[CSP-J2020] 优秀的拆分
前置知识：迭代法，位运算，递归。

[CSP-J2020] 优秀的拆分

题目描述

一般来说，一个正整数可以拆分成若干个正整数的和。

例如，$1=1$，$10=1+2+3+4$ 等。对于正整数 $n$ 的一种特定拆分，我们称它为“优秀的”，当且仅当在这种拆分下，$n$ 被分解为了若干个不同的 $2$ 的正整数次幂。注意，一个数 $x$ 能被表示成 $2$ 的正整数次幂，当且仅当 $x$ 能通过正整数个 $2$ 相乘在一起得到。

例如，$10=8+2=2^3+2^1$ 是一个优秀的拆分。但是，$7=4+2+1=2^2+2^1+2^0$ 就不是一个优秀的拆分，因为 $1$ 不是 $2$ 的正整数次幂。

现在，给定正整数 $n$，你需要判断这个数的所有拆分中，是否存在优秀的拆分。若存在，请你给出具体的拆分方案。

输入格式

输入只有一行，一个整数 $n$，代表需要判断的数。

输出格式

如果这个数的所有拆分中，存在优秀的拆分。那么，你需要从大到小输出这个拆分中的每一个数，相邻两个数之间用一个空格隔开。可以证明，在规定了拆分数字的顺序后，该拆分方案是唯一的。

若不存在优秀的拆分，输出 -1。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

4 2

样例 #2

样例输入 #2

7

样例输出 #2

-1

提示

样例 1 解释

$6=4+2=2^2+2^1$ 是一个优秀的拆分。注意，$6=2+2+2$ 不是一个优秀的拆分，因为拆分成的 $3$ 个数不满足每个数互不相同。

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数据规模与约定

• 对于 $20\%$ 的数据，$n\le 10$。
• 对于另外 $20\%$ 的数据，保证 $n$ 为奇数。
• 对于另外 $20\%$ 的数据，保证 $n$ 为 $2$ 的正整数次幂。
• 对于 $80\%$ 的数据，$n\le 1024$。
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le {10}^7$。

1.迭代法

1.1.题意分析

    我们首先要解决判断的问题。容易发现，只有2的整数次幂才可以形成优秀的拆分。我们只需要提取一个公因数就可以看出来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int num;cin>>num;if(num%2==1)//判断能否拆分{cout<<-1;return 0;//直接退出程序}return 0;
}

    接下来，我们就要解决从大到小输出的问题。可以发现,10⁷ 的数据量绝对不会超过2²⁵。这里我们只需要从25开始从大到小循环2的整数次幂并判断就可以了。

1.2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int num;cin>>num;if(num%2==1)//判断能否拆分{cout<<-1;return 0;//直接退出程序}for(int i=25;i>=1;i--)//从大到小判断,最大不可能超过2^25 if((1<<i)<=num)//输出,1<<i代表1*2^i{cout<<(1<<i)<<' ';//输出这个数num-=(1<<i);//减去它}return 0;
}

2.位运算

2.1.题意分析

    观察每个可以被优秀的拆分的数，它们的二进制形式的第i位就代表了这个数有几个2ⁱ ,比如6：

6=(110)₂
(110)₂=1* 2² +1* 2¹ +0* 2⁰
所以6=4+2

    其他的数也可以仿照这个方法得出答案。我们可以使用&按位与判断这个数的二进制表达形式的第i位是否有1。

    注意：我们只需要从25位起开始判断就可以了。可以发现,10⁷ 的数据量绝对不会超过2²⁵。

2.2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int num;cin>>num;if(num%2==1)//判断能否拆分{cout<<-1;return 0;//退出程序}/*将一个数转化为2进制,如6=1*2^2+1*2^1+0*2^0=110(2),也就是从最高位开始判断,第i为如果有1,那么这个数就有一个2^i*/for(int i=25;i>=1;i--)//if((num>>i)&1)//看num左移i位后的最高位，也就是第i位是否有1，可以自己画图理解cout<<(1<<i)<<' ';//输出这个数return 0;
}

3.递归

3.1.题意分析

    换一种思路，我们可以从1开始，寻找最大的不超过n的2的整数次幂数。递归边界就是n==0时return。

    注意：我们的循环判断条件应该写成n/2>=i。当i超过n/2时就说明找到了可以分解的数。可以自己代数看一看，理解其中的原理。

3.2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void split(int n)//分解函数
{if(n==0)return;//递归边界int i=1;//从1开始while(n/2>=i)//从大判断 i<<=1;//等同于i*=2cout<<i<<' ';split(n-i);//递归处理剩下的 
}
int main()
{int n;cin>>n;if(n%2==1)//判断能否拆分{cout<<-1;return 0;}split(n);//调用分解函数return 0;
}