目录
§7-1 波的基本概念
一、机械波产生的条件
二、横波和纵波
三、波线和波面
四、简谐波
五、物体的弹性形变*
1. 长变
2. 切变
3.容变
六、描述波动的几个物理量
1.波速 u
2.波动周期和频率
3.波长入
§7.2 平面简谐波的方程
一、平面简谐波的波动方程
1.一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播
2.沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
二、波动方程的物理意义
1.如果给定x，即x=x0
2. 如果给定t，即t=t0
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
三、平面简谐行波的微分方程
§7.3 波的能量和流密度
一、波的能量和能量密度
1.波的能量
2.能量密度
二、波的能流和能流密度
1.能流:
2. 能流密度(波的强度)：
3.平面波和球面波的振幅
三、波的吸收
§7.4 惠更斯原理 波的衍射
一、惠更斯原理
二、波的衍射
§7.5 波的叠加原理 波的干涉
三、波的干涉
1.相干条件
2.波场中的强度分布
§7.6 驻波
一、驻波方程
二、驻波的特点
1.波腹与波节
2.位相并不传播(驻波)
3.驻波能量
三、半波损失
§7.7 多普勒效应
一、多普勒效应
§7.1 波的基本概念
§7.2 平面简谐波的方程
§7.3 波的能量和流密度
§7.4 惠更斯原理 波的衍射
§7.5 波的叠加原理 波的干涉
§7.6 驻 波
§7.7 多普勒效应
振动在空间的传播过程叫做波动 机械振动在连续介质内的传播叫做机械波
§7-1 波的基本概念
一、机械波产生的条件
①有作机械振动的物体，即波源； ②有连续的介质.
如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。
弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；
液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。
二、横波和纵波
横波: 振动方向与传播方向垂直的波
纵波: 振动方向与传播方向平行的波
沿着波的传播方向向前看去，前面各质点的振动位相都依次落后于波源的振动位相.
机械波向外传播的是波源(及各质点)的振动状态和能量.
横波在介质中传播时，只有固体能承受切变，因此横波只能在固体中传播.
纵波在介质中就形成稠密和稀疏的区域，故又称为疏密波.纵波可引起介质产生容变.固体、液体、气体都能承受容变，因此纵波能在所有物质中传播.
三、波线和波面
波场: 波传播到的空间。
波线(波射线) : 代表波的传播方向的射线。
波面: 波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。
波前(波阵面): 某时刻波源最初的振动状态传到的波面。
各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.
沿波线方向各质点的振动相位依次落后。
四、简谐波
波源以及介质中各质点的振动都是谐振动.
任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加.
五、物体的弹性形变*
弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。
1. 长变
在弹性限度范围内，应力与应变成正比
E称为弹性模量
2. 切变
相对面发生相对滑移
3.容变
六、描述波动的几个物理量
1.波速 u
振动状态(即位相)在单位时间内传播的距离，波速又称相速.
在固体媒质中横波波速为
在固体媒质中纵波波速为
G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 p为介质的密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些
在弦中传播的横波波速为:
T为弦中张力，u为弦的线密度
在液体和气体只能传播纵波，其波速为：
B为介质的容变弹性模量 p为密度
理想气体纵波声速:
y为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量， T为热力学温度， R为气体的普适常数， p为气体的密度
2.波动周期和频率
波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示。
波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用v表示。
3.波长入
一波线上相邻的位相差为2入 的两质点的距离。
§7.2 平面简谐波的方程
在平面简谐波中，波线是一组垂直于波面的平行射线，因此可选任一波线上任一点的振动方程来研究平面波的传播规律.
一、平面简谐波的波动方程
1.一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播
以某一波线为x轴，设原点振动方程：
O点振动状态传到p点需用时
t 时刻p处质点的振动状态重复
p点的振动方程：
沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波的传播方向, 质点振动状态(位相)落后于原点(波源)的振动状态(位相).
