笔记100:使用 OSQP-Eigen 对 MPC 进行求解的方法与代码

1. 前言:


我们在对系统进行建模的时候,为了减少计算量,一般都将系统简化为线性的,系统如果有约束,也是将约束简化为线性的;

因此本篇博客只针对两种常见系统模型的 MPC 问题进行求解:

  • 线性系统 + 无约束
  • 线性系统 + 线性约束

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2. 线性系统 + 无约束的 MPC 问题求解


目前已知:

  • 目标(代价)函数:
    • J=\sum_{k=0}^{N-1}[x_{k}^TQx_{k}+u_{k}^TRu_{k}]+x_{N}^TPx_{N}
    • 矩阵 QRP 均为正定矩阵;
  • 线性系统状态空间方程:x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
  • 当前时间步 k = 0 时系统的初始状态量:x(0)

注:代价函数和状态空间方程中的状态量 x 已经是误差量了;

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求解方法:

  • 动态规划(针对无约束的问题,根本不需要使用到二次规划,直接使用动态规划即可求解)

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进行求解:


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3. 线性系统 + 线性约束的 MPC 问题求解


目前已知:

  • 目标(代价)函数:
    • ​​​​​​​J=\sum_{k=0}^{N-1}[(x_{k}-x_{r})^TQ(x_{k}-x_{r})+u_{k}^TRu_{k}]+(x_{N}-x_{r})^TQ_{N}(x_{N}-x_{r})
    • 矩阵 QRQ_{N} 均为正定矩阵;
  • 线性系统状态空间方程:x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
  • 当前时间步 k = 0 时的初始状态量:x_{0}
  • 系统的目标状态值:x_{r}
  • 线性约束条件:
    • 线性等式约束:x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
    • 线性不等式约束:
      • x_{min}\leq x\leq x_{max}
      • u_{min}\leq u\leq u_{max}

注:代价函数和状态空间方程中的 x 并不是误差量,x_{k}-x_{r}才是误差量;

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求解方法:

  • 二次规划
  • 解释:因为系统带了约束,所以动态规划方法已经不好使了,这种方法无法处理带有约束条件的问题,而二次规划方法可以用来处理带有约束条件的问题,所以需要我们将问题等价转换为二次规划的形式,再调用 OSQP 求解;

3.1 将问题转化为二次规划的形式

(1)目标:

(2)代价函数的转化过程:

(3)约束条件转化:

参考文章:LQR、MPC以及osqp库_osqp mpc-CSDN博客


3.2 使用 OSQP-Egine 库求解二次规划问题

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