MATLAB中lsqr函数用法

语法

说明

示例

线性系统的迭代解

使用指定了预条件子的 lsqr

提供初始估计值

使用函数句柄代替数值矩阵

lsqr函数的功能是求解线性系统 - 最小二乘法。

语法

x = lsqr(A,b)
x = lsqr(A,b,tol)
x = lsqr(A,b,tol,maxit)
x = lsqr(A,b,tol,maxit,M)
x = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2)
x = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = lsqr(___)
[x,flag,relres] = lsqr(___)
[x,flag,relres,iter] = lsqr(___)
[x,flag,relres,iter,resvec] = lsqr(___)
[x,flag,relres,iter,resvec,lsvec] = lsqr(___)

说明

x = lsqr(A,b) 尝试使用最小二乘法求解关于 x 的线性系统 A*x = b。lsqr 求最小化 norm(b-A*x) 的最小二乘解 x。当 A 相容时，最小二乘解也是线性系统的解。如果尝试成功，lsqr 会显示一条消息来确认收敛。如果 lsqr 无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停，则会显示一条包含相对残差 norm(b-A*x)/norm(b) 以及该方法停止时的迭代次数的诊断消息。

x = lsqr(A,b,tol) 指定该方法的容差。默认容差是 1e-6。

x = lsqr(A,b,tol,maxit) 指定要使用的最大迭代次数。如果 lsqr 无法在 maxit 次迭代内收敛，将显示诊断消息。

x = lsqr(A,b,tol,maxit,M) 指定预条件子矩阵 M 并通过有效求解关于 y 的方程组 AM^−1y=b 来计算 x，其中 y=Mx。使用预条件子矩阵可以改善问题的数值属性和计算的效率。

x = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2) 指定预条件子矩阵 M 的因子，使得 M = M1*M2。

x = lsqr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 指定解向量 x 的初始估计值。默认值为由零组成的向量。

[x,flag] = lsqr(___) 返回一个标志，指示算法是否成功收敛。当 flag = 0 时，收敛成功。您可以将此输出语法用于之前的任何输入参数组合。如果指定了 flag 输出，lsqr 将不会显示任何诊断消息。

[x,flag,relres] = lsqr(___) 还返回计算的解 x 的残差。如果 flag 是 0，则 x 是最小化 norm(b-A*x) 的最小二乘解。如果 relres 很小，则 x 也是相容的解，因为 relres 表示 norm(b-A*x)/norm(b)。

[x,flag,relres,iter] = lsqr(___) 还会返回计算出 x 时的迭代次数 iter。

[x,flag,relres,iter,resvec] = lsqr(___) 还会在每次迭代中返回残差范数向量（包括第一个残差 norm(b-A*x0)）。

[x,flag,relres,iter,resvec,lsvec] = lsqr(___) 还会返回 lsvec，即每次迭代的缩放标准方程误差的估计值。

示例

线性系统的迭代解

使用采用默认设置的 lsqr 求解矩形线性系统，然后调整求解过程中使用的容差和迭代次数。

创建密度为 50% 的随机稀疏矩阵 A。另为 Ax=b 的右侧创建随机向量 b。

rng default
A = sprand(400,300,.5);
b = rand(400,1);

使用 lsqr 求解 Ax=b。输出显示包括相对残差的值。

x = lsqr(A,b);
lsqr stopped at iteration 20 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 20) has relative residual 0.26.

默认情况下，lsqr 使用 20 次迭代和容差 1e-6，但对于此矩阵，算法无法在 20 次迭代后收敛。由于残差仍然很大，这说明需要更多的迭代（或预条件子矩阵）。也可以使用更大的容差，使算法更容易收敛。

使用容差 1e-4 和 70 次迭代再次求解方程组。指定六个输出，以返回计算的解的相对残差 relres，以及残差历史记录 resvec 和最小二乘残差历史记录 lsvec。

