一、B-树（即B树）的定义及操作

1.1、定义

B-tree即B树，B是Balanced，平衡的意思，因为B树的原英文名称为B-tree，国内很多人将其译为B-tree，所以B树就是B-树。

磁盘管理系统中的目录管理，以及数据库系统中的索引组织多数都采用B树这种数据结构。

一棵m阶的B树，或为空树，或是满足以下特性的m叉树：

1. 树中每个结点至多有m棵子树；
2. 若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
3. 除根之外的所有非终端结点至少有[m/2]（向上取整）棵子树；
4. 所有叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息，通常称为失败结点（失败结点并不存在，指向这些结点的指针为空，引入失败结点是为了便于分析B树的查找性能）；
5. 所有非终端结点最少有[m/2]-1个关键字，最多有m-1个关键字，结点的结构如图所示：
   
   其中，n为结点中关键字的个数，K为关键字，且；P为指向子树根结点的指针，且指针所指子树中所有结点的关键字均小于，所指子树中所有结点的关键字均大于。
   对任一关键字K而言，相当于指向其左子树，相当于指向其右子树。
   B树具有平衡、有序、多路的特点。
   
   具体实现时，为记录其双亲结点，B树结点的存储结构通常会增加一个parent指针，指向其双亲结点，如图：
   

#define MaxSize 3typedef struct BTnode{int keynum;//结点中关键字的个数，即结点的大小struct BTnode *parent;//指向双亲结点ElemType key[m+1];//关键字向量，0号单元未用struct BTnode *ptr[m+1];//子树指针向量Record *recptr[m+1];//记录指针向量，0号单元未用
}BTnode, *BTree;//B树查找结果类型
typedef struct{BTnode *pt;int i;//1...m，在结点中的关键字序号int tag;//1：查找成功，0：查找失败
}Result;

1.2、操作

1.2.1、查找

算法思想：
将给定值key与根结点的各个关键字进行比较，由于该关键字序列是有序的，所以查找时可采用顺序查找，也可采用折半查找，查找时：

1. 若，则查找成功；
2. 若，则顺着指针所指向的子树继续向下查找；
3. 若，则顺着指针所指向的子树继续向下查找；
4. 若，则顺着指针所指向的子树继续向下查找。
5. 如果在自上而下的查找过程中，找到了关键字key，则查找成功，如果直到叶子结点也未找到，则查找失败。

1.2.2、插入

思想：针对m阶高度h的B树，插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素。

1. 若该结点元素个数小于m-1，则直接插入；
2. 若该结点元素个数等于m-1，引起结点分裂，以该结点中间元素为分界，取中间元素（若中间元素为两个，则随机选取一个）插入到父结点中；
3. 重复上述操作，直到所有结点符合B树的规则，最坏的情况是一直分裂到根结点，生成新的根结点，高度增加1。

示例分析：
以5阶B树为例，5阶B树的规则：

1. 2<=根结点的子树<=5；
2. 3<=分支结点的子树<=5
3. 1<=根结点元素个数<=4
4. 2<=分支结点元素个数<=4
   
   
   

1.2.3、删除

首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在，则将该元素在其结点中进行删除；删除该元素后，首先判断该元素是否有左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的某相近元素(“左孩子最右边的节点”或“右孩子最左边的节点”)到父节点中，然后是移动之后的情况；如果没有，直接删除。

1. 某结点中元素数目小于[m/2]-1,则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满；
2. 如果丰满（结点中元素个数大于(m/2)-1），则向父节点借一个元素来满足条件；
3. 如果其相邻兄弟都不丰满，即其结点数目等于(m/2)-1，则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行“合并”成一个结点；
   以5阶B树为例，详细讲解删除的动作：
   如图依次删除依次删除【8】,【20】,【18】,【5】
   
   
   
   
   

二、B+树的定义及操作

2.1、定义

B+树是应文件系统所需而产生的B树的变形树。
一棵m阶B+树满足以下条件：

1. 每个结点最多有M个子结点；
2. 非叶子结点的根结点至少有两个子结点；
3. 除根结点外的分支结点至少有[m/2]个子结点；
4. 有k棵子树的非叶子结点有k个关键字，且关键字按照升序排列；
5. 叶结点在同一层次中。
6. 所有叶子结点增加一个链接指针链接在一起；
7. 所有关键字及其映射数据都在叶子结点中出现。
   
   
   优点：
   B+树的插入过程与B树基本类似，区别在于：
8. 第一次插入两层结点，一层做分支，一层做根；
9. B+树在分裂时，是将左半部分的数据保留，右半部分的数据放入新建兄弟结点中，并将新建结点中的最小值更新到父结点中。

2.2、操作

2.2.1、查找

若非终端结点上的关键字等于给定值， 并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。B+树查找的分析类似于B-树。

B+树不仅能够有效地查找单个关键字，而且更适合查找某个范围内的所有关键字。例如，在B+树上找出范围在[a, b]之间的所有关键字值。 处理方法如下：通过一次查找找出关键字 a, 不管它是否存在，都可以到达可能出现a的叶子结点，然后在叶子结点中查找关键字值等于a或大于a的那些关键字，对千所找到的每个关键字都有一个指针指向相应的记录，这些记录的关键字在所需要的范围。 如果在当前结点中没有发现大于b的关键字，就可以使用当前叶子结点的最后一个指针找到下一个叶子结点，并继续进行同样的处理，直至在某个叶子结点中找到大于b的关键字，才停止查找。

2.2.2、插入

仅在叶子结点上进行插入，当结点中的关键字个数大于m时要分裂成两个结点，它们所含关键字的个数分别为[(m+1)/2] 和 [(m+1)/2]并且，它们的双亲结点中应同时包含这两个结点中的最大关键字。

2.2.3、删除

B+树的删除也仅在叶子结点进行，当叶子结点中最大关键字被删除时，其 在非终端结点中的值可以作为一个 “分界关键字“ 存在。若因删除 而使结点中关键字的个数少于「m/2]时，其和兄弟结点的合 并过程亦和B-树类似。

三、B*树

B*树是在B+树的基础上，在B+树的非根和非叶子结点增加指向兄弟的指针，将结点的利用率从1/2提高到2/3。