LeetCode面试150——122买卖股票的最佳时机II

题目难度：中等

默认优化目标：最小化平均时间复杂度。

Python默认为Python3。

1 题目描述

2 题目解析

3 算法原理及题目解析

3.1 动态规划

3.2 贪心算法

参考文献

1 题目描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的最大利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
最大总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104

2 题目解析

这道题的输入和输出和LeetCode面试150——121买卖股票的最佳时机一样，输入是数组prices，输出是最大利润。只是约束条件变了，现在可以多次买入卖出，但在任何时候只能持有一股股票。

至于题目中“你也可以先购买，然后在 同一天 出售”，我理解是方便写代码，不用同一个功能的代码还要分段写。因为正常同一天卖利润是0，不会操作的。

暴力求解就不考虑了，走两次循环，把所有差值为正的加起来(也就是利润大于0)就行，时间复杂度为O(n^2)。

动态规划法依旧能用。

3 算法原理及题目解析

3.1 动态规划

我们需要确定初始状态以及状态转移方程。

股票只有两种状态，持有或者不持有。持有到不持有就是卖，不持有到持有就是买。我们可以定义一个两维数组dp[i][j]，j=0或1。dp[i][0]表示第i天交易完手里没有股票的最大利润，dp[i][1]表示第i天交易完后手里持有一只股票的最大利润。

这样我们就可以得到状态转移方程

$dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+price[i])\\ dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-price[i])$

如果状态不发生变化，也就是继续持有或者继续不持有，dp[i][*]=dp[i-1][*]。如果发生变化，如果卖出，dp[i][0]=dp[i-1][1]+prices[i]；如果买入，dp[i][1]=dp[i-1][0]-price[i]。两两之间取大即可，然后更新。

至于初始状态，dp[0][0]=0，dp[0][1]=-prices[0]。

进一步观察，每一天的状态只与前一天的状态有关，而与更早的状态无关。因此我们可以用两个变量取代原来的两个二维数组。

这样平均时间复杂度为O(n)，平均空间复杂度为O(1)。

C++代码实现

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int dp0=0,dp1=-prices[0];
for(int price:prices){dp0=max(dp0,dp1+price);dp1=max(dp1,dp0-price);}
return dp0;
}
};

Python代码实现

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:dp0,dp1=0,-prices[0]
for price in prices:dp0=max(dp0,dp1+price)dp1=max(dp1,dp0-price)return dp0

3.2 贪心算法

该问题可以等价如下数学模型

$\sum_{i=1}^{n-1}a[r_i]-a[l_i]$

其中，a[l_i]表示在第l_i天买入，a[r_i]表示在第r_i天卖出。n为prices长度。

我们可以将a[r_i]-a[l_i]写成

$a[r_i]-a[l_i]=(a[r_i]-a[r_{i-1}])+(a[r_{i-1}]-a[r_{i-2}])+\cdots+(a[l_i]-a[l_{i-1}]+(a[l_{i-1}]-a[l_{i-2}]))+\cdots$

这样可以将问题转换为求对两天之间的买卖利润求和。当然，如果利润小于0，就不进行买卖操作。所以最终的公式如下

$profit=\sum_{i=1}^{n-1}max(0,a[i]-a[i-1])$

平均时间复杂度O(n)，平均空间复杂度O(1)。

C++代码实现

class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {int n=prices.size(),profit=0;
for(int i=1;i<n;i++){profit+=max(0,prices[i]-prices[i-1]);}
return profit;
}
};

Python代码实现

class Solution:def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:n,profit=len(prices),0
for i in range(1,n):profit+=max(0,prices[i]-prices[i-1])
return profit