神聖的綫性代數速成例題12. 齊次方程組零解充要條件、其齊次方程組非零解、齊次方程組基礎解系

1. 綫性空間的定義：

設 $V$ 是一個非空集合， $P$ 是一個數域。

在集合 $V$ 的元素之間定義了加法運算，即對於任意 $\alpha,\beta\in V$ ，有唯一的 $\gamma\in V$ ，使得 $\gamma = \alpha + \beta$ ；在數域 $P$ 與集合 $V$ 的元素之間定義了數乘運算，即對於任意 $k\in P$ 和 $\alpha\in V$ ，有唯一的 $\delta\in V$ ，使得 $\delta = k\alpha$ 。

如果加法和數乘運算滿足以下八條運算規律：

加法交換律： $\alpha + \beta = \beta + \alpha$ ， $\forall\alpha,\beta\in V$ 。

加法結合律： $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ ， $\forall\alpha,\beta,\gamma\in V$ 。

存在零元素：在 $V$ 中存在一個元素 $0$ ，使得 $\alpha + 0 = \alpha$ ， $\forall\alpha\in V$ 。

存在負元素：對於任意 $\alpha\in V$ ，在$V$中存在一個元素$\beta$，使得$\alpha + \beta = 0$。

數乘結合律： $k(l\alpha) = (kl)\alpha$ ， $\forall k,l\in P$ ， $\forall\alpha\in V$ 。

數乘對加法的分配律： $k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$ ， $\forall k\in P$ ， $\forall\alpha,\beta\in V$ 。

係數加法對數乘的分配律： $(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$ ， $\forall k,l\in P$ ， $\forall\alpha\in V$ 。

單位元數乘： $1\cdot\alpha = \alpha$ ， $\forall\alpha\in V$ 。

則稱 $V$ 是數域 $P$ 上的綫性空間。

2. 子空間的判定：

設 $V$ 是數域 $P$ 上的綫性空間， $W$ 是 $V$ 的非空子集合。如果 $W$ 對於 $V$ 中所定義的加法和數乘運算也構成數域 $P$ 上的綫性空間，則稱 $W$ 是 $V$ 的子空間。

判定方法：對於 $V$ 的非空子集合 $W$ 若滿足：

對於任意 $\alpha,\beta\in W$ ，有 $\alpha + \beta\in W$ （對加法封閉）。

對於任意 $k\in P$ 和 $\alpha\in W$ ，有 $k\alpha\in W$ （對數乘封閉）。

則 $W$ 是 $V$ 的子空間。

例題解析：

1. 判斷所有實數域 $\mathbb{R}$ 上的 $2\times 2$ 矩陣構成的集合 $M_{2}(\mathbb{R})$ 對於矩陣的加法和數乘運算是否構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間。

解：

加法交換律：設 $A,B\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}$ ， $A + B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}$ ， $B + A=\begin{pmatrix}b_{11}+a_{11}&b_{12}+a_{12}\\b_{21}+a_{21}&b_{22}+a_{22}\end{pmatrix}=A + B$ ，滿足加法交換律。

加法結合律：設 $A,B,C\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $(A + B) + C=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a_{11}+b_{11})+c_{11}&(a_{12}+b_{12})+c_{12}\\(a_{21}+b_{21})+c_{21}&(a_{22}+b_{22})+c_{22}\end{pmatrix}$ ， $A + (B + C)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11}+c_{11}&b_{12}+c_{12}\\b_{21}+c_{21}&b_{22}+c_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}+(b_{11}+c_{11})&a_{12}+(b_{12}+c_{12})\\a_{21}+(b_{21}+c_{21})&a_{22}+(b_{22}+c_{22})\end{pmatrix}$ ，滿足加法結合律。

存在零元素：零矩陣 $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ ，對於任意 $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $A + O = A$ 。

存在負元素：對於任意 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $-A=\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&-a_{22}\end{pmatrix}$ ，使得 $A + (-A)=O$ 。

數乘結合律：設 $k,l\in\mathbb{R}$ ， $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $k(lA)=k\begin{pmatrix}la_{11}&la_{12}\\la_{21}&la_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k(la_{11})&k(la_{12})\\k(la_{21})&k(la_{22})\end{pmatrix}=(kl)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=(kl)A$ 。

