[C++进阶数据结构]二叉搜索树

多态讲完了,我们来讲点轻松的(也许)。

我们之前讲过二叉树，而二叉树中，又有一种特殊的树称之为二叉搜索树。

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

例如下图，左边的是一颗二叉搜索树，右边不是：

为什么这样的树称作二叉搜索树呢？因为这树天生就十分适合搜索。我们可以这么想使用左边的树，如果我们想找到22的话，首先22比25小，所以一定在左子树，而22大于20，所以一定在右子树。然后我们就可以找到了。我们可以发现，这种树的效率天生就很高，这棵树最多找高度次。也就是说最多找N次（注意不是logN次，因为我们可能碰到下图中右边的树），下图中的两棵树都是二叉搜素树。也就是说时间复杂度为O(N)

普通的二叉搜索树的时间复杂度为O(N)，但是我们可以对其进行一些特殊变换，使之成为AVL树，红黑树之类的（之后我们再讲）。这样时间复杂度就可以降为了O(logN)了。

这个树还有另一个名字是二叉排序树，这是因为当我们对这棵树进行中序遍历的时候，结果是升序的。

二、二叉搜索树的实现

1.二叉树的结点定义

对于二叉树的结点，我们类似于list的结点定义一样，使用一个struct类。

template<class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode(const K& val = K()):_key(val),_left(nullptr),_right(nullptr){}K _key;BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;
};

2.二叉搜索树的结构

为了方便我们后续的结点定义，我们将结点给typedef一下。然后我们的成员变量其实也就这一个根节点。只要有根节点就可以构建出二叉搜索树了。

private:typedef BSTreeNode<K> Node;Node* _root;

3.二叉搜索树的构造函数

public:BSTree():_root(nullptr){}

如上代码所示，对于构造函数其实是比较简答的，我们只需要将二叉树的根结点初始化为空即可

4.二叉搜索树的插入


对于插入接口，我们需要考虑的情况有如下两种：

  1. 二叉树为空的时候，直接new一个结点插入上去即可
  2. 如果二叉树不为空，那么我们就需要进行比较

例如上面的例子，我们此时插入一个16

16小于25,向左走。

16小于20，向左走。

16大于10，向右走，并插入空

注意：如果恰好等于当前结点的值，那么我们可以认为插入失败了，因为此时已经不满足二叉搜索树的定义了。

代码实现：

我们现在想的方法是对二叉树进行迭代，迭代到空new一个新节点插入，但是如果我们只是对二叉树进行迭代最终我们会发现如此迭代下去，最终的当前结点一定会为空指针，这并非我们所期望的。我们肯定是还需要它的父节点的，这样才能让我目标值插入进去。所以我们还需要一个值来记录当前所迭代位置的父节点。即我们下面写的parent。

有了parent以后，我们现在就是new一个新的结点，然后直接parent链接起来。不过此时又分为两种情形，是左孩子还是右孩子，其实并不好确定。于是我们可以使用parent当前的值与目标值进行比对从而判断出是插入左孩子还是右孩子。

public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}else{Node* parent = _root;Node* cur = _root;while (cur != nullptr){if (cur->_key == key){return false;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{parent = cur;cur = cur->_right;}}cur = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = cur;}else if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}return true;}}

5.二叉搜索树的中序遍历


插入了以后，我们可以使用中序遍历对其进行输出，由于中序遍历就是排序后的情形，所以我们可以很方便的看到我们当前二叉树的结果。

对于排序，我们最好写一个子函数来实现，因为没有子函数的话，参数不好进行控制，会使得代码十分繁琐。

如下代码所示，对于中序遍历我们其实还是比较容易看懂的。无非就是先左子树，然后根，然后右子树即可。我们最好将子函数放在私有的部分中，因为在类外我们并不需要直接使用这个函数

public:void InOrder(){_InOrder(_root);}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

6.二叉搜索树的查找


对于查找的逻辑，是非常简单的，它与插入也是比较相似的，当我们当前结点的值小于目标的时候，迭代到右子树，当大于目标的时候，迭代到左子树。当相等的时候返回true即可。但若当cur都为nullptr了的时候还没有找到，那就是没有找到，返回false即可

public:bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key == key){return true;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}}return false;}

