【Sklearn-驯化】一文搞懂分类基石模型-逻辑回归使用总结
 
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🎯 1. 基本介绍

  逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的统计方法，特别是在二分类问题中。尽管名字中有“回归”二字，逻辑回归实际上是一种分类算法。在Python的scikit-learn库中，逻辑回归模型通过LogisticRegression类实现，它使用最大似然估计来训练模型。
  逻辑回归比较高效，不需要太大计算，不需要对特征进行缩放，容易实现。但是该算法分类效果一般，且不能处理非线性问题，因为它的决策边界是线性的。因此，当数据分界面是线性平面的时候，可以采用该算法进行分类。
  个人觉得逻辑回归设计的巧妙一点的地方在于，将wx通过sigmod函数缩放（0，1）之间，这样就可以通过设置sigmoid的函数值来归为哪类，从而使输出值满足二项分布的条件。
  逻辑回归的损失函数为交叉熵损失。这个我个人有这么一个解释：对于分类问题，他的损失函数其实是0-1损失函数，但是这种函数很难进行求解，优化，一般都采用类似趋势的可求导函数进行替代，而逻辑回归则通过极大似然估计来转换成log损失函数来替代0-1损失函数

💡 2. 理论介绍

  在线性回归中，我们假设因变量Y和自变量X之间存在以下线性关系：Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₙXₙ，其中β₀是截距，β₁至βₙ是自变量X的系数。通过最小化损失函数来确定最佳的系数估计值。
  在博客中我们会详细推导出最小二乘法的公式，这是一种常见的求解线性回归系数的方法。
  逻辑回归假设$p(y|x,\theta )$服从二项分布，同时对${\theta }^{T}x$通过函数sigmoid进行数据映射，该函数公式和图表如下所示：

$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
其中$z={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+......+{\theta }_n{x}_n={\theta }^{T}x$

• 具体的推导过程如下所示：

$p(y=1|x;\theta )=h_{\theta }(x)$
$p(y=0|x;\theta )=1-h_{\theta }(x)$

• 对上面的二项分布的概率函数的具体表达公式如下所示：

$p(y|x;\theta )=(h_{\theta }(x){)}^y\ast (1-h_{\theta }(x){)}^{(1-y)}$

• 对上面的概率函数通过MLE进行参数估计：

$L(\theta )={\prod }_{i=1}^{m}p(y^i|x^i;\theta )$
$L(\theta )={\prod }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)}){)}^{y^{(i)}}\ast (1-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^{(1-y^{(i)})}$

• 对上面的似然函数取对数：

$l(\theta )=log(L(\theta ))={\sum }_{i=1}^m{y}^{(i)}log(h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))$

• MLE的目的就是求使得$l(\theta )$取最大值的$\theta$，由于函数有很好的凹凸性，故可以通过梯度上升法来求得最大值，为了求解的方便可以在前面添加一个负号，近似的求得函数的最优解：
• 梯度下降法来求取$J(\theta )$的最小值，其中参数$\theta$的更新过程如下所示：

${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )$

• 其中学习步长为$\alpha$，具体的求导过程如下所示：

$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(y^{(i)}\frac{1}{h_{\theta }(x^i)}\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}{h}_{\theta }(x^{(i)})-(1-y^i)\frac{1}{1-h_{\theta }(x^{(i)})}\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}{h}_{\theta }(x^{(i)}))$
$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(y^{(i)}\frac{1}{g({\theta }^T{x}^{(i)})}-(1-y^{(}i))\frac{1}{1-g({\theta }^T{x}^{(i)})})\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}g({\theta }^T{x}^{(i)})$
$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(y^{(i)}\frac{1}{g({\theta }^T{x}^{(i)})}-(1-y^{(i)})\frac{1}{1-g({\theta }^T{x}^{(i)})})g({\theta }^T{x}^{(i)})(1-g({\theta }^T{x}^{(i)}))\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}{\theta }^T$
$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(y^{(i)}(1-g({\theta }^T{x}^{(i)})-(1-y^{(i)})g({\theta }^T{x}^{(i)}))x_j^{(i)}$
$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(y^{(i)}-g({\theta }^T{x}^{(i)}))x_j^{(i)}$
$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=-\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}))x_j^{(i)}$
$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$

• 其中对于sigmod函数的求导如下所示，但是由于逻辑回归的函数设定时是带有负号的，所以带入上式计算时需要注意：

$f(x)=\frac{1}{1+e^{g(x)}}$
$\frac{\partial }{\partial x}f(x)=-\frac{1}{(1+e^{g(x)}{)}^2}{e}^{g(x)}\frac{\partial }{\partial x}g(x)$
$\frac{\partial }{\partial x}f(x)=-\frac{1}{1+e^{g(x)}}\frac{e^{g(x)}}{1+e^{g(x)}}\frac{\partial }{\partial x}g(x)$
$\frac{\partial }{\partial x}f(x)=-f(x)(1-f(x))\frac{\partial }{\partial x}g(x)$

🔍 3. 代码实践

3.1 自己实现

  自行通过python中的numpy库实现LR的代码，具体如下所示：

 import numpy as np
def predict(w, x):'''w:为训练好的参数w，其数据格式为向量shape(n,m)x：为预测数据特征，其数据格式为向量shape(n,m)'''# 创建sigmod函数形式z = np.dot(w, x)p_sigmod = np.exp(z) / (1 + np.exp(z))# 对sigmod函数输出概率进行判断,将概率等于0.5做为阈值if p_sigmod <= 0.5:return 0else:return 1def train(x, y, iter, step):'''x:训练数据特征,数据格式为向量shape(n, m)y:训练数据label,数据格式为向量(n,1)step:为梯度下降的步长iter:为梯度下降迭代的次数'''# 初始化参数w, 这里没有将参数b加入了，# 如果要加参数b需要将训练数据增加一个维度w = np.zeros(x.shape[1])# 进行iter次随机梯度下降操作for i in range(iter):# 每次迭代遍历所以样本进行随机梯度下降算法，每次随机打乱数据的顺序index= list(range(x.shape[0]))random.shuffle(index)for j, idx in enumerate(data_indices):tmp_x, tmp_y = x[idx], y[idx]# 根据上面的公式最后的最小似然函数的求导结果为：#  h(xi)* xi- xi * yi， 所以先构建h(xi)z = np.dot(w, tmp_x)# 再看上面的梯度下降的算法公式，将构建好的求导结果带入w -= step *((np.exp(z) / (1 + np.exp(z)))*tmp_x - tmp_x*tmp_y)# 也可以直接进行梯度下降操作for i in range(iter):z = np.dot(w, x)w -= step *((np.exp(z) / (1 + np.exp(z)))*x- x*y)
return w

3.2 Sklearn实现

  我们构建简单的数据集，通过sklearn来实现lr的过程，具体代码如下所示：

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score, classification_report# 加载iris数据集
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建逻辑回归模型实例
model = LogisticRegression(max_iter=200)# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)
# 在测试集上进行预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)# 打印分类报告
print(classification_report(y_test, y_pred))print(f"准确率: {accuracy:.2f}")precision    recall  f1-score   support0.0       0.00      0.00      0.00         01.0       0.00      0.00      0.00         02.0       0.83      1.00      0.91        39
...

3.3 LR重要参数介绍

  在实际的工作中，lr经常调试的参数如下所示：

• penalty：惩罚方式，默认为"l2"，可选择"l1"或"elasticnet"。"l1"使用L1范数作为惩罚项，可以产生稀疏解；"l2"使用L2范数作为惩罚项，可以防止过拟合；"elasticnet"是"l1"和"l2"的组合。

• C：正则化强度的倒数。与惩罚项相关联，值越小表示更强的正则化。默认为1.0。

• fit_intercept：是否计算截距项，默认为True。如果选择False，则模型将不会计算截距。

• solver：优化算法，默认为"lbfgs"。可选择"newton-cg"、“sag"或"liblinear”。"lbfgs"适用于小型数据集；"newton-cg"适用于多分类问题；"sag"适用于大型数据集；"liblinear"适用于二分类问题。

• max_iter：迭代次数，默认为100。用于控制优化算法的最大迭代次数。

• multi_class：多分类问题的处理方式，默认为"auto"，可选择"ovr"或"multinomial"。"ovr"使用一对多的方法进行多类别分类，"multinomial"使用Softmax回归进行多类别分类。

• class_weight：类别权重，默认为None。可以使用balanced来自动平衡不均衡的类别。

🔍 4. 注意事项

• 逻辑回归假设特征和目标变量之间存在线性关系，即使是在分类问题中。
• 它对异常值不敏感，但对特征的缩放敏感，因此在训练模型前通常需要进行特征标准化或归一化。
• max_iter参数是最大迭代次数，有时可能需要调整以确保模型能够收敛。
• 离散特征的增加和减少都很容易，易于模型快速迭代；
• 稀疏向量内积乘法速廈快，计算结果方便存储，容易扩展；
• 离散化的特征对异常数据有很强的鲁棒性(比如年龄为300异常值可归为年龄>30这一段)；
• 逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限。单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于对模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合；
• 离散化进行特征交叉，由 M+N 个变量为M*N个变量(将单个特征分成M个取值)，进一步引入非线性，提升表达能力;
• 特征离散化后，模型会更稳定(比如对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为用户年龄，增加一岁变成完全不同的人;
• 总得来说就是工业界的做法就是：“海量离散特征+简单模型” 同 “少量连续特征+复杂模型”的权衡

🔍 5. 总结

  逻辑回归是处理分类问题的强大工具，特别是在二分类问题中。scikit-learn的LogisticRegression类提供了一个易于使用的接口来训练和预测逻辑回归模型。通过本博客的代码示例，我们学习了如何创建逻辑回归模型，进行训练、预测和评估。希望这篇博客能够帮助你更好地理解逻辑回归模型，并将其应用于实际的分类任务中。