【数学建模】一致矩阵的应用及其在层次分析法(AHP)中的性质

一致矩阵在层次分析法(AHP)中的应用与性质

在层次分析法(AHP)中,一致矩阵是判断矩阵的一种理想状态,它反映了决策者判断的完全合理性和一致性,也就是为了避免决策者认为“A比B重要,B比C重要,但是C又比A重要”的矛盾。

本文将详细介绍一致矩阵的定义、性质及其在AHP中的重要意义。

关于层次分析法(AHP)的介绍,可以参考:【数学建模】层次分析法(AHP)详解及其应用 。

一、一致矩阵的定义

定义:设 A = [ a i j ] n × n A = [a_{ij}]_{n \times n} A=[aij]n×n是判断矩阵,如果对于任意的 i , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n } i, j, k \in \{1, 2, \ldots, n\} i,j,k{1,2,,n},都有:

a i j ⋅ a j k = a i k a_{ij} \cdot a_{jk} = a_{ik} aijajk=aik

则称矩阵 A A A一致矩阵

这一定义表明,在一致矩阵中,元素 i i i对元素 k k k的重要性可以通过元素 i i i对元素 j j j的重要性与元素 j j j对元素 k k k的重要性的乘积来确定

二、一致矩阵的基本性质

1. 倒数性

一致矩阵满足倒数性,即:

a j i = 1 a i j a_{ji} = \frac{1}{a_{ij}} aji=aij1

这表示元素 j j j相对于元素 i i i的重要性是元素 i i i相对于元素 j j j的重要性的倒数。

2. 传递性

一致矩阵满足传递性,即:

a i j ⋅ a j k = a i k a_{ij} \cdot a_{jk} = a_{ik} aijajk=aik

这表示判断的传递性,是一致矩阵的定义与核心特征

3. 秩为1

一致矩阵 A A A的秩 r a n k ( A ) = 1 rank(A) = 1 rank(A)=1,即一致矩阵是一个秩1矩阵。

4. 特征值和特征向量

一致矩阵 A A A有且仅有一个非零特征值 λ m a x = n \lambda_{max} = n λmax=n,对应的特征向量正是权重向量 W W W。其余 n − 1 n-1 n1个特征值均为0。

A ⋅ W = n ⋅ W A \cdot W = n \cdot W AW=nW

5. 表示形式

任意一致矩阵 A A A都可以表示为:

A = [ w 1 w 1 w 1 w 2 ⋯ w 1 w n w 2 w 1 w 2 w 2 ⋯ w 2 w n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ w n w 1 w n w 2 ⋯ w n w n ] A = \begin{bmatrix} \frac{w_1}{w_1} & \frac{w_1}{w_2} & \cdots & \frac{w_1}{w_n} \\ \frac{w_2}{w_1} & \frac{w_2}{w_2} & \cdots & \frac{w_2}{w_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{w_n}{w_1} & \frac{w_n}{w_2} & \cdots & \frac{w_n}{w_n} \end{bmatrix} A= w1w1w1w2w1wnw2w1w2w2w2wnwnw1wnw2wnwn

其中 W = ( w 1 , w 2 , … , w n ) T W = (w_1, w_2, \ldots, w_n)^T W=(w1,w2,,wn)T是权重向量。

三、一致矩阵的判定

1. 定义法判定

检验矩阵 A A A中的所有元素是否满足 a i j ⋅ a j k = a i k a_{ij} \cdot a_{jk} = a_{ik} aijajk=aik

2. 特征值法判定

计算判断矩阵 A A A的最大特征值 λ m a x \lambda_{max} λmax,如果 λ m a x = n \lambda_{max} = n λmax=n,则 A A A为一致矩阵。

3. 一致性指标判定

计算一致性指标 C I CI CI

C I = λ m a x − n n − 1 CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n-1} CI=n1λmaxn

如果 C I = 0 CI = 0 CI=0,则 A A A为一致矩阵。

四、一致矩阵的构造

1. 直接构造法

如果已知权重向量 W = ( w 1 , w 2 , … , w n ) T W = (w_1, w_2, \ldots, w_n)^T W=(w1,w2,,wn)T,则可以直接构造一致矩阵:

a i j = w i w j a_{ij} = \frac{w_i}{w_j} aij=wjwi

2. 从非一致矩阵导出

对于非一致矩阵,可以通过以下步骤构造最接近的一致矩阵:

  1. 计算非一致矩阵的权重向量 W W W
  2. 利用 W W W构造一致矩阵 A ′ A' A,其中 a i j ′ = w i w j a'_{ij} = \frac{w_i}{w_j} aij=wjwi

五、一致矩阵在AHP中的意义

1. 理想判断的标准

一致矩阵代表了决策者判断的完全一致性,是判断矩阵的理想状态。在实际决策过程中,由于人的认知限制,很难直接给出一致矩阵,但它是我们追求的目标。

2. 一致性检验的基础

在AHP中,通过比较实际判断矩阵与一致矩阵的差异,来评估判断的一致性程度。一致性比率 C R CR CR越小,表示判断矩阵越接近一致矩阵,判断的一致性越好。

3. 权重计算的理论依据

一致矩阵的特性为AHP中权重计算提供了理论依据。对于一致矩阵,其权重向量就是对应于最大特征值的特征向量。

六、一致矩阵与非一致矩阵的关系

在实际应用中,由于决策者认知的局限性,通常得到的是非一致矩阵。非一致矩阵与一致矩阵的关系可以通过以下方式表示:

