微分方程求解的三种解析方法：经典时域法（齐次解+特解，零状态+零输入），冲激响应卷积法、传递函数法

经典时域分析方法

以例题的形式对经典时域解法（齐次解+特解）进行说明，最后进行总结。考虑如下形式微分方程：
$y''\left( t \right) + 5y'\left( t \right) + 6y\left( t \right) = 2f'\left( t \right) + 6f\left( t \right)$

试求：当 $f(t)=t^2$ ， $y (0) = 1$ ， $y^{'} (0) = 1$ 时的全解。

解：对于激励 $f(t)=t^2$ ，查表（不同形式激励对应的特解表达式见附录）可得特解表达式为：
${y_p}\left( t \right) = {P_2}{t^2} + {P_1}t + {P_0}$
建立等式关系，求解待定系数：
$\left\{ \begin{array}{l} y_p''\left( t \right) + 5y_p'\left( t \right) + 6y_p\left( t \right) = 2f'\left( t \right) + 6f\left( t \right)\\ \to \left( {2{P_2}} \right) + 5\left( {2{P_2}t + {P_1}} \right) + 6\left( {{P_2}{t^2} + {P_1}t + {P_0}} \right) = 4t + 6{t^2}\\ \to \left( {2{P_2} + 5{P_1} + 6{P_0}} \right) + \left( {10{P_2} + 6{P_1}} \right)t + \left( {6{P_2}} \right){t^2} = 4t + 6{t^2} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} {P_0} = \frac{1}{2}\\ {P_1} = - 1\\ {P_2} = 1 \end{array} \right.$
特解表达式为：
${y_p}\left( t \right) = {t^2} - t + \frac{1}{2}$

为求解齐次解，列写微分方程对应的特征方程：
$\lambda^2+5\lambda+6=0$

可解得两个特征根，分别为 $- 2$ 和 $- 3$ 。不同形式特征根对应的齐次解表达式见附录，查表可得齐次解的表达式为：
${y_h}\left( t \right) = {C_1}{e^{ - 2t}} + {C_2}{e^{ - 3t}}$

利用初值信息求解齐次解中的待定系数，以满足初始条件，
$\left\{ \begin{array}{l} y\left( t \right) = {y_h}\left( t \right) + {y_p}\left( t \right) = {C_1}{e^{ - 2t}} + {C_2}{e^{ - 3t}} + {t^2} - t + \frac{1}{2}\\ y\left( 0 \right) = {C_1} + {C_2} + \frac{1}{2}{\rm{ = 1}}\\ y'\left( 0 \right){\rm{ = }} - 2{C_1} - 3{C_2} - 1 = {\rm{1}} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} {C_1} = \frac{7}{2}\\ {C_2} = - 3 \end{array} \right.$

全响应表示式为：
$y\left( t \right) = \frac{7}{2}{e^{ - 2t}} - 3{e^{ - 3t}} + {t^2} - t + \frac{1}{2}$

经典时域分析方法总结：

特解是由外部激励唯一确定的，齐次解是为了配合初始状态而存在的，先特解再全解；
对于初始状态会衰减为零的稳定系统，稳态解就是特解，特解就是稳态解；
齐次解可实现任意的初始值，零输入响应（ZIR）只需考虑齐次解以满足初始状态；
零状态响应（ZSR）既要考虑特解以配合输入，又要考虑齐次解以实现零状态。

冲激响应卷积法

对于任意形式的输入信号 $f (t)$ ，均可以表示为不同幅值冲激函数的线性组合：
$f\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty f \left( \tau \right)\delta \left( {t - \tau } \right){\rm{d}}\tau$

对于冲激信号的冲激响应 $h\left( t \right)$ ，可通过经典时域方法进行求解（附录给出了一个具体案例）：
$\delta \left( t \right) \to h\left( t \right)$

对于线性时不变系统，其在输入 $f (t)$ 下的响应，可以表示为：
$f\left( t \right) \to y\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty f \left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right){\rm{d}}\tau=f \left( t \right)*h\left( t \right)$

