线性代数基础概念：行列式

1. 行列式的定义

1.1 递归定义

1.2 代数余子式定义

1.3 几何定义

2. 行列式的性质

2.1 行列式等于其转置的行列式

2.2 交换两行或两列，行列式变号

2.3 将一行或一列乘以一个数 k，行列式乘以 k

2.4 将一行或一列加上另一行或列的倍数，行列式不变

2.5 行列式为 0 的充要条件是矩阵不可逆

2.6 行列式的乘法性质

3. 行列式的计算方法

3.1 展开式

3.2 初等变换

3.3 代数余子式

4. 行列式的应用

4.1 判断矩阵是否可逆

4.2 求解线性方程组

4.3 计算向量空间的体积

4.4 特征值与特征向量

5. 行列式总结

总结

线性代数基础概念：行列式

行列式是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵密切相关，可以用来判断矩阵是否可逆、求解线性方程组、计算向量空间的体积等。

1. 行列式的定义

行列式 是一个将方阵映射到一个数的函数，它反映了矩阵的某些性质，例如矩阵的可逆性。

对于一个 n 阶方阵 A，它的行列式记为 det(A) 或 |A|。

行列式的定义可以通过以下几种方式给出：

1.1 递归定义

1 阶矩阵的行列式： 对于 1 阶矩阵 A = [a]，它的行列式就是它唯一的元素，即 det(A) = a。
n 阶矩阵的行列式： 对于 n 阶矩阵 A，它的行列式可以通过展开它的第一行或第一列来计算。

展开第一行：

det(A) = a11 * A11 - a12 * A12 + a13 * A13 - ... + (-1)^(n+1) * a1n * A1n

展开第一列：

det(A) = a11 * A11 - a21 * A21 + a31 * A31 - ... + (-1)^(n+1) * an1 * An1

其中，Aij 是矩阵 A 中第 i 行第 j 列元素的代数余子式，它等于矩阵 A 去掉第 i 行第 j 列后得到的 (n-1) 阶矩阵的行列式，并乘以 (-1)^(i+j)。

例如：

A =  [ 1  2  3 ][ 4  5  6 ][ 7  8  9 ]

展开第一行计算行列式：

det(A) = 1 * | 5  6 | - 2 * | 4  6 | + 3 * | 4  5 |= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 0

1.2 代数余子式定义

对于一个 n 阶矩阵 A，它的行列式可以表示为它的所有元素的代数余子式的线性组合。

det(A) = a11 * A11 + a12 * A12 + ... + a1n * A1n

其中，Aij 是矩阵 A 中第 i 行第 j 列元素的代数余子式。

例如：

A =  [ 1  2  3 ][ 4  5  6 ][ 7  8  9 ]

根据代数余子式定义计算行列式：

det(A) = 1 * | 5  6 | - 2 * | 4  6 | + 3 * | 4  5 |= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 0

1.3 几何定义

对于一个 n 阶矩阵 A，它的行列式可以表示为由矩阵 A 的列向量所张成的平行多面体的体积。

例如：

2 阶矩阵： 由矩阵 A 的两个列向量所张成的平行四边形的面积等于 det(A)。
3 阶矩阵： 由矩阵 A 的三个列向量所张成的平行六面体的体积等于 det(A)。

几何定义可以帮助我们理解行列式的几何意义，它反映了矩阵变换对空间的缩放比例。

2. 行列式的性质

行列式具有以下重要性质：

2.1 行列式等于其转置的行列式

det(A) = det(AT)

例如：

A =  [ 1  2 ][ 3  4 ]AT =  [ 1  3 ][ 2  4 ]det(A) = 1*4 - 2*3 = -2
det(AT) = 1*4 - 3*2 = -2

2.2 交换两行或两列，行列式变号

det(A) = -det(B)

其中 B 是由 A 交换两行或两列得到的矩阵。

例如：

A =  [ 1  2 ][ 3  4 ]B =  [ 3  4 ][ 1  2 ]det(A) = 1*4 - 2*3 = -2
det(B) = 3*2 - 4*1 = 2

2.3 将一行或一列乘以一个数 k，行列式乘以 k

det(kA) = k det(A)

例如：

A =  [ 1  2 ][ 3  4 ]2A =  [ 2  4 ][ 6  8 ]det(A) = 1*4 - 2*3 = -2
det(2A) = 2*8 - 4*6 = -4

2.4 将一行或一列加上另一行或列的倍数，行列式不变

det(A) = det(B)

其中 B 是由 A 将一行或一列加上另一行或列的倍数得到的矩阵。

例如：

A =  [ 1  2 ][ 3  4 ]B =  [ 1  2 ][ 3+2*1  4+2*2 ] = [ 1  2 ][ 5  8 ]det(A) = 1*4 - 2*3 = -2
det(B) = 1*8 - 2*5 = -2

2.5 行列式为 0 的充要条件是矩阵不可逆

det(A) = 0 当且仅当 A 不可逆

例如：

A =  [ 1  2 ][ 2  4 ]det(A) = 1*4 - 2*2 = 0

矩阵 A 不可逆，因为它的行列式为 0。

2.6 行列式的乘法性质

det(AB) = det(A) det(B)

