DP：完全背包+多重背包问题

完全背包和01背包的区别就是：可以多次选

一、完全背包（模版）

【模板】完全背包_牛客题霸_牛客网

#include <iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N=1001;
int n,V,w[N],v[N],dp[N][N];
//dp[i][j]表示从前i个物品选，体积不超过j的最大价值
//dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j-2v[i]]+2w[i]……)
//数学dp[i][j-v[i]]=max(dp[i-1][j-v[i]],dp[i-1][j-2v[i]]+w[i]……)
//dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]])
int main() 
{cin>>n>>V;for(int i=1;i<=n;++i) cin>>v[i]>>w[i];//解决第一问for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=V;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);}  cout<<dp[n][V]<<endl;//解决第二问 //dp[i][j]表示从前i个物品选，体积正好为j的最大价值memset(dp,0,sizeof dp);//约定-1表示状态选不到 当i=0时 j>=1时  必然是没有状态的for(int j=1;j<=V;++j) dp[0][j]=-1;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=V;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=v[i]&&dp[i][j-v[i]]!=-1) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);}  cout<<(dp[n][V]==-1?0:dp[n][V])<<endl;return 0;
}

滚动数组的优化策略：

区分：01背包的优化得是从右往左，而完全背包的优化得是从左往右

#include <iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N=1001;
int n,V,w[N],v[N],dp[N];
//dp[i][j]表示从前i个物品选，体积不超过j的最大价值
//dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j-2v[i]]+2w[i]……)
//数学dp[i][j-v[i]]=max(dp[i-1][j-v[i]],dp[i-1][j-2v[i]]+w[i]……)
//dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]])
int main()  //优化必须要从左往右
{cin>>n>>V;for(int i=1;i<=n;++i) cin>>v[i]>>w[i];//解决第一问for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=v[i];j<=V;++j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);cout<<dp[V]<<endl;//解决第二问 //dp[i][j]表示从前i个物品选，体积正好为j的最大价值memset(dp,0,sizeof dp);//约定-1表示状态选不到 当i=0时 j>=1时  必然是没有状态的for(int j=1;j<=V;++j) dp[j]=-0x3f3f3f3f;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=v[i];j<=V;++j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);cout<<(dp[V]<0?0:dp[V])<<endl;return 0;
}

二、零钱兑换

. - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {//dp[i][j]表示从前i个里面选 正好凑成j所需要的最少硬币个数//如果不选i dp[i-1][j]//选1个i   dp[i-1][j-coins[i-1]]+1//dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-coins[i-1]]+1,dp[i-1][j-2coins[i-1]]+2……)//dp[i][j-coins[i-1]]=min(dp[i-1][j-coins[i-1]],dp[i-1][j-2coins[i-1]]+1……)//dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-coins[i-1]]+1)const int INF=0x3f3f3f3f;int n=coins.size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(amount+1));for(int j=1;j<=amount;++j) dp[0][j]=INF;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=amount;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];if(j>=coins[i-1])  dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-coins[i-1]]+1);}return dp[n][amount]>=INF?-1:dp[n][amount];}
};

滚动数组优化：

class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {//dp[i][j]表示从前i个里面选 正好凑成j所需要的最少硬币个数//如果不选i dp[i-1][j]//选1个i   dp[i-1][j-coins[i-1]]+1//dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-coins[i-1]]+1,dp[i-1][j-2coins[i-1]]+2……)//dp[i][j-coins[i-1]]=min(dp[i-1][j-coins[i-1]],dp[i-1][j-2coins[i-1]]+1……)//dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-coins[i-1]]+1)const int INF=0x3f3f3f3f;int n=coins.size();vector<int> dp(amount+1,INF);dp[0]=0;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=coins[i-1];j<=amount;++j)dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i-1]]+1);return dp[amount]>=INF?-1:dp[amount];}
};