冲激响应卷积法总结：

冲激信号具有无穷大幅值，零时刻前后向系统瞬间注入能量，使其获得初始值。零时刻之后输入变为零，故而冲激响应表现为类似ZIR的形式；
对于有限幅值的输入信号 $f (t)$ ，零时刻前后系统状态不会发生突变，故而冲激响应卷积法所得响应为零状态响应；
对于初始状态不为零的系统，可利用经典时域法单独求解零输入响应，两者之和即为全响应。

传递函数法

卷积运算具有一定复杂性，利用卷积定理，将时域上的卷积运算转为频域上的乘积运算。时域卷积定理，如下所示：
若：
${f_1}\left( t \right) \leftrightarrow {F_1}\left( s \right),{f_2}\left( t \right) \leftrightarrow {F_2}\left( s \right)$

则：
${f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right) \leftrightarrow {F_1}\left( s \right) \cdot {F_2}\left( s \right)$

于是有：
${y_{zs}}\left( t \right) = f\left( t \right) * h\left( t \right) \to {Y_{zs}}\left( s \right) = F\left( s \right) \cdot H\left( s \right)$

其中， $F\left( s \right)$ 和 $H\left( s \right)$ 分别为 $f (t)$ 和 $h (t)$ 所对应的拉普拉斯变换； ${Y_{zs}}\left( s \right)$ 即为零状态响应 ${y_{zs}}\left( t \right)$ 所对应的拉普拉斯变换，经反变换，即可得到ZSR的时域表达式。

传递函数法总结：

传递函数法将时域信号变换到频域进行计算，达到了简化的目的；
传递函数法计算所得与冲激响应卷积法一致，均为零状态响应；

不同方法之间的比较

为进一步说明上述方法之间的区别，对同一问题进行分别求解。问题如下所示：
$y'\left( t \right) + y\left( t \right) = f\left( t \right),f\left( t \right) = \varepsilon \left( t \right),y\left( 0 \right) = 2$
经典时域分析方法（特解+齐次解）：
$\left\{ \begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &{y_p}\left( t \right) = 1 \\ &{y_h}\left( t \right) = C{e^{ - t}} \\ \end{aligned} \right. \to y\left( t \right) = 1 + C{e^{ - t}} \\ &\xrightarrow{{y\left( 0 \right) = 2}}y\left( t \right) = 1 + {e^{ - t}} \\ \end{aligned} \right.$

经典时域分析方法（ZIR+ZSR）：
$\left\{ \begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &{y_{zi}}\left( t \right) = C{e^{ - t}}\xrightarrow{{{y_{zi}}\left( 0 \right) = 2}}{y_{zi}}\left( t \right) = 2{e^{ - t}} \\ &{y_{zs}}\left( t \right) = {y_p}\left( t \right) + {y_h}\left( t \right) = 1 + C{e^{ - t}}\xrightarrow{{{y_{zs}}\left( 0 \right) = 0}}{y_{zs}}\left( t \right) = 1 - {e^{ - t}} \\ \end{aligned} \right. \\ &\to y\left( t \right) = {y_{zi}}\left( t \right) + {y_{zs}}\left( t \right) = 1 + {e^{ - t}} \\ \end{aligned} \right.$

冲激响应卷积法：
$\left\{ \begin{aligned} &h'\left( t \right) + h\left( t \right) = \delta \left( t \right)\xrightarrow{{h\left( t \right) = C{e^{ - t}}\varepsilon \left( t \right)}} - C{e^{ - t}}\varepsilon \left( t \right) + C{e^{ - t}}\delta \left( t \right) + C{e^{ - t}}\varepsilon \left( t \right) = \delta \left( t \right) \to h\left( t \right) = {e^{ - t}}\varepsilon \left( t \right) \\ &\to {y_{zs}}\left( t \right) = \int_{ - \infty }^\infty f \left( \tau \right)h\left( {t - \tau } \right){\text{d}}\tau = \int_0^t {{e^{\tau - t}}{\text{d}}\tau } = \left. {{e^{\tau - t}}} \right|_0^t = 1 - {e^{ - t}} \\ &\to y\left( t \right) = {y_{zs}}\left( t \right) + {y_{zi}}\left( t \right) = 1 - {e^{ - t}} + C{e^{ - t}}\xrightarrow{{y\left( 0 \right) = 2}}y\left( t \right) = 1 + {e^{ - t}} \\ \end{aligned} \right.$

