目录
一、如何计算旋转体体积?思考一个小例子
二、旋转体体积的二重积分表达式
三、用真题,小试牛刀
定积分的应用中,有一类题是求解旋转体的体积问题。
相较于记忆体积计算公式,有一种通法求解体积更不容易出错:二重积分,求体积。
先列出二重积分表达式,然后根据积分区域计算二重积分(直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性)。
本文,我先通过小例子引入一个定理,然后解释如何通过定理列二重积分表达式,然后再举2023年考研数学二的真题,加以说明。
提供实操指南。
一、如何计算旋转体体积?思考一个小例子
上面这个体积该如何求呢?很多中学生都知道的一个技巧:
帕普斯-古尔丁定理
由此,我们可以知道,如果知道旋转的图形的面积 * 旋转重心经过的距离,那么我们也就求出了旋转体的体积。
因此,我们也就可以写出二重积分表达式了。
二、旋转体体积的二重积分表达式
假设我们要求 区域D 绕ax+by+c = 0 这条直线旋转的体积。首先,我们在区域D中截取一小块区域记为dσ。其中,dσ = dxdy。我们把无数个这样的小区域绕直线的体积求出来,再相加。
所以,我们要将小区域的体积表达式写出来。在小区域中取一点(x,y),因为小区域本身就很小,所以任取的(x,y)可以看作是小区域的重心。用r(x,y)表示点(x,y)到直线的距离。
现在,我们就可以表示体积了。
利用古尔丁定理理解:
体积 = 旋转重心经过的距离 * 旋转的图形的面积
公式中,2Π r(x,y)表示旋转重心经过的距离,重心绕一圈,实际经过的距离就是圆的周长。旋转的图形的面积就是dσ。然后将这些小体积加起来,就是整个旋转体的体积。
至此,我们已经知道了体积的求解公式。
但考试一般考的是绕x轴、绕y轴、绕平行于x轴、绕平行于y轴的直线旋转。
其实,这也很简单,只要对公式进行细微的变动。绕的直线不同,只是它的距离r(x,y)变了。
例如,绕x轴旋转,点(x,y)距离x轴的距离是多少?答案是:y。因此只要将公式中的r(x,y)替换为y即可。同理,绕y轴旋转,将r(x,y)替换为x,公式依然成立。
再比如,图形绕x= 2 进行旋转,如果图形在x=2这条直线的右侧,那么在图形中随便取一点(x,y),它与x = 2这条直线的距离如何表示呢?答案是:x - 2。所以,公式中的r(x,y)就变为了x-2。公式应该写入什么值,要根据题目的条件进行变化。
图形绕x= 2 进行旋转,如果图形在x=2这条直线的左侧,那么在图形中随便取一点(x,y),它与x = 2这条直线的距离如何表示呢?答案是:2 - x。所以,公式中的r(x,y)就变为了2-x。
列出二重积分表达式,然后根据积分区域计算二重积分(直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性)。
当然,考试时有时利用极坐标、参数方程更容易求解,可以主动转化使用。
计算二重积分并不是我想讨论的重点,列出二重积分表达式后,会有很多的方法技巧计算二重积分,可自行学习。本文,旨在以不变应万变,以一个最基本的体积公式计算体积。
三、用真题,小试牛刀
第一问并不是本文讨论的重点,读者可自行解决。
第二问详细解答: