【考研数学】定积分应用——旋转体体积的计算(一文以蔽之)

目录

 一、如何计算旋转体体积?思考一个小例子

二、旋转体体积的二重积分表达式

三、用真题,小试牛刀


定积分的应用中,有一类题是求解旋转体的体积问题。

相较于记忆体积计算公式,有一种通法求解体积更不容易出错:二重积分,求体积。

先列出二重积分表达式,然后根据积分区域计算二重积分(直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性)。

本文,我先通过小例子引入一个定理,然后解释如何通过定理列二重积分表达式,然后再举2023年考研数学二的真题,加以说明。

提供实操指南。

 一、如何计算旋转体体积?思考一个小例子

 

上面这个体积该如何求呢?很多中学生都知道的一个技巧:

帕普斯-古尔丁定理 

 

由此,我们可以知道,如果知道旋转的图形的面积  *  旋转重心经过的距离,那么我们也就求出了旋转体的体积。

因此,我们也就可以写出二重积分表达式了。

二、旋转体体积的二重积分表达式

 

假设我们要求 区域D 绕ax+by+c = 0 这条直线旋转的体积。首先,我们在区域D中截取一小块区域记为dσ。其中,dσ = dxdy。我们把无数个这样的小区域绕直线的体积求出来,再相加。

所以,我们要将小区域的体积表达式写出来。在小区域中取一点(x,y),因为小区域本身就很小,所以任取的(x,y)可以看作是小区域的重心。用r(x,y)表示点(x,y)到直线的距离。

现在,我们就可以表示体积了。

 利用古尔丁定理理解:

体积  =  旋转重心经过的距离  *  旋转的图形的面积  

公式中,2Π r(x,y)表示旋转重心经过的距离,重心绕一圈,实际经过的距离就是圆的周长。旋转的图形的面积就是dσ。然后将这些小体积加起来,就是整个旋转体的体积。 

 至此,我们已经知道了体积的求解公式。

但考试一般考的是绕x轴、绕y轴、绕平行于x轴、绕平行于y轴的直线旋转。

其实,这也很简单,只要对公式进行细微的变动。绕的直线不同,只是它的距离r(x,y)变了。

例如,绕x轴旋转,点(x,y)距离x轴的距离是多少?答案是:y。因此只要将公式中的r(x,y)替换为y即可。同理,绕y轴旋转,将r(x,y)替换为x,公式依然成立。

再比如,图形绕x= 2 进行旋转,如果图形在x=2这条直线的右侧,那么在图形中随便取一点(x,y),它与x = 2这条直线的距离如何表示呢?答案是:x - 2。所以,公式中的r(x,y)就变为了x-2。公式应该写入什么值,要根据题目的条件进行变化。

图形绕x= 2 进行旋转,如果图形在x=2这条直线的左侧,那么在图形中随便取一点(x,y),它与x = 2这条直线的距离如何表示呢?答案是:2 - x。所以,公式中的r(x,y)就变为了2-x。

 列出二重积分表达式,然后根据积分区域计算二重积分(直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性)。

当然,考试时有时利用极坐标、参数方程更容易求解,可以主动转化使用。

计算二重积分并不是我想讨论的重点,列出二重积分表达式后,会有很多的方法技巧计算二重积分,可自行学习。本文,旨在以不变应万变,以一个最基本的体积公式计算体积。

三、用真题,小试牛刀

 第一问并不是本文讨论的重点,读者可自行解决。

第二问详细解答:

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/401844.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

基于 SpringCloud 分布式架构网上商城

目录 1绪论 4 1.1项目研究的背景 4 1.2开发意义 4 1.3课题研究现状 4 1.4项目研究内容与结构 5 2开发技术介绍 6 2.1Java技术 6 2.2 SpringCloud简介 6 2.3MySQL 介绍 7 2.4MySQL环境配置 7 2.5B/S架构 8 3系统分析 9 3.1可行性分析 9 3.1.1技术可行性 9 3.1.2经济可行性 9 3.…

零食赛道格局清晰:传统零食企业承压,量贩零食热度稍减

1 搭上“量贩零食”赛道的零食企业,短期内业绩都有不错的表现,但这个赛道似乎并没有以前那么热闹了。 从量贩零食赛道看,仍是鸣鸣很忙集团(原零食很忙)和万辰集团(300972.SZ)争锋,…

无人机灯光含义的详解!!!

一、LED指示灯和状态指示灯 LED指示灯:通常位于飞行器的头部机臂上,用于显示无人机的当前状态。 状态指示灯:位于尾部机臂上,提供更多关于无人机状态的信息。 红绿黄灯交替闪烁 表示无人机正在进行系统自检。稍等片刻&#xf…

pygame开发课程系列(2): Pygame 基础

第二章 Pygame 基础 本章将深入 Pygame 的基本功能,包括如何初始化 Pygame、创建窗口、设置颜色、绘制基本图形和更新屏幕。这些基础操作是开发 Pygame 游戏的起点,掌握它们是实现更复杂功能的前提。 2.1 初始化 Pygame 在开始使用 Pygame 之前&#x…

python完整爬取工商数据代码实例+数据展示

在数据爬虫这个领域,我早已不再是新手,而是一位经验丰富的老手。长期以来,我通过不断实践和探索,掌握了一系列高效的爬虫技术,特别是在应对复杂网页和动态数据时,更是积累了独特的经验。 初识爬虫&#xf…

