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认识数学建模及国赛

认识数学建模

环境类：预测一下明天的气温
实证类： 评价一下政策的优缺点
农业类： 预测一下小麦的产量
财经类： 分析一下理财产品的最优组合
规划类： 土地利用情况进行 合理的划分
力学类： 找出标枪运动员最佳的投掷点

• 很多事情无法直接凭借主观经验获取，需要用科学的方法进行解算，此过程便是数学建模。
• 几乎所有的行业都要用到数学建模！

什么是数学建模？

官方解释:数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预 测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中
抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。

数学建模比赛

目前数学建模比赛主要分为以下几个级别：

• 一级：国赛；研赛；美赛;深圳杯
• 二级：MathorCup；电工杯；APMCM；
• 三级：五一赛；华东杯；华中杯；小美赛；数维杯；中青杯；网挑赛…

国赛参赛规则、评奖原则

数学建模国赛是由中国工业与应用数学学会每年一届举办的全国性建模赛事，该竞赛创办于1992
年，每年一届，是首批列入“高校学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一。 2023年全国大学生数学建模竞赛
共1685所院校/校区、59611队(本科54158队、专科5453队)、近18万人报名参赛。国奖获奖率约3%左右。

• 赛题于竞赛开始时（9月5日（周四）18:00至9月8日（周日）20:00）发布在全国大学生数学建模
  竞赛官网、中国大学生在线、高等教育出版社、中国高校数学建模课程中心、中国数模等网站。
• 档次：最高级
• 报名方式：学校统一报名
• 获奖比例：
  在各赛区内部评选优秀论文至国奖，评出全国一等、二等奖，获奖比例为百分之三左右。各地区
  省奖获奖比例不固定，分为省一省二和省三，省奖综合获奖率30%左右
  官网：http://www.mcm.edu.cn/

如何评省、国奖

➢评奖办法

• 1．各赛区组委会聘请专家组成赛区评阅专家组，评选本赛区的一等奖、二等奖（也可增设三等奖）。
• 2．各赛区组委会按全国组委会规定的数额将本赛区的优秀答卷送全国组委会。全国组委会聘请专家
  组成全国评阅专家组，按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出全国一等奖、二等奖。
• 3．对违反竞赛规则的参赛队，一经查实，即取消评奖资格，并由全国组委会（或赛区组委会）根据具体情况作出相应处理
  
  
  

根据往年的情况来看，有答辩环节
的赛区有：湖北赛区、四川赛区、重庆
赛区、甘肃赛区、陕西赛区、浙江赛区、
云南赛区、广西赛区、河南赛区、广东
赛区等

评奖规则

1．到底是如何评奖的，是不是有参考答案？
2．是全省竞争还是校内竞争
国赛和美赛纯靠论文的水平不一样，美赛跟你所在的学校没有关系，但国赛是跟这个挂钩的
比如说你国赛每个题每个学校只能推荐两个国一、两个国二，所以国赛本质上是校内竞争


3．国奖名额是组委会选还是学校评选
一般都是学校上报赛区组委会，赛区组委会报全国组委会。对于高水平的论文，像国赛的省一，很
多其实很难分出个高下和差别，那这个时候哪些该推到国奖，哪些不是国奖就会出现尺度不一的情况。
所以要正在比赛前尽可能的提升自己获奖的概率（积极参加活动，参加社团，跟数模主要负责老师混熟，
最好是挂往年国奖挂的那个指导老师等）
4. 指导老师的作用

如何才能获奖

➢ 获奖套路

1. 合适的模型和算法：数模三阶段，小白——套路——合适——创新
2. 正式且美观的版面：无论是竞赛还是学术论文，良好的排版及图表的展示效果都是基础
3. 巧用多模性对比，印证你的算法和模型
4. ⭐ 论文的“论文性”：注意这是在写论文，而不是应用题
5. 问有所答……
   
   
   模型和算法决定你的下限，论文决定你的上限！！

国赛赛题分类及选题技巧

国赛赛题特点

➢ 赛题：本科组ABC任选一道；专科组D和E题，也可以选ABC
➢ A题偏向物理/工程类（机理分析）：

• 专业性较强，往往有标准答案，没有相关知识不建议选择，但如果能完成获奖率较高
• 往往需要用到微分方程和偏微分方程建模
• 求较优解的启发式算法一般不适用，比如神经网络，遗传算法等
  ➢ B题目前题型不固定，20/21年是优化类题目，22年是机理分析类，23年是机理分析类（优化）
  ➢ C题偏向经营/运筹优化/统计/数据分析类
• 赛题较开放易读懂
• 一般没有严格最优解，结果合理即可
• 参与的队伍多，难以脱颖而出

赛题分类

根据数学建模国赛历年出题点可知，赛题类型主要集中在优化类问题、评价类问题、预测类问题
和机理分析类四部分，其中优化类赛题和机理分析类赛题出现的频率最高，尤其是优化类赛题，去年
五个题四个都结合了优化问题！

国赛历年题型及优秀论文

https://download.csdn.net/download/2201_75539691/89529196

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数学建模分工技巧

建模员
需要系统了解各类模型。如模型的主要功能是什么?该模型
的适用场景是什么?实现该模型需要哪些条件?模型有哪些
缺点或不足，可以做出那些改进?

编程员
需要掌握Matlab/Python。能够熟练掌握编程基础；能够
实现各类常见算法；能够对程序Bug做出改正能够熟练利
用编程或软件制作精美图片（美赛图片美观尤其重要）

写作员
需要熟练撰写论文各模块内容。需掌握学术语言规范；明
白论文各模块写作要求；能够对论文进行排版。同时也要
掌握绘图和美化图片的技能。

注意事项
1、优先选择靠谱而不是所谓的大佬；
2、队长要进行合理统筹安排，强烈建议定期召开“组会” ；
3、明确三人的主要分工，确保写作／建模／编程团队都具备；
4、合理安排时间，不建议比赛前期就通宵熬夜；
5、遇见问题要少数服从多数，或者听从能力较强者的意见，防
止因意见不合产生矛盾，开赛后尽量快速定题，不要轻易换题。

数模必备软件

论文写作

• WORD（或WPS) ：论文写作专用，并可以导成PDF格式
• EXCEL：分析数据、并绘制数据走势图等精美图片
• Mathtype：公式编辑器，用于编写各类数学公式和特殊符号
• Mathpix：公式提取软件，用于将其他论文的公式提取到自己论文中
• LaTeX/Overleaf：论文排版软件，主要利用编程语言对论文进行排版

编程代码

• Matlab/Python：交互式编程软件，将海量算法或工具进行封存，可
  直接调用
• SPSS：专业的统计数据分析软件，有大量统计模型可直接使用
• Lingo：交互式的线性和通用优化求解器，可以用于求解各类规划模型

作图软件

• VISIO/亿图：主要制作各类流程图和部分结构图等
• Excel/PPT：Excel和PPT也可以绘制及其美观的图片
• Axglyph：专业的实用型矢量绘图工具
• Echarts/hiplot：在线数据可视化图表库，必学！！！
• Origin：作图以及插值拟合很方便的软件，数据可视化非常强。

辅助神器:ChatGPT

数模资料文献数据收集

资料收集平台

• 百度搜索：国内最常用的搜索工具，除了直接搜索，我们还要学会高级搜索
• 知乎：中文高质量原创内容平台，可搜索数学建模模型代码及各种干货
• CSDN：全球知名中文IT技术交流平台，可解决各种模型代码及编程软件相关问题
• ChatGPT：可联网的GPT版本，如NewBing等，可按要求帮你全网搜集所需资料
  

文献查找技巧

• 百度学术：百度旗下的免费学术资源搜索平台，提供海量中英文文献检索服务
• 知网：提供中国学术文献、外文文献、学位论文等各类资源统一检索、在线阅读和下载服务
• 谷歌学术（镜像站）：提供维普、万方数据等各大学术文献资源库的检索服务
• SCI-HUB：免费提供各类英文文献资源，可通过doi号直接下载
• 学校图书馆：学校图书馆一般买了各类数据库，各类文献可直接下载
  PS：推荐浏览器插件，easyScholar，可显示文章等级
• ChatGPT：可联网的GPT版本，如NewBing等，可按要求帮你全网搜集所需文献
  

数据收集网站

• CNKI 中国知网经济社会大数据研究平台：https://data.cnki.net/
• 大数据导航（各国统计局/世界银行/世界卫生组织/粮农组织数据中心等）：http://hao.199it.com/
• EPSDTA：https://www.epsnet.com.cn/index.html#/Index
• 联合国数据：https://data.un.org/Default.aspx
• Github：https://github.com/awesomedata/awesome-public-datasets
  ICPSR：https://www.icpsr.umich.edu/web/pages/ICPSR/index
• 数据世界：https://ourworldindata.org/
• Kaggle数据集：https://www.kaggle.com/datasets
• 天池数据集：https://tianchi.aliyun.com/dataset/

数模国赛高分套路

推荐教材

• Matlab：《数学建模算法与应用》
《数学建模算法与程序》
• Python：《Python数学实验与建模》
➢ 特点
原理和例题十分详细，案例过程是按照数模论文的逻辑数
学的，并且附带有详细的代码
➢ 学习方法：
建模手：可以简单看下原理，然后直接去看各个案例，学
习模型的应用技巧
编程手：把代码（尤其是案例代码）跑一遍！