[x,flag,relres,iter,resvec,lsvec] = lsqr(A,b,1e-4,70);
flag
flag = 0

由于 flag 为 0，因此该算法能够在指定的迭代次数内满足所需的误差容限。通常可以一起调整容差和迭代次数，以这种方式在速度和精度之间进行权衡。

检查计算的解的相对残差和最小二乘残差。

relres
relres = 0.2625
lsres = lsvec(end)
lsres = 2.5375e-04

这些残差范数表明 x 是最小二乘解，因为 relres 不小于 1e-4 的指定容差。由于线性系统不存在相容的解，求解器的最佳做法是使最小二乘残差满足容差。

绘制残差历史记录。相对残差 resvec 很快达到最小值且无法取得进一步进展，而最小二乘残差 lsvec 在后续迭代中继续最小化。

N = length(resvec);
semilogy(0:N-1,lsvec,'--o',0:N-1,resvec,'-o')
legend("Least-squares residual","Relative residual")

如图所示：

使用指定了预条件子的 `lsqr`

检查使用指定了预条件子矩阵的 lsqr 来求解线性系统的效果。

加载 west0479，它是一个非对称的 479×479 实稀疏矩阵。

load west0479
A = west0479;

定义 b 以使 Ax=b 的实际解是全为 1 的向量。

b = sum(A,2);

设置容差和最大迭代次数。

tol = 1e-12;
maxit = 20;

使用 lsqr 根据请求的容差和迭代次数求解。指定六个输出以返回有关求解过程的信息：

x 是计算 A*x = b 所得的解。
fl 是指示算法是否收敛的标志。
rr 是计算的解 x 的相对残差。
it 是计算 x 时所用的迭代次数。
rv 是 ‖b−Ax‖ 的残差历史记录组成的向量。
lsrv 是最小二乘残差历史记录组成的向量。

[x,fl,rr,it,rv,lsrv] = lsqr(A,b,tol,maxit);
fl
fl = 1
rr
rr = 0.0017
it
it = 20

由于 fl = 1，算法未在最大迭代次数内收敛于指定的容差。

为了有助于缓慢收敛，可以指定预条件子矩阵。由于 A 是非对称的，请使用 ilu 生成分解形式的预条件子 M=L U。指定调降容差，以忽略值小于 1e-6 的非对角线元。通过将 L 和 U 指定为 lsqr 的 M1 和 M2 输入，求解 y=Mx 的预条件方程组 AM^−1(M x)=b。

setup = struct('type','ilutp','droptol',1e-6);
[L,U] = ilu(A,setup);
[x1,fl1,rr1,it1,rv1,lsrv1] = lsqr(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1
fl1 = 0
rr1
rr1 = 7.1047e-14
it1
it1 = 13

在第 13 次迭代中，使用 ilu 预条件子产生的相对残差小于规定的容差 1e-12。输出 rv1(1) 为 norm(b)，输出 rv1(end) 为 norm(b-A*x1)。

可以通过绘制每次迭代的相对残差来跟踪 lsqr 的进度。绘制每个解的残差历史记录图，并添加一条表示指定容差的线。

semilogy(0:length(rv)-1,rv/norm(b),'-o')
hold on
semilogy(0:length(rv1)-1,rv1/norm(b),'-o')
yline(tol,'r--');
legend('No preconditioner','ILU preconditioner','Tolerance','Location','East')
xlabel('Iteration number')
ylabel('Relative residual')

如图所示：

提供初始估计值

检查向 lsqr 提供解的初始估计值的效果。

创建一个随机矩形稀疏矩阵。使用每行的总和作为 Ax=b 右侧的向量，使 x 的预期解是由 1 组成的向量。

A = sprand(700,900,0.1);
b = sum(A,2);

使用 lsqr 求解 Ax=b 两次：一次是使用默认的初始估计值，一次是使用解的良好初始估计值。对两次求解均使用 75 次迭代和默认容差。将第二个解中的初始估计值指定为所有元素都等于 0.99 的向量。

maxit = 75;
x1 = lsqr(A,b,[],maxit);
lsqr converged at iteration 64 to a solution with relative residual 8.7e-07.
x0 = 0.99*ones(size(A,2),1);
x2 = lsqr(A,b,[],maxit,[],[],x0);
lsqr converged at iteration 26 to a solution with relative residual 9.6e-07.