7.二叉搜索树的删除

对于二叉搜索树的删除操作，其实是比较困难的。

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在就返回false

如果存在，那么此时要删除的节点可能分为以下四种情况：

  1. 要删除的节点无子节点
  2. 要删除的节点只有左子节点
  3. 要删除的节点只有右子节点
  4. 要删除的节点有左、右子节点

第一种情况是最好处理的，释放节点，直接把父节点指向改为空。

第二种情况，要删除的节点只有左子节点，我们还是用上面的例子，此时18就是一个只有左子节点的节点

如果我们要删除2，只需要将2的父节点和2的左子节点链接，然后直接删除2即可。

第三种情况，要删除的节点只有右子节点，此时13就是一个只有右子节点的节点

如果我们要删除13，只需要将13的父节点和13的右子节点链接，然后直接删除13即可

总结，第二种和第三种情况的删除方式其实也适用于第一种情况，因为无子节点，也就是左右都为空，此时父节点链接的是一个空指针，并删除目标节点即可。

第四种：要删除的节点有左、右节点，此时23符合要求

我们的目标是，在23的子树中寻找一个值，将23与这个值交换。这种方法叫做替换法。

要寻找的值必须满足交换后二叉搜索树的性质不变，所以我们需要在23的左子树找出一个最大值，或者在23的右子树找出一个最小值。

前面提到过对二叉搜索树中序遍历可以得到一个有序的序列，所以23的子树的最大值，也就是在左子树中做一次中序遍历下的最后一个数，也就是21。简单来说，我们只需要从23向左走一步，然后一直向右走，就可以找到左子树的最大值了

而23的右子树的最小值，也就是在右子树中做一次中序遍历下的第一个数，也就是26。和上面类似的，我们只需要从26向右走一步，然后一直向左走，就可以找到右子树的最小值了。

因此，我们可以将23和21替换，或者将23和26替换

这里就只展示23和21替换的情况，当学会规律后，另一种情况也就学会了。

替换后，还需要把23的父节点和23的子节点链接，这里又有两种情况需要区分，否则导致错误：

  1. 替换后23的父节点位于23原先的位置
  2. 替换后23的父节点不位于23原先的位置

可以看出，在这种情况下23的父节点位于23原先的位置，那么就要将此时23的左子节点赋值给父节点的left，然后就可以直接删除23了

我们改造一下这颗二叉搜索树.使父节点不位于原先的位置(另一种情况)

假设我们要删去12（改造后12的左子树的最大值为11）

此时，就需要将12的左子节点赋值给父节点的right，然后直接删除12。

这里是一个易错点，需要注意情况的判断。以上是对二叉搜索树的操作部分。

因此我们引出了两种写法,

以下是先考虑parent与cur这两代人之间的关系所写的代码

public:bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{if (parent == nullptr){if (cur->_left == nullptr){_root = cur->_right;delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){_root = cur->_left;delete cur;return true;}else{Node* leftMaxParent = cur;Node* leftMax = cur->_left;if (leftMax->_right == nullptr){leftMax->_right = cur->_right;delete cur;_root = leftMax;return true;}while (leftMax->_right){leftMaxParent = leftMax;leftMax = leftMax->_right;}std::swap(leftMax->_key, cur->_key);leftMaxParent->_right = leftMax->_left;delete leftMax;leftMax = nullptr;return true;}}if (parent->_left == cur){if (cur->_left == nullptr){parent->_left = cur->_right;delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){parent->_left = cur->_left;delete cur;return true;}else {Node* leftMaxParent = cur;Node* leftMax = cur->_left;if (leftMax->_right == nullptr){leftMax->_right = cur->_right;delete cur;parent->_left = leftMax;return true;}while (leftMax->_right){leftMaxParent = leftMax;leftMax = leftMax->_right;}std::swap(leftMax->_key, cur->_key);leftMaxParent->_right = leftMax->_left;delete leftMax;leftMax = nullptr;return true;}}else{if (cur->_left == nullptr){parent->_right = cur->_right;delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){parent->_right = cur->_left;delete cur;return true;}else{Node* leftMaxParent = cur;Node* leftMax = cur->_left;if (leftMax->_right == nullptr){leftMax->_right = cur->_right;delete cur;parent->_right = leftMax;return true;}while (leftMax->_right){leftMaxParent = leftMax;leftMax = leftMax->_right;}std::swap(leftMax->_key, cur->_key);leftMaxParent->_right = leftMax->_left;delete leftMax;leftMax = nullptr;return true;}}}}return false;}

以下是根据先考虑cur与其孩子之间的关系所写的代码

public:bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else if (parent->_right == cur){parent->_right = cur->_right;}}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else if (parent->_right = cur){parent->_right = cur->_left;}}else{Node* leftMax = cur->_left;Node* leftMaxParent = cur;while (leftMax->_right){leftMaxParent = leftMax;leftMax = leftMax->_right;}std::swap(cur->_key, leftMax->_key);if (leftMaxParent->_left == leftMax){leftMaxParent->_left = leftMax->_left;}else{leftMaxParent->_right = leftMax->_left;}cur = leftMax;}delete cur;return true;}}}

