【数据结构】二叉树（一）

1. 树型结构

概念

树的表示形式

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2. 二叉树（重点）

2.1 概念

2.2 二叉树的性质

2.3 二叉树的存储

2.4 二叉树的遍历

前中后序遍历

层序遍历：

2.5二叉树的基本操作

本篇主要理解树和二叉树相关概念，二叉树遍历及基本操作。

1. 树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是由递归定义的。

树与非树的区分点：

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
树形结构中，除根结点外，每个节点有且仅有一个父节点，否则就不是树形结构
树形结构中，一颗N个结点的树有N-1条边，否则就不是树形结构

1.1概念

树型结构里，有非常多的概念，多用用就记住了

结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图： A 的度为3

树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3

叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图：J F K L 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： B 是 A 的孩子结点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图： B 、 C 、 D 、 E... 等节点为分支结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：G H 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法 ， 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {

int value ; // 树中存储的数据

Node firstChild ; // 第一个孩子引用

Node nextBrother ; // 下一个兄弟引用

}

结构图

树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

顾名思义，二叉树是度不大于2的树，二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

空树
只有根节点
只有左子树
只有右子树
左右子树均在

两种特殊的二叉树

1、 满二叉树 : 一棵二叉树，如果 每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果一棵 二叉树的层数为 K ，且结点总数是 $2^k{}-1$ ，则它就是满二叉树 。

2.、 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0 至n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

加图理解：

2.2 二叉树的性质

1. 若规定 根结点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0) 个结点

2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K的二叉树的最大结点数是 $2^k{}-1$ (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 上取整 $log_2{(n+1)}$

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，

则对于 序号为 i 的结点有 ：

若 i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号 ，无双亲结点

若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子

若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2

2.3 二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储 。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：

// 孩子表示法

class Node {

int val ; // 数据域

Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

}

// 孩子双亲表示法

class Node {

int val ; // 数据域

Node left ; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

Node right ; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

Node parent ; // 当前节点的根节点

}

（本文采用孩子表示法）

并且二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.4 二叉树的遍历

前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

public void createBinaryTree(){BTNode node1 = new BTNode(1);BTNode node1 = new BTNode(2);BTNode node1 = new BTNode(3);BTNode node1 = new BTNode(4);BTNode node1 = new BTNode(5);BTNode node1 = new BTNode(6);root = node1;node1.left = node2;node2.left = node3;node1.right = node4;node4.left = node5;node5.right = node6;
}

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱， 如果按 照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的 。如果 N 代表根节点， L 代表根节点的左子树，R 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点。

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。

层序遍历：

层序遍历 ：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第 2 层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

下面做选择题熟悉遍历三种方式

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为 ( )

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历： EFHIGJK; 中序遍历： HFIEJKG. 则二叉树根结点为 ()

A: E B: F C: G D: H

3.设一课二叉树的中序遍历序列： badce ，后序遍历序列： bdeca ，则二叉树前序遍历序列为 ()

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出 ( 同一层从左到右 ) 的序列为 ()

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A

2.5二叉树的基本操作

对于二叉树有以下常见操作，会在二叉树下篇经典面试题中讲解。

// 获取树中节点的个数

int size ( Node root );

// 获取叶子节点的个数

int getLeafNodeCount ( Node root );

// 子问题思路 - 求叶子结点个数

// 获取第 K 层节点的个数

int getKLevelNodeCount ( Node root , int k );

// 获取二叉树的高度

int getHeight ( Node root );

// 检测值为 value 的元素是否存在

Node find ( Node root , int val );

// 层序遍历

void levelOrder ( Node root );

// 判断一棵树是不是完全二叉树

boolean isCompleteTree ( Node root );