三、零钱兑换II

. - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {//dp[i][j]表示从前i个硬币选，正好可以凑成总金额的硬币组合数//如果i不选 dp[i][j]+=dp[i-1][j]//如果i选1个 dp[i][j]+=dp[i-1][j-coins[i-1]]//dp[i][j]+=dp[i-1][j-coins[i-1]]+=dp[i-1][j-2coins[i-1]]……//dp[i][j]+=dp[i][j-coins[i-1]]int n=coins.size();//分析初始化 当j=0 都是一种选法  当i=0时 无论如何凑不出j 状态无效vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(amount+1));dp[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=0;j<=amount;++j) //不会越界，可以从0开始{dp[i][j]+=dp[i-1][j];if(j>=coins[i-1]) dp[i][j]+=dp[i][j-coins[i-1]];}return dp[n][amount];}
};

滚动数组做优化：

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {//dp[i][j]表示从前i个硬币选，正好可以凑成总金额的硬币组合数//如果i不选 dp[i][j]+=dp[i-1][j]//如果i选1个 dp[i][j]+=dp[i-1][j-coins[i-1]]//dp[i][j]+=dp[i-1][j-coins[i-1]]+=dp[i-1][j-2coins[i-1]]……//dp[i][j]+=dp[i][j-coins[i-1]]int n=coins.size();//分析初始化 当j=0 都是一种选法  当i=0时 无论如何凑不出j 状态无效vector<int> dp(amount+1);dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=coins[i-1];j<=amount;++j) //不会越界，可以从0开始dp[j]+=dp[j-coins[i-1]]; //+= 0不会影响填表return dp[amount];}
};

四、完全平方数

. - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
//不能用贪心策略 比如说1 4 9   组成12    444比9111好int numSquares(int n) {//1 4 9 16 25……//dp[i][j]表示从前i个数选，刚好为j的最少数量const int INF=0x3f3f3f3f;int m=sqrt(n);vector<int> dp(n+1,INF);//i=0的时候 不可能凑成j  j=0时 i取1dp[0]=0;for(int i=1;i<=m;++i)for(int j=i*i;j<=n;++j)dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);return dp[n]; //一定能选得到，因为1是平方数 所以必然能凑出来}
};

五、数位成本和为目标值的最大数字（经典dp还原）

. - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:string largestNumber(vector<int>& nums, int t) {//考虑数值长度问题，每个数字有相应成本，且长度均为1 //有若干物品，求给定费用下所能选择的最大价值  （完全背包）//得到的就是最大位数 然后从后往前想办法还原回来vector<int> dp(t+1,-0x3f3f3f3f);//会有不存在的状态//dp[i][j]表示前i个数选择 正好为j的最大选择数目dp[0]=1;for(int i=1;i<=9;++i)for(int j=nums[i-1];j<=t;++j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i-1]]+1);//此时 dp[t]里存的就是选择的最大位数 然后要想办法进行还原if(dp[t]<0) return "0";string ret;//开始还原 从后往前还原for(int i=9;i>=1;--i){int u=nums[i-1];while(t>=u&&dp[t]==dp[t-u]+1)//说明选到这个数了{ret+=to_string(i);t-=u;}}return ret;}
};

六、获得分数的方法数（多重背包）

. - 力扣（LeetCode）

该种类型题的具体分析请看第7题！！

class Solution {
public:const int MOD=1e9+7;int waysToReachTarget(int target, vector<vector<int>>& types) {//dp[i][j]表示从前i个数选 恰好分数为j的方案数 选择方式是types[1] //如果不选这个数 dp[i-1][j]//如果选 1个  dp[i-1][j-p[0]] //如果选2个  dp[i-1][j-2p[0]]int n=types.size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(target+1));//初始化当i为0时 dp[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;++i){int count=types[i-1][0],mark=types[i-1][1]; //count表示这道题的题数（选择次数）  mark表示这道题的分数for(int j=0;j<=target;++j){dp[i][j]=dp[i-1][j];for(int k=1;k<=count;++k){if(j>=k*mark) dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-k*mark])%MOD;}}}return dp[n][target];}
};