随着初始估计值接近预期解，lsqr 能够在更少的迭代次数后收敛。

返回中间结果

还可以通过在 for 循环中调用lsqr来使用初始估计值获得中间结果。每次调用求解器都会执行几次迭代，并存储计算出的解。然后，将该解用作下一批迭代的初始向量。

例如，以下代码会循环执行四次，每次执行 100 次迭代，并在 for 循环中每通过一次后均存储解向量：

x0 = zeros(size(A,2),1);
tol = 1e-8;
maxit = 100;
for k = 1:4[x,flag,relres] = lsqr(A,b,tol,maxit,[],[],x0);X(:,k) = x;R(k) = relres;x0 = x;
end

X(:,k) 是在 for 循环的第 k 次迭代时计算的解向量，R(k) 是该解的相对残差。

使用函数句柄代替数值矩阵

通过为 lsqr 提供用来计算 A*x 和 A'*x 的函数句柄（而非系数矩阵 A）来求解线性系统。

创建一个非对称三对角矩阵。预览该矩阵。

A = gallery('wilk',21) + diag(ones(20,1),1)
A = 21×2110     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     01     9     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     1     8     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     1     7     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     1     6     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     1     5     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     1     4     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     0     1     3     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     0     0     1     2     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     00     0     0     0     0     0     0     0     1     1     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0⋮

由于此三对角矩阵有特殊的结构，您可以用函数句柄来表示 A*x 运算。当 A 乘以向量时，所得向量中的大多数元素为零。结果中的非零元素对应于 A 的非零三对角元素。

表达式 A x 变为：

结果向量可以写为三个向量的和：

同样，A^T x 的表达式变为：

在 MATLAB® 中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而根据标志输入给出 A*x 或 A'*x 的值：

function y = afun(x,flag)
if strcmp(flag,'notransp') % Compute A*xy = [0; x(1:20)] ...+ [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...+ 2*[x(2:end); 0];
elseif strcmp(flag,'transp') % Compute A'*xy = 2*[0; x(1:20)] ...+ [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...+ [x(2:end); 0];
end
end

（该函数作为局部函数保存在示例的末尾。）

现在，通过为 lsqr 提供用于计算 A*x 和 A'*x 的函数句柄，求解线性系统 Ax=b。使用容差 1e-6 和 25 次迭代。指定 b 为 A 的行总和，使得 x 的实际解是由 1 组成的向量。

b = full(sum(A,2));
tol = 1e-6;  
maxit = 25;
x1 = lsqr(@afun,b,tol,maxit)
lsqr converged at iteration 21 to a solution with relative residual 4.5e-12.
x1 = 21×11.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000⋮

局部函数

function y = afun(x,flag)
if strcmp(flag,'notransp') % Compute A*xy = [0; x(1:20)] ...+ [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...+ 2*[x(2:end); 0];
elseif strcmp(flag,'transp') % Compute A'*xy = 2*[0; x(1:20)] ...+ [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...+ [x(2:end); 0];
end
end

最小二乘法

最小二乘 (LSQR) 算法是对矩形矩阵的共轭梯度 (CG) 方法的改进。分析表明，A*x = b 的 LSQR 产生的残差与标准方程 A'*A*x = A'*b 的 CG 相同，但 LSQR 具有更好的数值属性，因此通常更可靠 [1]。

最小二乘法是唯一可处理矩形和不相容系数矩阵的迭代线性系统求解器。

提示

大多数迭代方法的收敛取决于系数矩阵的条件数 cond(A)。当 A 是方阵时，可以使用 equilibrate 来改进其条件数，它本身就能使大多数迭代求解器更容易收敛。但如果随后会对经平衡处理的矩阵 B = R*P*A*C 进行因式分解，使用 equilibrate 还可以获得质量更好的预条件子矩阵。
可以使用矩阵重新排序函数（如 dissect 和 symrcm）来置换系数矩阵的行和列，并在系数矩阵被分解以生成预条件子时最小化非零值的数量。这可以减少后续求解预条件线性系统所需的内存和时间。

参考

[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2] Paige, C. C. and M. A. Saunders, "LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations And Sparse Least Squares," ACM Trans. Math. Soft., Vol.8, 1982, pp. 43-71.