这两种方法都可以完成这个接口，但是代码量有显著的差异。这里推荐先考虑cur和其后代之间的关系。因为替代法这个出现于cur与其后代之间的关系之中。

8.二叉搜索树的查找（递归）

前面,都是讲的非递归,此处为补充(能用迭代还是用迭代去找)

二叉树其实本身还是比较适合递归的。为了可以控制参数，我们要写一个子函数去解决，当根节点为空的时候，直接返回false即可，当前的结点小于要查找的结点，那么去右子树找，当大于时候，去左子树找即可。

public:bool FindR(const K& key){return _FindR(_root, key);}
private:bool _FindR(Node* root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}if (root->_key == key){return true;}else if (root->_key > key){return _FindR(root->_left, key);}else{return  _FindR(root->_right, key);}}

9.二叉搜索树的插入（递归）

大体思路同上,也是补充而已

public:bool InsertR(const K& key){return _InsertR(_root, key);}
private:bool _InsertR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){root = new Node(key);return true;}if (root->_key < key){return _InsertR(root->_right, key);}else if (root->_key > key){return _InsertR(root->_left, key);}else{return false;}}

10.二叉搜索树的删除（递归）

这个写的挺妙的

public:	bool EraseR(const K& key){return _EraseR(_root, key);}
private:bool _EraseR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr){return false;}if (root->_key < key){return _EraseR(root->_right, key);}else if (root->_key > key){return _EraseR(root->_left, key);}else{Node* del = root;if (root->_left == nullptr){root = root->_right;}else if (root->_right == nullptr){root = root->_left;}else{Node* leftMax = root->_left;while (leftMax->_right){leftMax = leftMax->_right;}std::swap(leftMax->_key, root->_key);return _EraseR(root->_left, key);}delete del;return true;}}

11.二叉搜索树的销毁

拉欧i据 直接按照后序的方式进行销毁即可。

public:~BSTree(){_Destory(_root);}
private:void _Destory(Node*& root){if (root == nullptr){return;}_Destory(root->_left);_Destory(root->_right);delete root;root == nullptr;}

这里最好传引用，因为这样可以置空root指针

12.拷贝构造函数

拷贝构造函数，我们需要实现一个深拷贝，和之前的二叉树基本一样,我们讲deque时也做过了。

这里我们使用先序的方式进行构造：

public:BSTree(const BSTree<K>& t){_root = Copy(t._root);}
private:Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* Copyroot = new Node(root->_key);Copyroot->_left = Copy(root->_left);Copyroot->_right = Copy(root->_right);return Copyroot;}

13.运算符重载

这里主要用的还是赋值运算符重载吧,

现代写法启动:

public:BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t){std::swap(_root, t._root);return *this;}​

14.二叉搜索树的实现

template<class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public:bool insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* prev = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){prev = cur;if (key > cur->_key)cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)cur = cur->_left;elsereturn false;}cur = new Node(key);if (key > prev->_key)prev->_right = cur;elseprev->_left = cur;return true;}bool insertR(const K& key) //递归版本{return _insertR(_root, key);}bool find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)cur = cur->_left;elsereturn true;}return false;}bool findR(const K& key) //递归版本{return _findR(_root, key);}bool erase(const K& key) //替换法：把目标替换成左子树的最大值或右子树的最小值{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{if (cur->_left == nullptr) //左子树为空{if (cur == _root)_root = cur->_right;else{if (cur == parent->_right)parent->_right = cur->_right;elseparent->_left = cur->_right;}}else if(cur->_right == nullptr) //右子树为空{if (cur == _root)_root = cur->_left;else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}}else //左右子树都不为空{parent = cur;Node* leftmid = cur->_left;while (leftmid->_right){parent = leftmid;leftmid = leftmid->_right;}swap(cur->_key, leftmid->_key);if (parent == cur)parent->_left = leftmid->_left;elseparent->_right = leftmid->_left;cur = leftmid;}delete cur;return true;}}return false;}bool eraseR(const K& key) //递归版本{return _eraseR(_root, key);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}BSTree() = default;BSTree(const BSTree<K>& t){_root = copy(t._root);}~BSTree(){Destroy(_root);}private:Node* copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newroot = new Node(root->_key);newroot->_left = copy(root->_left);newroot->_right = copy(root->_right);return newroot;}void Destroy(Node*& root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}bool _findR(Node* root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (root->_key == key)return true;if (key > root->_key)return _findR(root->_right, key);elsereturn _findR(root->_left, key);}bool _insertR(Node*& root, const K& key) //参数中指针一定要用引用，不然链接不上{if (root == nullptr){root = new Node(key);return true;}if (key > root->_key)return _insertR(root->_right, key);else if (key < root->_key)return _insertR(root->_left, key);elsereturn false;}bool _eraseR(Node*& root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (key > root->_key)return _eraseR(root->_right, key);else if (key < root->_key)return _eraseR(root->_left, key);else{if (root->_left == nullptr){Node* tmp = root;root = root->_right; //由于引用，root是父节点子树的别名，所以可以直接修改delete tmp;}else if (root->_right == nullptr){Node* tmp = root;root = root->_left;delete tmp;}else{Node* leftmid = root->_left;while (leftmid->_right)leftmid = leftmid->_right;swap(root->_key, leftmid->_key);return _eraseR(root->_left, key);}return true;}}
private:Node* _root = nullptr;
};