2.沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程
波矢(波数)
二、波动方程的物理意义
1.如果给定x，即x=x0
2. 如果给定t，即t=t0
3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形
三、平面简谐行波的微分方程
§7.3 波的能量和流密度
一、波的能量和能量密度
平面简谐波
在x处取一体积元dV, 质量为 dm=pdV
质点的振动速度
体积元内媒质质点动能为
体积元内媒质质点的弹性势能为
1.波的能量
体积元内媒质质点的总能量为：
说明
(1) 在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
(2)在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。
横波在绳上传播时
体积元在平衡位置Q时，相对形变量最大，弹性势能也为最大；此时动能也最大。
体积元在最大位移P时，相对形变为零 ，弹性势能亦为零；此时动能等于零。
2.能量密度
单位体积介质中所具有的波的能量。
平均能量密度: 一个周期内能量密度的平均值。
二、波的能流和能流密度
1.能流:
单位时间内通过介质中某一截面的能量。
平均能流：在一个周期内能流的平均值。
2. 能流密度(波的强度)：
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量
3.平面波和球面波的振幅
在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
对平面波：
在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等
对球面波：
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r
由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：
三、波的吸收
波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。
设介质中某处振幅为A，经厚为dx的介质，振幅的衰减量为-dA，
§7.4 惠更斯原理 波的衍射
一、惠更斯原理
介质中波阵面(波前)上的各点.都可以看做是发射子波的波源.其后任一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面.
在各向同性介质中传播
二、波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向要发生改变。波能绕过障碍物的边缘继续前进，这种现象叫波的衍射
应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律
§7.5 波的叠加原理 波的干涉
波传播的独立性原理或波的叠加原理：
各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性(频率、波长、振动方向、传播方向等)不变，与各波单独传播时一样；而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成.
能分辨不同的声音正是这个原因
说明：
(1) 波的叠加与振动的叠加是不完全相同的.
(2) 波的叠加原理与波动方程为线性微分方程是一致的.
三、波的干涉
两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则在合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一些点的振动始终减弱(或完全抵消)，这种现象称为波的干涉.
1.相干条件
频率相同
振动方向相同
位相差恒定
相干波源: 满足相干条件的波源
2.波场中的强度分布
设s1、s2为两相干波源，其振动方程分别为
传播到p点引起的振动分别为：
在p点的振动为同方向同频率振动的合成。
合成振动为：
其中：
由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：
说明:
(1) 位相仅由位置决定，合振幅由波程差(r2-r1)决定，故这是一个稳定的叠加图样。即有干涉现象
(2) 干涉相长与干涉相消的条件：
§7.6 驻波
驻波是两列振幅相同、相向传播的相干波的叠加称为驻波.
一、驻波方程
简单的，设两列相向传播的波在原点位相相同
两波相遇，其合成波为
函数不满足
不具备传播的特征,它不是行波
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。
二、驻波的特点
1.波腹与波节
驻波振幅分布特点
2.位相并不传播(驻波)
相邻两波节间各点振动位相相同； 波节两边各点振动位相相反。
3.驻波能量
驻波振动中无位相传播，也无能量的传播。能流密度为0.平均说来没有能量的传播，一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换， 并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。
三、半波损失
波阻(波的阻抗): 是指介质的密度与波速之乘积
z = pu.
1.若 p1u1 > p2u2 ,即波密-》波疏
若忽略透射:
反射波和入射波同相
2.若p1u1 < p2u2 ，即波疏——》波密
反射波有相位突变Π——半波损失
§7.7 多普勒效应
一、多普勒效应
多普勒于1842年发现，当波源或观察者、或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同，这类现象称为多普勒效应或者多普勒频移。
水波的多普勒效应（波源向右运动）
简单地，选介质为参考系，以波源及观察者连线为x轴，并规定波动向着观察者传播方向为正方向
注意: 波速u是波相对于介质的速度，它只决定于介质性质，恒为正值. 区分3种频率,波动频率是以介质为参考系，接收频率是以接收者为参考系
1.波源不动，观察者相对于介质运动 v s=0, v B 不等于 0
观察者测得的波速 (vB>0)
在不考虑相对论效应时，观察者测得的波长
入‘=入
接收频率vB 
当观察者向着波源运动时 (V B >0), 接收频率提高。
当观察者远离波源运动时 (V B <0) , 接收频率降低。
2.观察者不动，波源相对于介质运动 Vs 不等于0, vB=0
由于波源的运动，介质中的波长发生发变化。
波源向着观察者运动时 (Vs >0)
运动的前方波长缩短，波形被压缩
接收频率
若波源背离观察者运动 (Vs<0)
S 运动的后方波长伸长，则波形被拉长
接收频率会降低
3.波源和观察者同时相对于介质运动(V B不等于 0 , V S 不等于 0)
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