数学建模评价类

数学建模评价类—Topsis法

文章目录

前言

切记：以下内容仅用于参考理解，不可用于数模竞赛！！！

一、Topsis的基本原理

二、Topsis的建模过程

1.判断矩阵是否需要正向化

2.原始矩阵正向化

3.矩阵标准化

4.计算距离，给出得分

总结

前言

本文会讲解到用于评价类问题的第二种方法—Topsis(优劣解距离）法

切记：以下内容仅用于参考理解，不可用于数模竞赛！！！

使用Topsis法的特征：运用于多目标决策分析中。此时一般具有不同的选择，以及不同的指标用于评价选择的好坏，并且给出了具体的数据，并且我们知道这些指标怎样算好，所以我们能对不同的选择做出评价得出最优的选择。

一、Topsis的基本原理

TOPSIS法引入了两个基本概念：
理想解：设想的最优的解(方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值；
负理想解：设想的最劣的解(方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。

方案排序的规则：是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。

模型原理：归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。

评判标准：贴近度取值在0～1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平;反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。

二、Topsis的建模过程

1.判断矩阵是否需要正向化

基本思路：输入所给矩阵，得出有几个评价对象和几个评价指标，根据主观判断是否需要对所给指标进行正向化处理

如：假如我们要选对象，有颜值，脾气，身高，体重这几个评价指标；易得颜值应为极大型，脾气为极小型，身高为中间型，体重为区间型（具体如何判断类型在第二部分！！！）

D = input('指标矩阵A=');  %输入判断矩阵
[n,m] = size(D); %得出矩阵D具有几行几列
%这个地方为了实现打印的值能够随着n的变化而变化，所以运用了字符串拼接函数
%字符串拼接后是一个字符串数组，so要用[]
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象',num2str(m) '个评价指标']);Judge = input([num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1，不需要则输入0']);if 1==Judgeposition = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]:');disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型 ，2：中间型 ，3：区间型）');type = input('例如：第二列是区间型，第三列是中间型，第五列是极小型，则输入[3,2,1]');%用数组存储对应的值%特别注意position和type是两个同维度的行向量，千万不要漏填了for k = 1:size(position,2)%这里2代表维度，求的是position列的数量%有几列需要处理则循环多少次D(:,position(k)) = Positivization(D(:,position(k)),type(K),position(k));enddisp('正向化处理后的矩阵 D= ');disp(D);
end

2.原始矩阵正向化

目标：将所有的指标类型统一转化为极大型指标

指标类型及其转化为极大型的公式：

为了方便，我们将实现转化的公式都单独写成函数实现（Matlab代码）

此时我们写一个函数名为positivation实现所有指标的正向化，对于每种不同的指标我们有不同的处理方法，此时我们同样可以单独写函数来实现不同的功能，在positivation函数中调用其他函数

function [Posit_D] =Positivization(D,type,k)
%输入变量D，type，k
%D：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
%type：指标的类型（1：极小型 ，2：中间型 ，3：区间型）
%k：正在处理的是原始矩阵中的哪一列
%输出变量Posit_D是正向化后的列向量if 1==typedisp(['第',num2str(k),'列是极小型，正在正向化'])Posit_D = Min2Max(D);%调用Min2Max函数来正向化disp(['第',num2str(k),'列极小项正向化处理完成'])disp('~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')elseif 2==typedisp(['第',num2str(k),'列是中间型，正在正向化'])best = input('请输入最优值：');Posit_D = Mid2Max(D,best);%调用Mid2Max函数来正向化disp(['第',num2str(k),'列中间型正向化处理完成'])disp('~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')elseif 3==typedisp(['第',num2str(k),'列是区间型，正在正向化'])a = input('请输入区间下界：');b = input('请输入区间上界：');Posit_D = Inter2Max(D,a,b);%调用Inter2Max函数来正向化disp(['第',num2str(k),'列区间型正向化处理完成'])disp('~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')elsedisp('没有该种类型的指标请重新输入')endend

接下来我们实现不同指标的转化函数

极大型：越大越好。如：成绩，GDP增速
极小型：越小越好。如：坏品率，污染程度

$\widetilde{x}=max-x$

~x为转化后指标，max为指标最大值，𝑥为指标值

function [Posit_D] = Min2Max(D)Posit_D =max(D)-D;%最大值-每一列的值end

中间型：越趋近于某个值越好。如：身高，监测水质的PH

function [Posit_D]= Mid2Max(D,best)
M = max(abs(D-best));%同理将公式套用即可
Posit_D = 1-abs(D-best)/M ;
end

区间型：在区间内的数据最好。如：体重，体温

function [Posit_D] = Inter2Max(D,a,b)row_D =size(D,1);M = max([a-min(D),max(D)-b]);%将Posit_D初始化为0，节省处理时间Posit_D = zeros(row_D,1); %创建一个row_D行，1列的全零矩阵for j=1:row_Dif D(j)<aPosit_D(j) = 1-(a-D(j))/M;elseif D(j)>aPosit_D(j) = 1-(D(j)-b)/M;elsePosit_D(j) = 1;endend
end

3.矩阵标准化

目的：消除不同指标量纲的影响

公式：记标准化的矩阵为Z，已经正向化后的矩阵为X，则Z中的每一个元素

%2.对正向化后的矩阵标准化
B = D./repmat(sum((D.*D).^0.5),n,1);%sum默认是矩阵的列相加
disp('标准化矩阵B =');
disp(B);

4.计算距离，给出得分

距离计算实际上就是计算两点间的距离，只不过这里是一个m维的坐标，点的坐标为（z1,z2,···zm)

再计算出得分

前面我们提到了贴近度（得分）越接近1，方案应该是越好的，此处我们易得0=< Si <=1,当Di+越小时，Si越趋近于1，此时方案越好

最后对得分进行归一化并换算成百分制

最后根据得分越高方案越优排序即可。

D_P = sum((B - repmat(max(B),n,1)) .^ 2 ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum((B - repmat(min(B),n,1)) .^ 2 ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = 100*S / sum(S);%对数据进行归一化处理并且使用百分制
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend');%sort函数默认升序排列，sort（A，1）——升序，sort（A，2）——降序
%此处将排序后的值以及，值所对应的索引输出