A = A ′ + E A = A' + E A=A+E

其中 A A A是实际的判断矩阵, A ′ A' A是对应的一致矩阵, E E E是误差矩阵。

AHP的一致性检验就是评估误差矩阵 E E E的大小,判断实际矩阵 A A A与理想一致矩阵 A ′ A' A的接近程度。

七、一致矩阵的数学证明示例

命题1:一致矩阵的最大特征值等于矩阵的阶数

证明
A A A n n n阶一致矩阵,权重向量为 W = ( w 1 , w 2 , … , w n ) T W = (w_1, w_2, \ldots, w_n)^T W=(w1,w2,,wn)T,则:

a i j = w i w j a_{ij} = \frac{w_i}{w_j} aij=wjwi

考虑 A ⋅ W A \cdot W AW的第 i i i行元素:

∑ j = 1 n a i j ⋅ w j = ∑ j = 1 n w i w j ⋅ w j = w i ∑ j = 1 n 1 = n ⋅ w i \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot w_j = \sum_{j=1}^{n} \frac{w_i}{w_j} \cdot w_j = w_i \sum_{j=1}^{n} 1 = n \cdot w_i j=1naijwj=j=1nwjwiwj=wij=1n1=nwi

因此, A ⋅ W = n ⋅ W A \cdot W = n \cdot W AW=nW,即 n n n A A A的特征值,对应的特征向量是 W W W

又因为 r a n k ( A ) = 1 rank(A) = 1 rank(A)=1,所以 A A A有且仅有一个非零特征值,即 λ m a x = n \lambda_{max} = n λmax=n

命题2:一致矩阵的一致性指标CI为0

证明
由命题1可知,一致矩阵的最大特征值 λ m a x = n \lambda_{max} = n λmax=n,因此:

C I = λ m a x − n n − 1 = n − n n − 1 = 0 CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n-1} = \frac{n - n}{n-1} = 0 CI=n1λmaxn=n1nn=0

八、一致矩阵的实例

例1:2阶一致矩阵

A = [ 1 2 1 2 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} A=[12121]

验证:

  • a 12 ⋅ a 21 = 2 ⋅ 1 2 = 1 = a 11 a_{12} \cdot a_{21} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 = a_{11} a12a21=221=1=a11
  • a 21 ⋅ a 12 = 1 2 ⋅ 2 = 1 = a 22 a_{21} \cdot a_{12} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 = a_{22} a21a12=212=1=a22

权重向量: W = ( 2 / 3 , 1 / 3 ) T W = (2/3, 1/3)^T W=(2/3,1/3)T

例2:3阶一致矩阵

A = [ 1 2 6 1 2 1 3 1 6 1 3 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\ \frac{1}{2} & 1 & 3 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 1 \end{bmatrix} A= 121612131631

验证:

  • a 12 ⋅ a 23 = 2 ⋅ 3 = 6 = a 13 a_{12} \cdot a_{23} = 2 \cdot 3 = 6 = a_{13} a12a23=23=6=a13
  • a 21 ⋅ a 13 = 1 2 ⋅ 6 = 3 = a 23 a_{21} \cdot a_{13} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 = a_{23} a21a13=216=3=a23
  • a 31 ⋅ a 12 = 1 6 ⋅ 2 = 1 3 = a 32 a_{31} \cdot a_{12} = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} = a_{32} a31a12=612=31=a32

权重向量: W = ( 6 / 10 , 3 / 10 , 1 / 10 ) T W = (6/10, 3/10, 1/10)^T W=(6/10,3/10,1/10)T

九、一致矩阵在实际决策中的应用

在实际决策过程中,一致矩阵主要有以下应用:

  1. 作为判断矩阵一致性的参考标准:通过计算一致性比率CR,评估实际判断矩阵与理想一致矩阵的接近程度。

  2. 修正不一致判断:当判断矩阵的一致性不满足要求时,可以利用一致矩阵的性质对原判断矩阵进行修正。

  3. 简化判断过程:利用一致矩阵的传递性,可以减少判断的次数。理论上,对于 n n n个元素,只需要 n − 1 n-1 n1次判断就可以构造完整的一致矩阵。

十、结语

一致矩阵作为层次分析法中的理想判断状态,为我们提供了评估判断一致性的标准。虽然在实际决策中很难直接得到完全一致的判断矩阵,但通过一致性检验和必要的修正,我们可以使判断矩阵尽可能接近一致矩阵,从而提高决策的科学性和合理性。

理解一致矩阵的性质和意义,对于正确应用层次分析法、提高多准则决策的质量具有重要价值。


参考文献

  1. Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. New York: McGraw-Hill.
  2. 徐泽水. (2002). 层次分析法原理. 天津: 天津大学出版社.
  3. 许树柏. (1995). 层次分析法. 北京: 中国人民大学出版社.
  4. Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 234-281.

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