迈出Python自动化测试的第一步

一、思考❓❔ 1.什么是性能自动化测试? 性能 系统负载能力超负荷运行下的稳定性系统瓶颈 自动化测试 使用程序代替手工提升测试效率 性能自动化 使用代码模拟大批量用户让用户并发请求多页面多用户并发请求采集参数,统计系统负载能力生成报告 2.Python中的性能自…

react-antive 項目報錯 [CXX1429] error when building with cmake using

react-antive 項目報錯 [CXX1429] error when building with cmake using修复 错误现场分析原因解决方案举一反三技巧引用参考(感谢作者提供思路) 错误现场 [CXX1429] error when building with cmake using /Users/sebastiangarcia/Desktop/work/flm/…

2#负三电梯西侧风机房5个模块故障

上三个线模块 下三个是总线模块,之前的4142 用5141顶了 4142带24v输入和输出 5141 不带只有短接功能, 风机控制柜里面进水了,继电器全部锈死了, 所以没有接24v和反馈线

人工智能-自然语言处理(NLP)

人工智能-自然语言处理(NLP) 1. NLP的基础理论1.1 语言模型(Language Models)1.1.1 N-gram模型1.1.2 词嵌入(Word Embeddings)1.1.2.1 词袋模型(Bag of Words, BoW)1.1.2.2 TF-IDF&a…

8-4 循环神经网络

对于 (8.4.2)中的函数 f f f,隐变量模型不是近似值。 毕竟 h t h_{t} ht​是可以仅仅存储到目前为止观察到的所有数据, 然而这样的操作可能会使计算和存储的代价都变得昂贵。 回想一下,我们在前面讨论过的具有隐藏单元的隐藏层。 值得注意的…

Ubuntu24.04搭建maxkb开发环境

接上文:windows10搭建maxkb开发环境(劝退指南) 上文在windows10环境搭建maxkb开发环境遇到各种坑,后面就转战ubuntu平台,果然比较顺利的完成开发环境搭建。当然遇到相关的问题还是可以参考上文《windows10搭建maxkb开发…

Docker应用部署

部署MySQL 1)拉取镜像并运行MySQL容器 # 拉取镜像到本地docker pull dockerhub.icu/library/mysql:5.6# 查看镜像docker images# 本地创建MySQL目录并进入,用于挂载mkdir -p /docker/mysqlcd /docker/mysql/# 运行MySQL容器 docker run -id \ -p 3307:3…

具有 SAM2 分段的 NDVI 无人机

在我们之前的博客文章《OAK相机扩展NDVI功能检测植物健康情况》中,我们探讨了 NDVI 方法以及如何使用多光谱相机计算它。 今天,我们通过使用带有多光谱相机的无人机并使用 SAM2 模型进行场分割和健康比较,将 NDVI 感知提升到一个新的水平。 …

Denser Retriever: RAG中更强大的AI检索器,让您10 分钟内构建聊天机器人应用

一、Denser Retriever 介绍 Denser Retriever 是一个企业级的RAG检索器,将多种搜索技术整合到一个平台中。在MTEB数据集上的实验表明,Denser Retriever可以显著提升向量搜索(VS)的基线(snowflake-arctic-embed-m模型,…

C++笔记-sstream的使用(字符串转其他类型,读取文件时用得多)

在 C 中&#xff0c;std::stringstream 类可以用来进行字符串流的输入输出&#xff0c;将字符串和其他类型的数据进行转换。 #include <iostream> #include <sstream>int main() {// 将整数转换为字符串int num 123;std::stringstream ss;ss << num;std::s…

谁偷偷看了你的网站?这两款统计工具告诉你!小白易上手~

前两天&#xff0c;上线了一个知识库网站&#xff1a;花了一天时间&#xff0c;搭了个专属知识库&#xff0c;终于上线了&#xff0c;手把手教&#xff0c;不信你学不会。 想知道这个网站的流量如何&#xff0c;怎么搞&#xff1f; 网站流量统计分析工具&#xff0c;了解下&a…

【电子科技大学主办丨IEEE 出版】第三届电子信息技术国际学术会议(EIT 2024,9月20-22)

第三届电子信息技术国际学术会议&#xff08;EIT 2024&#xff09;将于2024年9月20-22日在中国成都召开。 电子信息工程在我国信息化产业的发展过程中举足轻重&#xff0c;且随着移动通信与网络技术的发展&#xff0c;电讯网络、工业智能制造等领域与电子信息工程技术密切相关。…

No fallbackFactory instance of type xxxx found for feign client xx

文章目录 前言问题描述解决方式1、定位问题2、feign接口放置其他模块 前言 最近在openfeign中碰见一个头疼的问题&#xff0c;已经解决&#xff0c;做一次问题记录。 问题描述 报错信息nested exception is java.lang.IllegalStateException: No fallbackFactory instance of…

vue+ckEditor5 复制粘贴wold文字+图片并保存格式

第一步在vue2项目下安装 npm install --save ckeditor/ckeditor5-build-decoupled-document 第二 项目下新建一个plugins的文件夹将这个包ckeditor5-build-classic放入 &#xff08;包在页面最上方 有个下载按钮 可以下载&#xff09; 刚开始时 ckeditor5-build-classic文件…

【GLM-4微调实战】GLM-4-9B-Chat模型之Lora微调实战

系列篇章&#x1f4a5; No.文章1【GLM-4部署实战】GLM-4-9B-Chat模型本地部署实践指南2【GLM-4部署实战】GLM-4-9B-Chat模型之对话机器人部署测试3【GLM-4部署实战】GLM-4-9B-Chat模型之vLLM部署推理实践4【GLM-4微调实战】GLM-4-9B-Chat模型之Lora微调实战 目录 系列篇章&…