滚动数组优化

class Solution {
public:const int MOD=1e9+7;int waysToReachTarget(int target, vector<vector<int>>& types) {//dp[i][j]表示从前i个数选 恰好分数为j的方案数 选择方式是types[1] //如果不选这个数 dp[i-1][j]//如果选 1个  dp[i-1][j-p[0]] //如果选2个  dp[i-1][j-2p[0]]vector<int> dp(target+1);//初始化当i为0时 dp[0]=1;for(auto&p:types){int count=p[0],mark=p[1]; //count表示这道题的题数（选择次数）  mark表示这道题的分数       //会用到上一层的状态，所以滚动数组应该要从后往前for(int j=target;j>=0;--j){count=min(count,j/mark);for(int k=1;k<=count;++k)dp[j]=(dp[j]+dp[j-k*mark])%MOD;}}return dp[target];}
};

进阶优化：

class Solution {
public:const int MOD=1e9+7;int waysToReachTarget(int target, vector<vector<int>>& types) {//dp[i][j]表示从前i个数选 恰好分数为j的方案数 选择方式是types[1] //如果不选这个数 dp[i-1][j]//如果选 1个  dp[i-1][j-p[0]] //如果选2个  dp[i-1][j-2p[0]]//dp[i][j]+=dp[i-1][j-p[0]]……//dp[i][j-p[0]+=dp[i-1]][j-]vector<int> dp(target+1);//初始化当i为0时 dp[0]=1;for(auto&p:types){int count=p[0],mark=p[1]; //count表示这道题的题数（选择次数）  mark表示这道题的分数       //会用到上一层的状态，所以滚动数组应该要从后往前for(int j=mark;j<=target;++j)dp[j]=(dp[j]+dp[j-mark])%MOD;for(int j=target;j>=(count+1)*mark;--j)dp[j] = (dp[j] - dp[j - mark*(count + 1)] + MOD) % MOD; // 两个同余前缀和的差//防止搞出负数}return dp[target];}
};

七、带和限制的子多重集合的数目（经典多重背包模版题）

. - 力扣（LeetCode）

直接做滚动数组优化：

class Solution {
public:const int MOD=1e9+7;int countSubMultisets(vector<int>& nums, int l, int r) {//01背包 每个数选或者不选 限制范围是l-r//dp[i][j]表示从前i个数选  凑成和恰好为j//但是需要一个哈希表来帮助我们知道每个数究竟可以选多少次unordered_map<int,int> hash;int total=0;for(auto&e:nums) {total+=e;++hash[e];}if(l>total) return 0;r=min(r,total);vector<int> dp(r+1);//初始化 i=0时 无数可选dp[0]=hash[0]+1;hash.erase(0);int t=0;for(auto[x,c]:hash) //x是数 c是他的限制次数for(int j=r;j>=x;--j){c=min(c,j/x);for(int k=1;k<=c;++k)    //费时间 想办法用新的状态dp[j]=(dp[j]+dp[j-k*x])%MOD; }int sum=0;for(int j=l;j<=r;++j)sum=(sum+dp[j])%MOD;return sum;}
};

我们会发现由于数据量太大，用循环会超时，因此我们在这里不能用k那一层循环！！得换个方式

class Solution {
public:const int MOD=1e9+7;int countSubMultisets(vector<int>& nums, int l, int r) {//01背包 每个数选或者不选 限制范围是l-r//dp[i][j]表示从前i个数选  凑成和恰好为j//但是需要一个哈希表来帮助我们知道每个数究竟可以选多少次//类比完全背包的状态 dp[]unordered_map<int,int> hash;int total=0;for(auto&e:nums) {total+=e;++hash[e];}if(l>total) return 0;r=min(r,total);vector<int> dp(r+1);dp[0]=hash[0]+1;hash.erase(0);// dp[i][j]+=  dp[i-1][j-x]+dp[i-1][j-2*x]……// dp[i][j-x]+=dp[i-1][j-2x]+dp[i-1][j-3x]……int sum=0;for(auto[x,c]:hash){sum = min(sum+x*c,r);//目前为止 能选的元素和之多为sum for (int j = x; j <= sum; j++)dp[j] = (dp[j] + dp[j - x]) % MOD; // 原地计算同余前缀和for (int j =sum;j >= x * (c + 1); j--)dp[j] = (dp[j] - dp[j - x * (c + 1)] + MOD) % MOD; // 两个同余前缀和的差//防止搞出负数}int ret=0;for(int j=l;j<=r;++j)ret=(ret+dp[j])%MOD;return ret;}
};