1. 三维点旋转的方案

三维旋转的方案，主要有：

• 欧拉角：简单易懂，但有万向节锁问题。在三维软件的用户界面上通常都用欧拉角表示。但是软件内部的计算过程都用四元数。

• 旋转矩阵：可以累乘，但有误差累计问题。

• 四元数：正是因为这两种表示方式的缺陷，才造就了四元数表示法的流。

本文仅对四元数的旋转进行说明。

2. 使用复数表示二维点的旋转

2.1. 复数的概念

复数为： a + b i

复数可以表示二维点的旋转。

其中的圆是单位圆。

如图，就表示点或向量绕着原点旋转了θ (theta)角度。可以把图中的二维坐标（a,b)写成一个复数:

2.2. 复数的三种形式及相互转换

• 代数形式

• 三角形式

• 指数形式

2.3. 复数概念扩展：实数、虚数、复数

3. 四元数旋转三维点原理

四元数就是四个数。它是复数的推广。

四元数则多了两个虚部： q = w + (ai + bj + ck) ， 其中i,j,k都是虚数。所以：

四元数可以表示三维单位球面上的一个点（或者说是一个单位方向向量）的旋转：

这就表示绕着一个轴（a,b,c)（它是个单位向量）旋转θ (theta)角度。

4. 使用四元数进行旋转的公式

使用四元数进行旋转的公式如下（结果为一个新的四元数）：

假设有四元数q : q = w + (ai + bj + ck) , 那么四元数的逆的公式为：

这就是实部不变，虚部加个负号而已！

以试验一下，它是否符合逆的概念，也就是:

注意：如果q没有归一化，那么q的逆只需要再除以模的平方：

5. 旋转叠加

四元数也像旋转矩阵那样能够累乘！比如先旋转q1，再旋转q2：

6. 四元数转换为三维点

旋转之后，怎么得到三维的点坐标呢？

我们只需要把实部抛弃(或者写成0)，虚部的三个值恰好就是一个三维点的坐标。

也就是说：( 0 , x i + y j + z k )

恰好就是三维点：( x , y , z )

7. 代码实现

关于代码实现，请参考下一篇文章：《Eigen C++ 代码实现三维点的旋转》