论文技巧

学会模仿

• 绝大部分优秀论文都有极为相似的套路和格式，各个部分该怎么写，不能怎么写，包括论文
长度，绘图等细节，都能从优秀论文学习得到。所以大家一定要多看历年优秀论文，特别是
20年后的，找他们的共同之处进行模仿。

着重摘要

➢ 着重摘要
• 摘要在国赛和美赛中重要程度已经反复提过很多次了，一定是重中之重，获奖论文通常会根
据摘要的质量与其他论文区分开来。建议对照往年优秀论文来写摘要，优秀论文的模型算法
学不来，摘要还是一定要学的。
常用模板
开头段：针对什么问题，建立了什么模型
针对问题一，建立的模型+求解的过程+得到的数值+意义
针对问题二，……
针对问题三，……
结尾总结段：模型的优缺点，灵敏度分析等，以及可以
改进的方面（非必要）
模型名称，算法名称，关键变量，模型结果常常要加粗
注意摘要页控制在一页内
注意：
模型算法的专有名词不能错，每一
小问，都要给一个明确的结果（数
值或文字描述），每一个关键模型，
都要结合题目去描述如何设置参数 和求解，但整体语言必须力求不影
响读者理解的前提下，越精练越好。
若摘要写的逻辑混乱、评委找不到
模型和每一问的求解结果，就与获
奖无缘。
一个可以用来评价摘要质量的好方法是：“如果某人只读了摘要而未读报告的其他部分，他能大概知
道问题是什么、我们做了什么、我们的结论是什么以及我们的建议是什么吗？”
一个可以用来评价摘要质量的好方法是：“如果某人只读了摘要而未读报告的其他部分，他能大概知
道问题是什么、我们做了什么、我们的结论是什么以及我们的建议是什么吗？”

重视分析，多论证算法合理性

➢ 重视分析
• 所有优秀论文都逃不出一个共性，就是分析到位。这听上去很简单，不过能将这点做好的人
并不多，很多人就是放个图放个数据就结束了，模型的选择也没有充分的说明论证。
• 老师看到一张结果图的时候，他是看不明白的。这时候你一定要把你的分析写在结果图的上
下，而且越多越详细越好。千万不要只有一张图和一行分析就了事了，此是论文大忌。

灵敏度分析

灵敏度分析
• 灵敏性分析一般在论文结尾，是绝对的加分项，最好需要有图有分析。此外还有模型检验、
误差分析、有效性分析、鲁棒性分析、适用条件分析、横纵向对比等。
• 灵敏度分析要结合文字进行解释说明，不要为了灵敏度分析而分析，要说明为什么对某个参
数做灵敏度分析，通过结果可以说明什么？

做好排版

➢ 做好排版
• 完美的排版是高分的基础。

function x = gaussianElimination(A, b)  b = b(:);  [n, ~] = size(A);  if length(b) ~= n  error('系数矩阵A和常数项向量b的维度不匹配');  end  Ab = [A b];  for k = 1:n-1   for i = k+1:n  factor = Ab(i,k) / Ab(k,k); % 计算乘数  Ab(i,k:end) = Ab(i,k:end) - factor * Ab(k,k:end); % 减去相应倍数  end  end  % 回代求解  x = zeros(n,1);  for i = n:-1:1  x(i) = (Ab(i,end) - Ab(i,i+1:end) * x(i+1:n)) / Ab(i,i);  end  
end  

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常见赛题及模型

数学建模赛题类型主要分为：评价类、预测类和优化类三种，其中优化类是最常见的赛题类型，几乎每年的地区赛或国赛美赛等均有出题，必须要掌握并且熟悉。
下图为常见的模型分类，机理分析类基本上建立完机理方程后仍然要转换成优化问题，数理统计类大部分都是和预测相关。

评价类赛题

综合评价是数学建模中的一类常见的问题，在国赛和美赛中都经常出现，例如国赛05年长江水质的综合评价、2010年上海世博会影响力的定量评估问题、2014年美赛“最好大学教练“问题、2015年的“互联网+”时代的出租车资源配等，都属于综合评价类问题。
综合评价问题是数学建模问题中·思路相对清晰的一类题目，从每学期的综合测评、旅游景点的选择到挑选手机，评价类问题在生活中也是处处存在。

主客观评价问题的区别

• 主客观概念主要是在指标定权时来划分的。主观评价与客观评价的区别是，主观评价算法在定权时主要以判断者的主观经验为依据，而客观评价则主要基于测量数据的基本特 性来综合定权
• 定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖于较为合理的专业解释。