數乘對加法的分配律：設 $k\in\mathbb{R}$ ， $A,B\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $k(A + B)=k\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k(a_{11}+b_{11})&k(a_{12}+b_{12})\\k(a_{21}+b_{21})&k(a_{22}+b_{22})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka_{11}+kb_{11}&ka_{12}+kb_{12}\\ka_{21}+kb_{21}&ka_{22}+kb_{22}\end{pmatrix}=kA + kB$ 。

係數加法對數乘的分配律：設 $k,l\in\mathbb{R}$ ， $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ ， $(k + l)A=(k + l)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(k + l)a_{11}&(k + l)a_{12}\\(k + l)a_{21}&(k + l)a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka_{11}+la_{11}&ka_{12}+la_{12}\\ka_{21}+la_{21}&ka_{22}+la_{22}\end{pmatrix}=kA + lA$ 。

單位元數乘： $1\cdot A = 1\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=A$ 。

所以所有實數域 $\mathbb{R}$ 上的 $2\times 2$ 矩陣構成的集合 $M_{2}(\mathbb{R})$ 對於矩陣的加法和數乘運算構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間。

2. 判斷實數域 $\mathbb{R}$ 上的所有 $n$ 次多項式構成的集合 $P_n(\mathbb{R})$ （ $n$ 固定）對於多項式的加法和數乘運算是否構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間。

解：

加法交換律：設 $f(x),g(x)\in P_n(\mathbb{R})$ ， $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0$ ， $g(x)=b_nx^n+\cdots+b_1x + b_0$ ， $f(x)+g(x)=(a_n + b_n)x^n+\cdots+(a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)$ ， $g(x)+f(x)=(b_n + a_n)x^n+\cdots+(b_1 + a_1)x + (b_0 + a_0)=f(x)+g(x)$ ，滿足加法交換律。

加法結合律：設 $f(x),g(x),h(x)\in P_n(\mathbb{R})$ ， $(f(x)+g(x))+h(x)=((a_n + b_n)x^n+\cdots+(a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0))+(c_nx^n+\cdots+c_1x + c_0)=((a_n + b_n)+c_n)x^n+\cdots+((a_1 + b_1)+c_1)x + ((a_0 + b_0)+c_0)$ ， $f(x)+(g(x)+h(x))=(a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0)+((b_n + c_n)x^n+\cdots+(b_1 + c_1)x + (b_0 + c_0))=(a_n+(b_n + c_n))x^n+\cdots+(a_1+(b_1 + c_1))x + (a_0+(b_0 + c_0))$ ，滿足加法結合律。

存在零元素：零多項式 $0(x)=0$ ，對於任意 $f(x)\in P_n(\mathbb{R})$ ， $f(x)+0(x)=f(x)$ 。

存在負元素：對於任意 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0\in P_n(\mathbb{R})$ ， $-f(x)=-a_nx^n-\cdots-a_1x - a_0$ ，使得 $f(x)+(-f(x))=0(x)$ 。

數乘結合律：設 $k,l\in\mathbb{R}$ ， $f(x)\in P_n(\mathbb{R})$ ， $k(lf(x))=k(l(a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0))=(kl)(a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0)=(kl)f(x)$ 。

數乘對加法的分配律：設 $k\in\mathbb{R}$ ， $f(x),g(x)\in P_n(\mathbb{R})$ ， $k(f(x)+g(x))=k((a_n + b_n)x^n+\cdots+(a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0))=k(a_n + b_n)x^n+\cdots+k(a_1 + b_1)x + k(a_0 + b_0)=(ka_nx^n+\cdots+ka_1x + ka_0)+(kb_nx^n+\cdots+kb_1x + kb_0)=kf(x)+kg(x)$ 。

係數加法對數乘的分配律：設 $k,l\in\mathbb{R}$ ， $f(x)\in P_n(\mathbb{R})$ ， $(k + l)f(x)=(k + l)(a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0)=(ka_nx^n+\cdots+ka_1x + ka_0)+(la_nx^n+\cdots+la_1x + la_0)=kf(x)+lf(x)$ 。

單位元數乘： $1\cdot f(x)=1(a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0)=a_nx^n+\cdots+a_1x + a_0=f(x)$ 。

所以實數域 $\mathbb{R}$ 上的所有 $n$ 次多項式構成的集合 $P_n(\mathbb{R})$ 對於多項式的加法和數乘運算構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間。

