Runge-Kutta (RK4)
  The Runge-Kutta (RK4) methods are used to solve the solution of the non-liner ordinary differential equation. Here, we will simply summary this method.
  Assume the Intial Value Piont (IVP) is satisfied:
$$y\prime =f(t,y),y(t_0)=y_0(1)$$
  The formulation of RK4 is given by:
$$y_{(}n+1)=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)(2)$$

where,
$$\begin{gathered} k_1=f(t_n,y_n) \\ {k}_2=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_1) \\ {k}_3=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_2) \\ {k}_4=f(t_n+h,y_n+h{k}_3) \end{gathered}$$
  Here, the $k_i$ represent the slope of middle points of the variable time $t$. Will, the Runge-Kutta methods just be generalized by RK4.
  In this equation，the next value $y_{n+1}$ is decided by the current value $y_n$ adds the time interval $h$ and multiply an estimated middle point slope $k$ weight averaged by the slope $k_i$:
  下一个值 $y_{n+1}$ 由现在的值 $y_n$ 加上时间间隔 $h$ 和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：和一个估算的斜率 $k$ 的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
  $$k=\frac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}(3)$$
  $k_1$ is the slope of the time beginning. （时间段开始时的斜率）
  $k_2$ is the slope of the middle time point.
  时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率 $k_1$ 来决定 $y$ 在点 $t_n+h/2$ 的值；
  $k_3$ is also the slope of the middle time point who’s calculated by slope $k_2$ and the intial value $y$. (也是中点的斜率，但是这次采用斜率 $k_2$ 决定 $y$ 值。)
  $k_4$ is the slope of the time ending. 时间段终点的斜率，其 $y$ 值用 $k_3$决定。

  RK4 法是四阶方法，也就是说每步的误差是 h 阶，而总积累误差为 h 阶。

  注意 上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。

  Generalization (推广)

  The Runge-Kutta methods are generalized by RK4, which can be formulated as:
$$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^n{b}_i{k}_i(4)$$
where,

given the specific problem, the progression $s$ and the coefficient $a_{ij}$ and $c_i$ must be provided.

对于给定的一个特定的方法，必须提供整数 $s$（级数），以及系数 $a_{ij}$（对于$1\le j<i\le s$）,$b_i$（对于 $i=1,2,...,s$）和 $c_i$（对于 $i=2,3,...,s$）。

The Runge-Kutta methods is self-consistent, if:
龙格库塔法是自洽的，如果：
$$\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}=c_{i}fori=2,\dots ,s.(5)$$