如何选择合适的评价方法
在评价类问题的分析中，如何选择合适的评价方法是决定评价结果好坏的关键因素，因此需要洞悉各常用评价方法的基本特性和使用条件才能顺利答题

预测类赛题

预测类赛题的基本解题步骤

• 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测。
• 基于数学建模的预测方法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色预测法、机器学习等。当在使用相应的预测方法建立预测模型时，我们需要知道主要的一些预测方法的研究特点，优缺点和适用范围。
  

预测类问题分为两类：

• 一类是无法用数学语言刻画其内部演化机理的问题；
• 另一类是可以通过微分方程刻画其内部规律，这类问题我们称为机理建模问题，通过微分方程建模求解。

如何选择合适的预测方法
●在预测类问题的分析中，同样受到预测条件的限制（如数据量的大小、变量之间的关系等）不同的预测方法可能会产生不同的结果，因此需要根据实际情况来选择。

优化类赛题

优化类问题是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标。在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获（比如保险）。

优化类问题一般的解题步骤为：

• （1）首先确定决策变量，也就是需要优化的变量；
• （2）然后确定目标函数，也就是优化的目的；
• （3）最后确定约束条件，决策变量在达到最优状态时，受到那些客观限制。
  

部分优化类赛题的解决方案

• 在08年国赛眼科病床的合理安排问题中：
• 目标函数为医院病床的利用率最高；
• 决策变量为服务策略：是先到病人先住院、急诊病人先住院还是占用病床时间短的病人先住院等；
• 约束条件可能包括病人最长等待时间限制、不同症状之间的病人不同房等；
• 在10年国赛交巡警服务平台的设置与调度问题中，
• 决策变量为服务平台的位置坐标；
• 目标函数为交巡警车到达事发地时间最短、交巡警封锁交通要道时间最短；
• 约束条件可能包括事故发生后交警最晚到达时间，一定区域内服务平台最低数量要求等。

如何选择合适的优化方法?
●优化类问题中常用的数学模型和求解算法，其中包括线性规划、非线性规划、整数规划、多目标规划等。在模型求解中，对于凸优化模型，可以采用基于梯度的求解算法；对于非凸的优化模型，可以采用智能优化算法。

数模各类常用算法

评价类算法——层次分析法

• 基本思想：
  是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序 ，在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。
• 基本步骤：
  构建层次结构模型；构建判断矩阵；层次单排序及一致性检验（即判断主观构建的判断矩阵在整体上是否有较好的一致性）。
• 优点：
  它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。
• 缺点：
  用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。
• 适用范围：
  尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。
• 改进方法：
  (1)判断矩阵可以采用德尔菲法获得。
  (2)如果评价指标个数过多（一般超过9个），利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。

评价类算法——灰色综合评价法（灰色关联度分析）

• 基本思想：
  灰色关联分析的实质就是，可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价象进行比较、排序。关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，反之，变化态势则相悖。由此可得出评价结果。
• 基本步骤：
  建立原始指标矩阵；确定最优指标序列；进行指标标准化或无量纲化处理；求差序列、最大差和最小差；计算关联系数；计算关联度。
• 优点：
  是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型，该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，可以排除人为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单，通俗易懂，易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理，可用原始数据进行直接计算，可靠性强；评价指标体系可以根据具体情况增减；无需大量样本，只要有代表性的少量样本即可。
• 缺点：
  要求样本数据且具有时间序列特性；只是对评判对象的优劣做出鉴别，并不反映绝对水平，故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。
• 适用范围：
  对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，适合只有少量观测数据的问题；应用该种方法进行评价时，指标体系及权重分配是一个关键的题，选择的恰当与否直接影响最终评价结果。
• 改进方法：
  (1)采用组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。
  (2)结合TOPSIS法：不仅关注序列与正理想序列的关联度，而且关注序列与负理想序列的关联度，依据公式计算最后的关联度。

评价类算法——模糊综合评价法

➢ 3、模糊综合评价法

• 基本思想：
  是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级（或称为评语集）状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象
  的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数评判指标，再据此排序择优。
• 基本步骤：
  确定因素集、评语集；构造模糊关系矩阵；确定指标权重；进行模糊合成和做出评价。
• 优点：
  数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评价模型不仅可对评价
  对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。评判逐对进行，对被评对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法，因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。
• 缺点：
  并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题，隶属函数的确定还没有系统的方法，而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断，由于各因素权重的确定带有一定的主观性，因此，总的来说，模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。
• 应用范围：
  广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于指标选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。
• 改进方法：
  (1)采用组合赋权法：根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。