半支重合，$a=$___ 。

16、如图，$AB=4$，$AD\perp AB$，$BC\perp AB$，$AD=BC$，$BH\perp CD$，$AB$ 与 $CD$ 交于点 $E$，则 $\sin \angle BAH$ 可能是 （）（多选）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{5}$

17、关于 $x$ 的不等式 $(a^2-4a+3)x^2+(a-1)x+1>0$ 恒成立，求 $a$ 的范围 ____ 。

18、$x,y$ 为整数，$xy-3x+2y=9$，求 $xy$ 可取的值是 ___ 。

19、求 $y=(x-1{)}^2+2$ 的图像沿着直线 $y=4$ 翻折后的图像对应的解析式是 ___ 。

20、函数 $y=3x^2+6x+3$ 的图像如何平移，能与 $y=3x^2$ 的函数图像重合。

21、一学校共有200人，其中参加物理竞赛的有 120 人，参加化学竞赛的有 80 人，两种都不参加的有 20 人，则在学校中随机抽取一人，两科竞赛都参加的概率为（ A ）
A. $\frac{1}{10}$ B. $\frac{1}{15}$ C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{1}{20}$

22、如图，$\sin \angle ACB$ 的值为 ____ 。

23、如图，在圆 $O$ 中，$AC$ 为直径，$BD$ 在圆 $O$ 上，$BC=AB=5$，$CF$ 平分 $\angle ACD$，则（）
A. $BF>BA$
B. $(AD{)}^2+(DC{)}^2=(BD{)}^2$
C. $AD+DC$ 的最大值为 10
D. 以上答案都不对

24、已知 $a+b+c=0$，$abc=-16$，则 $a、b、c$ 中的最小值的最大值为 ____ 。

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P.S.博主于2025年3月16日13点33分敲录完毕。