例如：

A =  [ 1  2 ][ 3  4 ]B =  [ 5  6 ][ 7  8 ]det(A) = 1*4 - 2*3 = -2
det(B) = 5*8 - 6*7 = -2
det(AB) = det(A) det(B) = (-2) * (-2) = 4

3. 行列式的计算方法

3.1 展开式

通过展开行列式的第一行或第一列来计算行列式。

例如：

A =  [ 1  2  3 ][ 4  5  6 ][ 7  8  9 ]

展开第一行计算行列式：

det(A) = 1 * | 5  6 | - 2 * | 4  6 | + 3 * | 4  5 |= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 0

3.2 初等变换

通过对矩阵进行初等变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算行列式。

例如：

A =  [ 1  2  3 ][ 4  5  6 ][ 7  8  9 ]

对矩阵 A 进行初等变换，将矩阵化为上三角矩阵：

[ 1  2  3 ]
[ 0  -3  -6 ]
[ 0  0  0 ]

上三角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积，因此 det(A) = 1 * (-3) * 0 = 0。

3.3 代数余子式

通过计算矩阵的代数余子式来计算行列式。

例如：

A =  [ 1  2  3 ][ 4  5  6 ][ 7  8  9 ]

根据代数余子式定义计算行列式：

det(A) = 1 * | 5  6 | - 2 * | 4  6 | + 3 * | 4  5 |= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 0

4. 行列式的应用

4.1 判断矩阵是否可逆

det(A) = 0 当且仅当 A 不可逆。

例如：

A =  [ 1  2 ][ 2  4 ]det(A) = 1*4 - 2*2 = 0

矩阵 A 不可逆，因为它的行列式为 0。

4.2 求解线性方程组

克莱姆法则可以用行列式来求解线性方程组。

例如：

x + 2y = 5
2x + 4y = 10

将方程组写成矩阵形式：

[ 1  2 ] [ x ] = [ 5 ]
[ 2  4 ] [ y ]   [ 10 ]

根据克莱姆法则，方程组的解为：

x = det(Ax) / det(A)
y = det(Ay) / det(A)

其中，Ax 是将方程组的系数矩阵 A 的第一列替换为常数向量 [5, 10] 得到的矩阵，Ay 是将方程组的系数矩阵 A 的第二列替换为常数向量 [5, 10] 得到的矩阵。

Ax =  [ 5  2 ][ 10 4 ]Ay =  [ 1  5 ][ 2 10 ]det(A) = 1*4 - 2*2 = 0
det(Ax) = 5*4 - 2*10 = 0
det(Ay) = 1*10 - 5*2 = 0

由于 det(A) = 0，因此方程组无解。

4.3 计算向量空间的体积

由矩阵 A 的列向量所张成的平行多面体的体积等于 det(A)。

例如：

A =  [ 1  2 ][ 3  4 ]

由矩阵 A 的两个列向量所张成的平行四边形的面积等于 det(A) = 14 - 23 = -2。

4.4 特征值与特征向量

行列式可以用来计算矩阵的特征值。

特征值 是一个数，它满足以下方程：

Ax = λx

其中 A 是一个矩阵，x 是一个非零向量，λ 是一个数。

特征向量 是一个非零向量 x，它满足上述方程。

为了求解矩阵 A 的特征值，我们可以将上述方程改写为：

(A - λI)x = 0

其中 I 是单位矩阵。

为了使方程有非零解，矩阵 (A - λI) 的行列式必须为 0：

det(A - λI) = 0

这个方程被称为特征方程，它的解就是矩阵 A 的特征值。

例如：

A =  [ 2  1 ][ 1  2 ]

求解矩阵 A 的特征值：

det(A - λI) = det([ 2-λ  1 ][ 1  2-λ ]) = (2-λ)^2 - 1 = 0

解得 λ1 = 1，λ2 = 3。

求解矩阵 A 的特征向量：

对于 λ1 = 1：

(A - λ1I)x = 0
[ 1  1 ] [ x1 ] = [ 0 ]
[ 1  1 ] [ x2 ]   [ 0 ]

解得 x1 = -x2，因此特征向量为 [1, -1] 的倍数。

对于 λ2 = 3：

(A - λ2I)x = 0
[ -1  1 ] [ x1 ] = [ 0 ]
[ 1  -1 ] [ x2 ]   [ 0 ]

解得 x1 = x2，因此特征向量为 [1, 1] 的倍数。

5. 行列式总结

概念	描述
行列式	将方阵映射到一个数的函数
行列式的定义	递归定义、代数余子式定义、几何定义
行列式的性质	行列式等于其转置的行列式、交换两行或两列，行列式变号、将一行或一列乘以一个数 k，行列式乘以 k、将一行或一列加上另一行或列的倍数，行列式不变、行列式为 0 的充要条件是矩阵不可逆、行列式的乘法性质
行列式的计算方法	展开式、初等变换、代数余子式
行列式的应用	判断矩阵是否可逆、求解线性方程组、计算向量空间的体积、特征值与特征向量