三、二叉搜索树的应用

1）key模型

即只有key作为关键码，只需要在二叉搜索树中存储一个key即可。例如我们将业主的信息作为key，将整个小区所有业主的key存储进二叉搜索树中，如果此时要查询一个人是否是小区的业主，只需要将他的key在二叉搜索树中查找一下就可以知道这个人是否是业主了。后面要学习的set，就是一个key模型

2）key/value模型

每一个关键码key，都有与之对应的值value，也就是要在二叉搜索树中存储<key, value>的键值对。例如字典就是一个key/value模型，英文单词作为key，中文作为value，通过key就可以查找到value。又例如哈希表或者类似的用于统计某个物品出现次数的结构，通过查找该物品就可以快速得到其出现次数，这也是一个key/value模型。后面要学习的map，就是一个key/value模型我们可以将二叉搜索树改造为key/value的结构，让节点中多存储一个value，再进行一些修改即可

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _val;BSTreeNode(const K& key, const V& val):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _val(val){}
};template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(const K& key, const V& val){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, val);return true;}Node* prev = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){prev = cur;if (key > cur->_key)cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)cur = cur->_left;elsereturn false;}cur = new Node(key, val);if (key > prev->_key)prev->_right = cur;elseprev->_left = cur;return true;}Node* find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key)cur = cur->_right;else if (key < cur->_key)cur = cur->_left;elsereturn cur;}return nullptr;}bool erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root)_root = cur->_right;else{if (cur == parent->_right)parent->_right = cur->_right;elseparent->_left = cur->_right;}}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root)_root = cur->_left;else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}}else{parent = cur;Node* leftmid = cur->_left;while (leftmid->_right){parent = leftmid;leftmid = leftmid->_right;}swap(cur->_key, leftmid->_key);if (parent == cur)parent->_left = leftmid->_left;elseparent->_right = leftmid->_left;cur = leftmid;}delete cur;return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " : " << root->_val << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;
};

本篇文章到此结束，如有错误感谢指正。

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数学建模--智能算法之免疫算法

数学建模--智能算法之免疫算法

目录 基本原理 应用实例 代码示例 总结 免疫算法在免疫系统研究中的应用和进展是什么&#xff1f; 如何量化评估免疫算法在不同优化问题中的性能和效率&#xff1f; 免疫算法与其他智能优化算法&#xff08;如遗传算法、粒子群优化&#xff09;相比有哪些独特优势和局限性…
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【C++】C++11的新特性 — 线程库 ，原子操作 , 条件变量

【C++】C++11的新特性 — 线程库 ，原子操作 , 条件变量

勇敢就是接受发生在你身上的事&#xff0c;并把它尽力做到最好。 -- 约翰・欧文 -- C11的新特性 1 线程1.1 线程概念1.2 C中的线程1.3 线程并行1.4 锁 2 原子操作3 条件变量Thanks♪(&#xff65;ω&#xff65;)&#xff89;谢谢阅读&#xff01;&#xff01;&#xff01;下…
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编译和汇编的区别

编译和汇编的区别

一、编译 编译是将高级语言&#xff08;如C、C、Java等&#xff09;编写的源代码转换成计算机可以直接执行的低级语言&#xff08;通常是机器语言或汇编语言&#xff09;的过程 编译 —— 将人类可读的源代码转换为计算机可执行的指令集 编译过程 通常包括词法分析、语法分…
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