传递函数法：
$\left\{ \begin{aligned} &{Y_{zs}}\left( s \right) = H\left( s \right)F\left( s \right) = \frac{1}{{1 + s}}\frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \frac{1}{{1 + s}} \\ &\to {y_{zs}}\left( t \right) = 1 - {e^{ - t}} \\ &\to y\left( t \right) = {y_{zs}}\left( t \right) + {y_{zi}}\left( t \right) = 1 + {e^{ - t}} \\ \end{aligned} \right.$

参考文献

参考1：信号与系统（余成波）

附录

附录1：激励与特解

在这里插入图片描述

附录2：特征根与齐次解

在这里插入图片描述

附录3：经典时域法求解冲激响应

在这里插入图片描述

附录4：利用Matlab进行数值求解，全响应

利用Matlab进行数值求解过程，定义 ${z_1} = y,{z_2} = y'$ ，从而将二阶微分方程转化为一阶微分方程组的形式，
$\left\{ \begin{array}{l} {{z'}_1} = {z_2}\\ {{z'}_2} = 2f'\left( t \right) + 6f\left( t \right) - 5{z_2} - 6{z_1} \end{array} \right.,\left\{ \begin{array}{l} {z_1}\left( 0 \right) = 1\\ {z_2}\left( 0 \right) = 1 \end{array} \right.$

源码如下：

% define z = [z1; z2], z1 = y; z2 = y'
tspan = [0 20];
z0 = [1; 1];[t,y_num] = ode45(@myODE, tspan, z0);% 计算解析解
y_ana = zeros(size(t));
for i = 1:length(t)y_ana(i, :) = (7/2)*exp(-2*t(i)) - 3 * exp(-3*t(i)) + t(i)^2 - t(i) + 1/2;
end% 绘制结果对比
figure;
plot(t, y_num(:,1), 'r-', 'LineWidth', 2); % 数值方法结果，红色线宽为2
hold on;
plot(t, y_ana, 'b--', 'LineWidth', 2); % 正确解析方法结果，蓝色虚线线宽为2
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
title('数值方法和正确解析方法结果对比');
legend('数值方法', '正确解析方法');
grid on;function dzdt = myODE(t,z)dzdt = [z(2); 6*t^2+4*t-5*z(2)-6*z(1)];
end

对比解析结果和数值计算结果，如下所示：
在这里插入图片描述

附录5：利用Matlab进行数值求解，ZSR和ZIR

类似地，利用Matlab数值求解零状态响应和零输入响应，源码如下：

% define z = [z1; z2], z1 = y; z2 = y'
tspan = [0 2];
z0_FULL = [1; 1];
z0_ZSR = [0; 0];
z0_ZIR = [1; 1];[t_full,y_full] = ode45(@myODE_FULL, tspan, z0_FULL);
[t_zsr,y_zsr] = ode45(@myODE_ZSR, tspan, z0_ZSR);
[t_zir,y_zir] = ode45(@myODE_ZIR, tspan, z0_ZIR);% 绘制结果对比
figure;
plot(t_full, y_full(:,1), 'r-', 'LineWidth', 2); % FULL response
hold on
plot(t_zsr, y_zsr(:,1), 'b--', 'LineWidth', 2); % ZSR
hold on;
plot(t_zir, y_zir(:,1), 'g:', 'LineWidth', 2); % ZIR
xlabel('t');
ylabel('y(t)');
title('Full Response VS ZSR VS ZIR');
legend('FULL', 'ZSR', 'ZIR');
grid on;function dzdt = myODE_FULL(t,z)dzdt = [z(2); 6*t^2+4*t-5*z(2)-6*z(1)];
endfunction dzdt = myODE_ZSR(t,z)dzdt = [z(2); 6*t^2+4*t-5*z(2)-6*z(1)];
endfunction dzdt = myODE_ZIR(t,z)dzdt = [z(2); -5*z(2)-6*z(1)];
end