3. 判斷實數域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 維矢量空間 $\mathbb{R}^n$ 中，所有形如 $(x_1,x_2,\cdots,x_{n - 1},0)$ 的矢量構成的集合 $W$ 是否是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。

解：

對加法封閉：設 $\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_{n - 1},0)$ )， $\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_{n - 1},0)$ ， $\alpha+\beta=(x_1 + y_1,x_2 + y_2,\cdots,x_{n - 1} + y_{n - 1},0 + 0)=(x_1 + y_1,x_2 + y_2,\cdots,x_{n - 1} + y_{n - 1},0)\in W$ 。

對數乘封閉：設 $k\in\mathbb{R}$ ， $\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_{n - 1},0)$ ， $k\alpha=(kx_1,kx_2,\cdots,kx_{n - 1},k\times0)=(kx_1,kx_2,\cdots,kx_{n - 1},0)\in W$ 。

所以集合 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。

4. 判斷所有實數域 $\mathbb{R}$ 上的 $3\times 3$ 上三角矩陣構成的集合 $U$ 對於矩陣的加法和數乘運算是否構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間，若是，進一步判斷它是否為所有 $3\times 3$ 矩陣構成的集合 $M_{3}(\mathbb{R})$ 的子空間。

解：

判斷是否構成綫性空間：

加法交換律：設 $A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&b_{22}&b_{23}\\0&0&b_{33}\end{pmatrix}$ ， $A + B = \begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\0 + 0&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\0 + 0&0 + 0&a_{33}+b_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\0&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\0&0&a_{33}+b_{33}\end{pmatrix}$ ， $B + A = \begin{pmatrix}b_{11}+a_{11}&b_{12}+a_{12}&b_{13}+a_{13}\\0&b_{22}+a_{22}&b_{23}+a_{23}\\0&0&b_{33}+a_{33}\end{pmatrix}=A + B$ ，滿足加法交換律。

加法結合律：設 $A,B,C\in U$ ， $(A + B) + C = \left(\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\0&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\0&0&a_{33}+b_{33}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\0&c_{22}&c_{23}\\0&0&c_{33}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}(a_{11}+b_{11})+c_{11}&(a_{12}+b_{12})+c_{12}&(a_{13}+b_{13})+c_{13}\\0&(a_{22}+b_{22})+c_{22}&(a_{23}+b_{23})+c_{23}\\0&0&(a_{33}+b_{33})+c_{33}\end{pmatrix}$ ， $A + (B + C) = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}b_{11}+c_{11}&b_{12}+c_{12}&b_{13}+c_{13}\\0&b_{22}+c_{22}&b_{23}+c_{23}\\0&0&b_{33}+c_{33}\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}+(b_{11}+c_{11})&a_{12}+(b_{12}+c_{12})&a_{13}+(b_{13}+c_{13})\\0&a_{22}+(b_{22}+c_{22})&a_{23}+(b_{23}+c_{23})\\0&0&a_{33}+(b_{33}+c_{33})\end{pmatrix}$ ，滿足加法結合律。

存在零元素：零矩陣 $O = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ ，對於任意 $A\in U$ ， $A + O = A$ 。

存在負元素：對於任意 $A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}\in U$ ， $-A = \begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}\\0&-a_{22}&-a_{23}\\0&0&-a_{33}\end{pmatrix}$ ，使得 $A + (-A)=O$ 。

數乘結合律：設 $k,l\in\mathbb{R}$ ， $A\in U$ ， $k(lA)=k\left(l\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}\right)=k\begin{pmatrix}la_{11}&la_{12}&la_{13}\\0&la_{22}&la_{23}\\0&0&la_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k(la_{11})&k(la_{12})&k(la_{13})\\0&k(la_{22})&k(la_{23})\\0&0&k(la_{33})\end{pmatrix}=(kl)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}=(kl)A$ 。

數乘對加法的分配律：設 $k\in\mathbb{R}$ ， $A,B\in U$ ， $k(A + B)=k\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\0&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\0&0&a_{33}+b_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k(a_{11}+b_{11})&k(a_{12}+b_{12})&k(a_{13}+b_{13})\\0&k(a_{22}+b_{22})&k(a_{23}+b_{23})\\0&0&k(a_{33}+b_{33})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka_{11}+kb_{11}&ka_{12}+kb_{12}&ka_{13}+kb_{13}\\0&ka_{22}+kb_{22}&ka_{23}+kb_{23}\\0&0&ka_{33}+kb_{33}\end{pmatrix}=kA + kB$ 。

係數加法對數乘的分配律：設 $k,l\in\mathbb{R}$ ， $A\in U$ ， $(k + l)A=(k + l)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(k + l)a_{11}&(k + l)a_{12}&(k + l)a_{13}\\0&(k + l)a_{22}&(k + l)a_{23}\\0&0&(k + l)a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka_{11}+la_{11}&ka_{12}+la_{12}&ka_{13}+la_{13}\\0&ka_{22}+la_{22}&ka_{23}+la_{23}\\0&0&ka_{33}+la_{33}\end{pmatrix}=kA + lA$ 。

單位元數乘： $1\cdot A = 1\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}=A$ 。

所以集合 $U$ 對於矩陣的加法和數乘運算構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間。

判斷是否為子空間：

對加法封閉：由上述加法運算可知，若 $A,B\in U$ ， $A + B\in U$ ，滿足對加法封閉。

對數乘封閉：若 $k\in\mathbb{R}$ ， $A\in U$ ， $kA\in U$ ，滿足對數乘封閉。

又因為 $U$ 是 $M_{3}(\mathbb{R})$ 的非空子集合，所以 $U$ 是 $M_{3}(\mathbb{R})$ 的子空間。

5. 判斷實數域 $\mathbb{R}$ 上的二維矢量空間 $\mathbb{R}^2$ 中，所有形如 $(x,2x)$ 的矢量構成的集合 $S$ 是否是 $\mathbb{R}^2$ 的子空間。

解：

對加法封閉：設 $\alpha=(x_1,2x_1)$ ， $\beta=(x_2,2x_2)$ ， $\alpha+\beta=(x_1 + x_2,2x_1 + 2x_2)=(x_1 + x_2,2(x_1 + x_2))$ ， $\alpha+\beta\in S$ ，滿足對加法封閉。

對數乘封閉：設 $k\in\mathbb{R}$ ， $\alpha=(x_1,2x_1)$ ， $k\alpha=(kx_1,2kx_1)$ ， $k\alpha\in S$ ，滿足對數乘封閉。

又 $S$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的非空子集合，所以集合 $S$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的子空間。

6. 判斷實數域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 維矢量空間 $\mathbb{R}^n$ 中，所有形如 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ 的矢量構成的集合 $T$ 是否是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。

解：

對加法封閉：設 $\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ， $\beta=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ ，且 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ ， $y_1 + y_2 + \cdots + y_n = 0$ ， $\alpha+\beta=(x_1 + y_1,x_2 + y_2,\cdots,x_n + y_n)$ ，則 $(x_1 + y_1)+(x_2 + y_2)+\cdots+(x_n + y_n)=(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)+(y_1 + y_2 + \cdots + y_n)=0 + 0 = 0$ ，所以 $\alpha+\beta\in T$ ，滿足對加法封閉。

對數乘封閉：設 $k\in\mathbb{R}$ ， $\alpha=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ， $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ ， $k\alpha=(kx_1,kx_2,\cdots,kx_n)$ ， $kx_1 + kx_2 + \cdots + kx_n = k(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)=k\times0 = 0$ ，所以 $k\alpha\in T$ ，滿足對數乘封閉。

又 $T$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的非空子集合，所以集合 $T$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空間。

7. 判斷所有實數域 $\mathbb{R}$ 上的多項式構成的集合 $P(\mathbb{R})$ 中，次數等於 $2$ 的多項式構成的集合 $Q$ 對於多項式的加法和數乘運算是否構成實數域 $\mathbb{R}$ 上的綫性空間，是否為 $P(\mathbb{R})$ 的子空間。

解：

判斷是否構成綫性空間：設 $f(x)=a_2x^2 + a_1x + a_0$ ， $g(x)=b_2x^2 + b_1x + b_0$ （ $a_2\neq0$ ， $b_2\neq0$ ）， $f(x)+g(x)=(a_2 + b_2)x^2+(a_1 + b_1)x+(a_0 + b_0)$ ，當 $a_2 + b_2 = 0$ 時， $f(x)+g(x)$ 的次數小於 $2$ ，不屬於 $Q$ ，不滿足加法封閉性。