主成分分析和线性判别分析

主成分分析 (PCA)

PCA 是一种线性降维方法，通过投影到主成分空间，尽可能保留数据的方差。

原理

PCA 通过寻找数据投影后方差最大的方向，主成分是这些方向上的正交向量。

公式推理

对数据中心化：

其中，μ 是数据的均值向量。

计算协方差矩阵：

其中，n 是样本数量。

对协方差矩阵求特征值和特征向量：

其中，v 是特征向量，λ是特征值。

选择前 k 个最大特征值对应的特征向量，构建投影矩阵：

将原始数据投影到新的低维空间：

经典案例

案例：PCA在手写数字识别数据集上的应用

我们将使用经典的MNIST数据集，它包含了大量的手写数字图片，每张图片是28x28像素的灰度图像，共有10个类别（0到9）。通过PCA将MNIST数据集从784维降到2维，并可视化不同数字在降维空间的分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_openml
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 加载MNIST数据集
mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1,as_frame=False,parser='liac-arff')
X = mnist.data.astype('float64')
y = mnist.target.astype('int64')# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 使用PCA进行降维到2维
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 8))
scatter = plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=y, cmap='tab10', edgecolor='k', s=20)
plt.colorbar(scatter, label='Digit', ticks=range(10))
plt.title('PCA of MNIST Dataset')
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.grid(True)
plt.show()

代码解析

加载MNIST数据集：使用 fetch_openml 函数加载MNIST数据集，包括特征矩阵 X 和目标向量 y。
标准化数据：使用 StandardScaler 对数据进行标准化处理，使得每个特征具有零均值和单位方差。
使用PCA进行降维：创建 PCA 对象并将数据降到 2 维。
可视化：绘制降维后的数据分布，不同颜色表示不同数字类别。

代码中展示了如何利用PCA对高维数据进行降维，并通过可视化直观地展示了降维后数据的分布情况，有助于理解数据集的结构与特征之间的关系。

线性判别分析 (LDA)

LDA 是一种监督降维方法，通过最大化类间方差与类内方差的比率，找到可以最好地区分类别的投影方向。

原理

LDA 寻找投影方向，使得同类样本的投影尽可能接近，而不同类样本的投影尽可能远离。通过类间散度矩阵和类内散度矩阵的特征值分解，确定最优投影方向。

公式推理

计算类内散度矩阵 SWS_WSW 和类间散度矩阵 SBS_BSB：

- 类内散度矩阵：

- 类间散度矩阵：

其中，μi 是第 i 类的均值向量，μ 是所有样本的总体均值向量，Ni 是第 i 类的样本数，c是类别数。

求解广义特征值问题：

其中，w 是特征向量，λ 是特征值。

选择前 k 个最大特征值对应的特征向量，构建投影矩阵：

将原始数据投影到新的低维空间：

经典案例

案例：LDA 在葡萄酒分类数据集上的应用

葡萄酒数据集包含三类葡萄酒的 13 个化学特征。通过 LDA 将 13 维特征降到 2 维，并可视化不同类别葡萄酒在降维空间的分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_wine
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis as LDA# 加载葡萄酒数据集
wine = load_wine()
X = wine.data
y = wine.target# 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 使用LDA进行降维到2维
lda = LDA(n_components=2)
X_lda = lda.fit_transform(X_scaled, y)# 可视化
plt.figure(figsize=(10, 8))
for class_value in np.unique(y):plt.scatter(X_lda[y == class_value, 0], X_lda[y == class_value, 1], label=wine.target_names[class_value], edgecolor='k', s=100)
plt.xlabel('Linear Discriminant 1')
plt.ylabel('Linear Discriminant 2')
plt.title('LDA of Wine Dataset')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()